Integrales

1. Integrales • Integrales Simples. • Integrales Múltiples. • Integrales de Superficie. • Integrales en Línea.

2. Unidad IV Integral doble

3. La integral doble • Sea R una región cerrada en el plano xy y sea g(x, y) una función definida en un rectángulo que contiene a R.    Hacemos una partición del rectángulo que contiene a la región R en n x n rectángulos, donde el k-ésimo rectángulo tiene dimensiones  Xkpor  Yk(no necesariamente iguales). Luego evaluamos una función g(x,y) en algún punto (Xk*, Yk*) de cada rectángulo, y formamos la suma...   n2 g(xk*, yk*) D xk  Dyk k = 1

4. La integral doble • La suma anterior, como en la integral definida, se llama Suma de Riemann.     A continuación se ilustra lo anterior. • Ejemplos:1) Integrando g(x,y) = x + 1 •         Región R : Área comprendida entre las curvas • y = x; y = 4 - x, x = 0. •     En las siguientes imágenes se hará una partición del rectángulo en 8 x 8 = 64 rectángulos. Si el punto medio de una subregión queda dentro de R, se le incluye en la partición y por lo tanto en la suma de Riemman.

5. Funciones = {x, 4 - x} • Gráfica de funciones en el plano xy

6. La integral doble • Gráfica de la región R

7. La integral doble • Partición de la región R en 64 rectángulos.

8. La integral doble • A continuación se muestra el resultado de evaluar la función g(x, y) = x + 1 en el punto medio de cada rectángulo de la partición y el cálculo de la sumatoria de Riemann, n2 g(xk*, yk*) Dxk Dyk k = 1 • y la integral doble de la función sobre la región R, aunque aún no hemos definido que significa "Integral doble".

9. La integral doble • Para la función g(x, y) = 1 + xLa suma de Riemann = 6.625 para n = 64 rectángulosIntegral doble = 6.66667 •       Como habrás observado, el valor de la suma de Riemann está cercano al valor de lo que llamamos "Integral doble".

10. La integral doble • Enseguida se ilustrará la partición tridimensional de el • volumen comprendido entre la superficie • z = g(x, y) y la región R.

11. La integral doble • Se hace las columnas para calcular el volumen.

12. La integral doble • Volumen de los 64 paralelepipedos es 6.625 • Volumen exacto = 6.66667

13. La integral doble • A continuación veremos otro ejemplo de lo anterior para reafirmar el concepto. • Ejemplo 2. Integrando g(x,y) = 25 - x8 - y8Región R : área comprendida entre las curvas y = x8 - 4 ; y = 4 - x8. En seguida se hará una partición de la región R en 8 x 8 = 64 rectángulos.

14. La integral doble • Funciones = • {- 4 + x2 , 4 - x2} • Gráfica de funciones en el plano xy • Gráfica de la región R

15. La integral doble • Partición de la región R en 64 rectángulos

16. La integral doble • A continuación se muestra el resultado de evaluar la función g(x,y) = 25 - x2 - y2 en el punto mediode cada rectángulo de la partición y el cálculo de la sumatoria de Riemann, • Para la función g(x, y) = 25 -  x2 - y2 • La suma de Riemann = 418.75 para n = 64 rectángulos • Integral doble = 438.242

17. La integral doble • En las siguientes gráficas se ilustrará la partición tridimensional de el volumen comprendido entre la superficie • z = g(x,y) y la región R.

18. La integral doble • La región se divide en partes iguales (en este caso) y se calcula el volumen.

19. La integral doble • Volumen de los 64 paralelepípedos es 433.484  • Volumen exacto 438.248

20. La integral doble • Definición:Si g(x, y) está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, la Integral Doble de  g(x, y) sobre R se define como:  • n2 • g(x, y) dA =  limg(xk*, yk*)  Dxk Dyk • Rn 0 k = 1 • cuando la norma de la partición tiende a cero. ( lo que equivale a n 0)