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ARITMÉTICA DIFUSA

ARITMÉTICA DIFUSA. Números Difusos e Intervalos Difusos Operações Aritméticas Difusas método clássico princípio da extensão Operações binárias: MÍNIMO e MÁXIMO Modelos Difusos. NÚMEROS DIFUSOS. Seja A um conjunto difuso definido para o conjunto R dos números reais da seguinte forma:

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ARITMÉTICA DIFUSA

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Presentation Transcript

  1. ARITMÉTICA DIFUSA • Números Difusos e Intervalos Difusos • Operações Aritméticas Difusas • método clássico • princípio da extensão • Operações binárias: MÍNIMO e MÁXIMO • Modelos Difusos Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  2. NÚMEROS DIFUSOS • Seja A um conjunto difuso definido para o conjunto R dos números reais da seguinte forma: A : R  [0 ; 1] sob determinadas condições A é qualificado como um número difuso. Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  3. NÚMEROS DIFUSOS: condições • Seja o conjunto difuso A e R o conjunto dos números reais de tal forma que: A : R  [0 ; 1] • Se A possuir as seguintes propriedades então A é qualificado como um número difuso: • A deve ser um conjunto difuso NORMAL • A deve ser um INTERVALO FECHADO para todo   (0 ; 1] • O SUPORTE de A,0+A, deve ser limitado. Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  4. A(x) A(x) 1 1 0 0 a R R a1 a a2 Números Difusos: exemplos A = {APROXIMADAMENTEa} A = {número real crisp} Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  5. A(x) A(x) 1 1 0 0 a R R a Números Difusos: exemplos Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  6. 1 para x  [a ; b] s(x) para x  (- ; a) r(x) para x  (b ;) A(x) = Número Difuso: Função de Pertinência A é um número difuso SSE existe um intervalo fechado [a ; b]   tal que: Onde: • s é uma função de (-; a) para [0; 1] • monotonicamente crescente • contínua à direita • s(x)=0 para x (-; a1) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  7. Números Difusos: convexidade • Se A é um número difuso então A é um conjunto difuso convexo. Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  8. A(x) A(x) 1 1 0 0 a b R R a1 a b b1 Intervalos Difusos: exemplos Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  9. Intervalos Difusos: exemplos A(x) A(x) 1 1 0 0 R R a b a b Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  10. Intervalos Difusos: Variáveis Lingüísticas Variáveis Difusas Quantitativas Variáveis Lingüísticas classes de uma VDQ conceitos lingüísticos Intervalos Difusos Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  11. 1 Grau de Pertinência Altura(cm) a1 a2 a3 a4 Baixo Médio Alto Intervalos Difusos: variáveis lingüísticas Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  12. Números Difusos: propriedades • Cada conjunto difuso, e em conseqüência cada número difuso, pode ser unicamente e totalmente representado por seus -cuts • -cuts de números difusos são intervalos fechados para todo  (0 ; 1] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  13. Operações Aritméticas : métodos • Há dois métodos para operações aritméticas em números difusos: • aritmética de intervalos clássica • princípio da extensão Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  14. Operações Aritméticas Difusas: definição • Suposição:os números difusos são representados porfunções de pertinência contínuas. • Sejam A e B números difusos e  alguma das quatro operações aritméticas básicas então: o conjunto difuso resultante da operação A*B é definido por seus -cuts da seguinte forma:  (A*B) = A*  B para    (0;1] • Quando *=/ supõe-se ainda que0B   (0;1] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  15. Operações Aritméticas: A*B O conjunto difuso resultante da operação A*B pode ser expresso da seguinte forma: • Método Clássico: UNIÃO FUZZY PADRÃO A*B =  (A*B)  (0;1] • Princípio da Extensão:onde a FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA é definida por (A*B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ] z = x*y Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  16. Operações Aritméticas: exemplo • Seja A um número difuso definido por A = { 0.2/ 0 + 1/1 + 0.2/2} calcule (A+A). Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  17. Operações Aritméticas Clássicas:intervalos • Sejam os intervalos [a,b] e [c,d] então: • [a,b]+[c,d] = [a+c , b+d] • [a,b]-[c,d] = [a-d , b-c] • [a,b].[c,d] = [min (ac,ad,bc,bd), max (ac,ad,bc,bd)] • [a,b]/[c,d] = [min (a/c,a/d,b/c,b/d), max (a/c,a/d,b/c,b/d)] para 0  [c,d] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  18. (x+2)/2 para -2 x 0 (2-x)/2 para 0 x 2 0 para outros valores A(x) = (x-2)/2 para 2 x 4 (6-x)/2 para 4 x 6 0 para outros valores B(x) = Operação Aritmética - Adição: exemplo Calcule a soma dos números difusos, A e B, definidos por: Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  19. Operações Aritméticas Clássicas:intervalos • Sejam os intervalos A=[a1,a2] ; B=[b1,b2] ; C=[c1,c2] e 1=[1,1] então: • Comutatividade: • A+B=B+A e A . B=B . A • Associatividade: • (A+B)+C=A+(B+C) e (A.B).C=A.(B.C) • Identidade: • A=0+A=A+0 e A.1=1.A Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  20. Operações Aritméticas Clássicas: intervalos • Subdistributividade: • A.(B+C)  A.B+A.C • Distributividade: • se b.c  0 para  b  B e  c  C então A.(B+C)  A.B+A.C • 0  A-A e 1  A/A Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  21. Operações Aritméticas Clássicas • Se AC e BD • A+B  C+D • A-B  C-D • A.B  C.D • A/B  C/D (monotonicamente inclusive) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  22. Operações Aritméticas : função de pertinência • Existem algoritmos para obter a função de pertinência: • algoritmo DSW (Dong, Shah e Wong, 1985) • algoritmo DSW Modificado (Givens a Tahani, 1987) Ross, TJ. Fuzzy Logic with Engineering Applications. McGraw-Hill, 1995. Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  23. Operações de MÍNIMO e MÁXIMO • Números Reais • Números Difusos • Notação: minmax Números Reais MINMAX Números Difusos Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  24. Operações de MÍNIMO e MÁXIMO: clássica • Números Reais: para todo par (x,y)  R x se x  y y se y  x min (x, y) = y se x  y x se y  x max (x, y) = Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  25. Operações de MÍNIMO e MÁXIMO:Difusa • Números Difusos: a função de pertinência é definida por MIN (A , B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ] z = min( x, y) MAX (A , B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ] z = max( x, y) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  26. Operação MÍNIMO: exemplo • Sejam A e B números difusos definidos por A = { 0.2/ 0 + 1/1 + 0.2/2} B = { 0.1/ 1 + 1/2 + 0.1/3} calcule MIN(A,B). Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  27. MÍNIMO e MÁXIMO DIFUSO:propriedades • Comutatividade • MIN (A,B) = MIN(B,A) e MAX (A,B) = MAX(B,A) • Associatividade • MIN[MIN (A,B), C] = MIN[A, MIN(B,C)] • MAX[MAX (A,B), C] = MAX[A, MAX(B,C)] • Distributividade • MIN[A, MAX (B, C)]= MAX[MIN(A,B), MIN(B,C)] • MAX[A, MIN (B, C)]=MIN[MAX(A,B), MAX(B,C)] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  28. MÍNIMO e MÁXIMO DIFUSO:propriedades • Idempotência • MIN (A,A) = A • MAX (A,A) = A • Absorção • MIN[A, MAX (A,B)] = A • MAX[A, MIN (A,B)] = A Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

  29. Modelos Difusos • os modelos são construídos com operações aritméticas difusas • os coeficientes são números difusos desconhecidos Dr. Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

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