1 / 29

Pendugaan/Estimasi dan Interval Keyakinan Week 7 Hartiwi Prabowo Hartiwi2200@yahoo

Pendugaan/Estimasi dan Interval Keyakinan Week 7 Hartiwi Prabowo Hartiwi2200@yahoo.com. Materi Pembelajaran. Pengertian Pendugaan/estimasi Pendugaan Titik Pendugaan Interval Interval Keyakinan untuk Rata-Rata Populasi (jika σ diketahui)

karleigh-wilkinson
Download Presentation

Pendugaan/Estimasi dan Interval Keyakinan Week 7 Hartiwi Prabowo Hartiwi2200@yahoo

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Pendugaan/Estimasi dan Interval Keyakinan Week 7Hartiwi PrabowoHartiwi2200@yahoo.com

  2. Materi Pembelajaran • Pengertian Pendugaan/estimasi • Pendugaan Titik • Pendugaan Interval • Interval Keyakinan untuk Rata-Rata Populasi (jika σ diketahui) • Interval Keyakinan untuk Rata-Rata populasi (jika σ tidak diketahui) • Interval Keyakinan untuk Proporsi • Memilih Sampel Yang Tepat

  3. Pengertian : Pendugaan adalah seluruh proses dengan menggunakan statistik sampel untuk menduga parameter populasi yang tidak diketahui. Bencana kekeringan melanda Indonesia, 61.093 hektar sawah kekeringan, kerugian mencapai Rp. 0,5 triliun, dan terjadi ancaman kekurangan tenaga listrik untuk Jawa dan Bali. Kompas, 24 Agustus 2003 mengadakan jajak pendapat tentang pandangan masyarakat terhadap bencana kekeringan. Jumlah sampel sebanyak 853 orang dengan sampling error 3,5%. Hasilnya menunjukkan : (a) 72% responden meyakini bahwa penyebab bencana kekeringan adalah ulah manusia, (b) terhadap penggunaan air, responden berpendapat bahwa 48,8% boros air, 38,7% sudah hemat dan yang tidak tahu 12,5%

  4. Pengertian : Pendugaan Titik adalah nilai tunggal yang berasal dari suatu sampel dan digunakan untuk memperkirakan nilai populasi. Rata-rata konsumsi susu per bulan tiap keluarga sebanyak 35 kaleng (X = 35) sebagai penduga dari  Persentase nasabah yang tidak puas sebesar 25% (P = 0,25) sebagai penduga P.

  5. X X X X SIFAT-SIFAT PENDUGA • Penduga Tidak Bias Penduga titik dikatakan tidak bias (unbiased estimator) jika di dalam sampel random yang berasal dari populasi, rata-rata atau nilai harapan (expexted value, ) dari statistik sampel sama dengan parameter populasi () atau dapat dilambangkan dengan E( ) = . E( ) = E( )  Gambar A Penduga Bersifat Tidak Bias Gambar B Penduga Bersifat Bias

  6. sx12 sx12 <sx22 sx22 SIFAT-SIFAT PENDUGA • Penduga Efisien Penduga yang efisien (efficient estimator) adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varians terkecil (sx2) dari penduga-penduga lainnya.

  7. X DEFINISI • Penduga Konsisten Penduga yang konsisten (consistent estimator) adalah nilai dugaan ( ) yang semakin mendekati nilai yang sebenarnya  dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n). n tak terhingga n sangat besar n besar n kecil

  8. Pengertian : Pendugaan Interval/Interval Keyakinan adalah kisaran nilai yang dibuat dari data sampel dimana parameter populasi cenderung terjadi dalam kisaran tersebut dengan probabilitas yang spesifik Contoh : Rata-rata modal usaha untuk UKM di Indonesia berkisar antara Rp. 50 juta sampai dengan Rp. 75 juta. Hal ini diyakini oleh dewan pembina UKM sebesar 95% tepat.

  9. RUMUS INTERVAL PENDUGAAN (s – Zsx < P < s + Zsx ) = C Di mana: S : Statistik yang merupakan penduga parameter populasi (P) P : Parameter populasi yang tidak diketahui sx : Standar deviasi distribusi sampel statistik Z : Suatu nilai yang ditentukan oleh probabilitas yang berhubungan dengan pendugaan interval, nilai Z diperoleh dari tabel luas di bawah kurva normal C : Probabilitas atau tingkat keyakinan yang dalam praktek sudah ditentukan dahulu. s – Zsx : Nilai batas bawah keyakinan s + Zsx : Nilai batas atas keyakinan

  10. 0,50 0,50 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 95% 99% Z =-2,58 Z =2,58 Z=-1,96 0= Z=1,96 CONTOH MENENTUKAN JUMLAH SAMPEL SETIAP STRATUM Pada gambar terlihat untuk interval keyakinan 95% terhubungkan dengan nilai Z antara –1,96 sampai 1,96. Ini dapat diartikan juga bahwa 95% dari rata-rata hitung sampel akan terletak di dalam  1,96 kali standar deviasinya. Sedangkan untuk keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya juga akan terletak di dalam  2,58 kali standar deviasinya. Interval keyakinan juga dapat dituliskan untuk C= 0,95 adalah  1,96x dan untuk C=0,99 adalah  2,58sx.

  11. 0,50 0,50 X X 0,4750 0,4750 (0,95/2) (0,95/2) 0,025 0,025 (0,50/2) (0,50/2) Z= -1,96 Z= 1,96 CONTOH MENENTUKAN JUMLAH SAMPEL SETIAP STRATUM Luas kurva adalah 1, dan simetris yaitu sisi kanan dan kiri luasnya sama yaitu 0,5. Nilai C= 0,95 apabila dibagi menjadi dua bagian simetris maka menjadi 0,4750 yang diperoleh dari 0,95/2. Apabila digunakan tabel luas di bawah kurva normal untuk probabilitas 0,4750 maka akan diperoleh nilai Z sebesar 1,96. Begitu juga untuk C= 0,99, maka probabilitasnya adalah 0,99/2 = 0,4950, nilai probabilitas ini terhubung dengan nilai Z= 2,58. Setelah menemukan nilai Z dan standar deviasinya, maka dapat dibuat interval keyakinan dengan mudah misalnya untuk C= 0,95 adalah P( – 1,96sx < m < + 1,96sx) = 0,95 sedang untuk C= 0,99 adalah P( – 2,58sx < m < + 2,58sx) = 0,99.

  12. X X X X X x = –1,96sx x = –1,96sx x1 Interval 1 mengandung m x2 Interval 2 mengandung m x95 Interval 95 mengandung m x96-100 Interval 95 sampai 100 tidak mengandung m • Pada gambar di atas terlihat bahwa interval 1 dengan nilai rata-rata interval 95 dengan rata-rata 95 mengandung nilai parameternya yaitu dan hanya 96 sampai 100 atau 5% interval saja yang tidak dari statistik mengandung m. Jadi interval keyakinan C= 95 dapat diartikan bahwa sebanyak 95% interval mengandung nilai parameter aslinya yaitu m dan hanya 5% interval saja yang tidak mengandung parameternya. CONTOH MENENTUKAN JUMLAH SAMPEL SETIAP STRATUM

  13. s sx = n s - N n s = - 1 n N x DEFINISI Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar deviasi distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel. Kesalahan standar dari rata-rata hitung dihitung dengan rumus sebagai berikut: Untuk populasi yang tidak terbatas n/N < 0,05: untuk populasi yang terbatas dan n/N> 0,05: Di mana:  : Standar deviasi populasi sx : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel n : Jumlah atau ukuran sampel N : Jumlah atau ukuran populasi

  14.  Z /2σn X X INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK RATA-RATA POPULASI, JIKA σ DIKETAHUI Interval keyakinan untuk rata-rata hitung dirumuskan Untuk populasi yang terbatas, faktor koreksi menjadi  (N-n)/N-1. Nilai merupakan rata-rata dari sampel, sedangkan nilai Z untuk beberapa nilai C

  15. CONTOH INTERVAL KEYAKINAN RATA-RATA HITUNG Interval keyakinan tersebut dapat juga digambarkan sebagai berikut: Batas bawah Batas atas 1 -   /2  /2 -Z /2  Z /2 Nilai parameter yang sebenarnya diharapkan adan terdapat pada interval 1 -  dengan batas bawah -Z /2 dan batasatas Z /2.

  16. distribusi mana yang dapat digunakan? Start Apakah  diketahui ? Ya Gunakan distribusi Z dalam perhitungan Stop Tidak Apakah n > 30 ? Ya Gunakan distribusi Z dalam perhitungan Stop Tidak Gunakan distribusi t dalam perhitungan Stop

  17. X X X X DISTRIBUSI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI DIKETAHUI Probabilitas ( – Z/2 x <  < (  Z/2 s/(N – n)/N – 1n sx ) = C atau Probabilitas (  Z/2 sx ) = C X Di mana: : Rata-rata dari sampel Z/2 : Nilai Z dari tingkat kepercayaan   : Rata-rata populasi yang diduga x : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan  = (1 – C)

  18. Seratus orang calon mahasiswa Akademi Ilmu Statistik sebagai sampel acak, yang sudah mengikuti tes IQ, mempunyai rata-rata IQ sebesar 110 dan diketahui mempunyai simpangan baku sebesar 20. Dengan menggunakan tingkat keyakinan sebesar 95%, buatlah pendugaan interval dari rata-rata IQ. Penyelesaian n = 100, = 110,  = 20 1 -  = 95%,  = 5%, /2 = 2,5%, Z/2 = 1,96 (dari Tabel Distribusi Normal) = 106,08 113,92 ＜＜ 113,92 Jadi interval antara 106,08 dan 113,92 akan memuat  = rata-rata IQ sebenarnya dengan tingkat keyakinan 95%.

  19. X X X DISTRIBUSI SAMPLING MENDEKATI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI TIDAK DIKETAHUI ( – t/2 sx<  < ( + t/2 sx ) Di mana: : Rata-rata dari sampel t/2: Nilai t dari tingkat kepercayaan   : Rata-rata populasi yang diduga sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan  : 1 – C

  20. Lima orang mahasiswa FE Unika Atmajaya Jakarta, dipilih secara acak untuk kemudian diukur tingginya.X = tinggi mahasiswa dalam cmX1 = 160. X2 = 170, X3 = 165, X4 = 175, X5 = 180Buatlah pendugaan interval tentang rata-rata tinggi mahasiswa FE Unika Atma Jaya dengan tingkat keyakinan sebesar 95%.Penyelesaiann = 5 = 170

  21. Karena n < 30, maka kita harus menggunakan Tabel t (t  t/2 (n-1)) 1 -  = 0,95,  = 5%, /2 = 2,5%. Dari tabel t, dengan  = 2,5% dan derajat kebebasan sebesar (n - 1) = 4, nilai t = 2,7764 = 2,78. 170 – (2,78)(3,53) <  < 170 + (2,78)(3,53) 160,2 <  < 179,8 Interval antara 160,2 cm dan 179,8 cm akan memuat rata-rata tinggi mahasiswa FE Unika Atma Jaya dengan probabilitas 0,95.

  22. INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK SUATU PROPORSI Untuk populasi yang tidak terbatas Untuk populasi yang terbatas Bentuk pendugaan proporsi populasi dirumuskan sebagai berikut: Probabilitas (p - Z/2.Sp<P< p + Z/2.Sp) Di mana: p : Proporsi sampel Z/2: Nilai Z dari tingkat keyakinan  P :Proporsi populasi yang diduga Sp : Standar error/kesalahan dari proporsi C :Tingkat keyakinan  :1 – C

  23. Pendugaan Interval untuk Proporsi • Rumus : Proporsi merupakan bagian, rasio atau persen yang mengindikasikan bagian sampel atau populasi yang memiliki sifat-sifat tertentu yang sedang diteliti. Ρ = X/n

  24. Seorang pejabat bank akan memperkirakan berapa persen para nasabah yang tidak puas dengan pelayanan yang diberikan oleh para pegawainya. Untuk maksud tersebut, dilakukan penelitian terhadap 250 orang nasabah yang dipilih secara acak. Ternyata ada 60 orang yang tidak puas. Dengan tingkat keyakinan sebesar 95%, buatlah pendugaan interval persentase para nasabah yang tidak puas. Penyelesaian : n = 250, X = 60, Z/2 = 1,96 Jadi interval antara 19% dan 29% akan memuat persentase nasabah yang tidak puas dengan pelayanan bank, dengan probabilitas 95%.

  25. FAKTOR UKURAN SAMPEL Faktor yang mempengaruhi jumlah sampel 1. Tingkat keyakinan yang dipilih. 2. Kesalahan maksimum yang diperbolehkan. 3. Variasi dari populasi.

  26. Rumus jumlah sampel dalam populasi dirumuskan sebagai berikut: • n = [(Za/2.s)/e]2 • Rumus tersebut diturunkan dari interval keyakinan sebagaimana diuraikan sebagai berikut: • P (–Za/2 < Z < Za/2 ) = C = 1 – a • (–Za/2 < ( – m)/(s/Ön) < Za/2) • (–Za/2 (s/Ön) < ( – m) < Za/2(s/Ön)) • (x – m) < Za/2(s/Ön); ingat bahwa error e = – m • e < Za/2(s/Ön); • e2 = (Za/2)2(s2/n); • n = [(Za/2.s)/e]2 X X X RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA POPULASI

  27. P (–Za/2 < Z < Za/2 ) = C = 1 – a • (–Za/2 < (p1 – p2)/(s/Ön) <Za/2) • (–Za/2(Ö[(p(1 – p)]/n – 1) < (p1 – p2) < Za/2(Ö[p(1– p)]/n–1) • (p1 – p2) < Za/2(Ö[(p(1 – p)]/n – 1); ingat bahwa error e = p1 – p2 • e < Za/2(Ö[(p(1 – p)]/n – 1); dikuadratkan kedua sisi menjadi • e2 = (Za/2)2[(p(1 – p)]/n – 1; dipindahkan n – 1 ke sisi kiri • n –1 = (Za/2.)2 p(1 – p) sehingga n menjadi • e2 • n = (Za/2.)2 p(1 – p) + 1 • e2 RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA PROPORSI POPULASI Untuk mendapatkan rumus jumlah sampel dalam pendugaan proporsi populasi dapat diturunkan sebagai berikut:

  28. Simpulan : • Sebuah estimasi /pendugaan titik adalah suatu nilai tunggal yang digunakan dalam • memperkirakan suatu nilai populasi. • Interval kepercayaan/ pendugaan interval adalah sebuah jangkauan nilai yang didalam • nya parameter populasi diharapkan akan terjadi. • Pendugaan interval meliputi pendugaan untuk rata-rata hitung dan proporsi. • 4. Kita dapat menentukan ukuran sampel yang tepat untuk memperkirakan rata-rata • dan proporsi meliputi : tingkat kepercayaan yang diinginkan, kesalahan maksimal • yang diizinkan, variasi dari populasi

  29. Daftar Pustaka/Referensi • Lind, Douglas A., Marchal, William G., dan Wathen, Samuel A.,(2007), Statistical Techniques in Business and Economic with Global data Sets, 13 th, Mc Graw-Hill Companies, Inc. • Suharyadi,Purwanto, (2004), Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Penerbit Salemba Empat, Jakarta • Supranto, J, (2008), Statistik Teori dan Aplikasi, Penerbit Erlangga, Jakarta

More Related