Sintaxe e Semântica na Lógica de Predicados

1. Sintaxe e Semântica na Lógica de Predicados Jefferson de Menezes(jmmf) Ricardo Salomão(rssj2)

2. Alfabeto Simbólico • Símbolos Lógicos: 1-) Operadores lógicos e quantificadores: , v, ->, ¬, , ; 2-) Variáveis para objetos; 3-) Parênteses; • Símbolos Não-Lógicos: 4-) Para cada estrutura um alfabeto simbólico diferente para representar: - destaques(por meio de constantes); - relações e predicados; - funções; E A V

3. Termos • TERMOS são objetos sintáticos que servem para representar elementos do domínio em questão. • É o conjunto de expressões de L que representam objetos;

4. Termos(Definição Indutiva) • Base: 1-) Toda variável é um termo; 2-) Todo símbolo de constante ‘c’ de L é um termo; • Geradores: 3-) Se f for um símbolo de função de L de aridade n e t1, t2,...tn forem termos de L, então f(t1, t2,...tn) é um termo; 4-) NADA MAIS É UM TERMO.

5. Termos(Definição Alternativa) • Seja L uma assinatura. O conjunto dos termos de L é o fecho indutivo do conjunto X = variáveis U constantes sob o conjunto dos símbolos de função F de L. Exs.: x, p, m, f(p), f(x), f(f(p)), ... “Termo fechado: Um termo t é dito fechado se não contém variáveis.”

6. Fórmulas Atômicas(Definição) 1-) Para todo símbolo de relação n-ária R de L (n ≥ 0), se t1, t2,...tn forem termos, então R(t1, t2,...tn) é uma fórmula atômica; 2-) Para todos os termos t1, t2,...tn de L, t1 = t2 é uma fórmula atômica de L. “Sentenças: Uma fórmula atômica é dita uma sentença se não contém variáveis.”

7. Definição de Fórmula Bem Formada (FBF) Seja L uma assinatura. • I) Toda fórmula atômica é uma FBF; • II) Se α é uma FBF então (¬α) também é uma FBF; • III) Se α e β são FBF’s então (αβ), onde = { , v, ->}, também é uma FBF; • IV) Se α é uma FBF então xα também é uma FBF; • V) Se α é uma FBF então xα também é uma FBF; • VI) NADA MAIS É FBF. V A E

8. O que é Diagrama Positivo? • Tão lembrados que uma assinatura L numa estrutura A é a definição da composição da estrutura? • Então, Diagrama Positivo consiste no conjunto de TODAS as Sentenças Atômicas de L que são verdadeiras em A.

9. Tá, e como eu faço isso? • Você, primeiro, tem que achar alguma maneira de poder representar o domínio da Estrutura A. • Como o Diagrama positivo consiste de SENTENÇAS ATÔMICAS, então vocês terão que mostrar alguma representação de cada elemento do domínio, a partir dos elementos de destaque

10. ... • Para isso, você vai ter que usar as funções que são dadas na assinatura; • E, obviamente, usar as relações nesta • NÃO SE ESQUEÇAM DA IGUALDADE!!!

11. Exemplo: • Estrutura A com Assinatura L: • Domínio : {0 , 1, 2 }; • Funções : SomaMod3(_,_) , SucessorMod3(_); • Relações: Primo(_), Divide(_,_) (Se o 1º termo é dividido pelo 2º termo); • Destaque: 1;

12. Resolvendo... • Representação da assinatura: • Funções : s3(_,_) (soma), suc3(_) (sucessor); • Relações: P(_) (primo), D(_,_) (divide); • Assinatura: b = 1;

13. Representando o domínio: • 1 = b; • 2 = suc3(b); • 0 = s3(b,suc3(b));

14. Agora, represente todas as relações: • Primo: Nesse caso só 2 é primo, então • P(2) = P(suc3(b)) é adicionado • Divide: Todo mundo divide 0 e divide 2, exceto 0, para ambos os casos; • só 1 que divide 1; • D(0,1), D(0,2), D(1,1), D(2,1), D(2,2) = • = D(s3(b,suc3(b)), b) , D(s3(b,suc3(b)), suc3(b)), D(b,b), D(suc3(b), b), D(suc3(b), suc3(b));

15. Lembre-se também da Igualdade: • 2 = suc3(b) = s3(b,b) • 1 = b = suc3(suc3(suc3(b))) = s3(suc3(b), suc3(b)) = s3(s3(b,b), s3(b,b)) • 0 = s3(b,suc3(b)) = s3(suc3(b), b) = suc3(suc3(b))

16. AGORA SIM!! • P(suc3(b)); • D(s3(suc3(b),b), b); • D(s3(suc3(b),b), suc3(b)) • D(b,b); • D(suc3(b), b); • D(suc3(b), suc3(b)); • s3(b,suc3(b)) = s3(suc3(b),b); • s3(b,suc3(b)) = suc3(suc3(b)); • suc3(b) = s3(b,b); • b = suc3(suc3( suc3(b))); • b = s3(suc3(b), suc3(b));

17. MODELO CANÔNICO • O modelo canônico é quase o inverso do processo de diagrama positivo. • Quase porque a definição do domínio se dá por classes de equivalência • Lembrando-se de Matemática Discreta: “Classe de equivalência é um termo o qual este se equivale a um domínio em si”.

18. Tá e como eu faço isso? • Para fazer isso, faça o seguinte: • Veja todas as funções que aparecem e bote-as no conjunto de funções; • Veja todas as Relações que aparecem e bote-as no conjunto de Relações • Veja todos os elementos de destaque e bote-os no conjunto de Destaque

19. Falta alguém né? • Falta o domínio: • Primeiro de tudo, faça também força bruta nisso • Bote todo mundo que aparece, tanto nas Relações como nas igualdades, que não são as Relações e ponha-as no como sendo classes de equivalência no conjunto do domínio • Depois, comece a “cortar” classes de equivalência do domínio, a partir das igualdades • Agora acabou? QUASE...

20. o que é que falta? • Falta verificar se todas as possíveis combinações de relações estão definidas • Ex: Você tem uma função T binária, com constantes ‘a’, ‘b’ • Você vai ter que ver se há T(a,a), T(a,b), T(b,a), T(b,b). Se tiver, beleza, senão verifique se há alguém que possa ser representado por ‘a’ ou por ‘b’; • Se não tiver, você pode supor que o domínio é infinito

21. Dúvidas?