Lógica de Predicados

1. Lógica de Predicados Sintaxe

2. O que não é possível expressar em Lógica Prop. • Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor. Logo Roberto é um campeão. • A adição de dois números ímpares quaisquer é um número par. • Por quê?

3. Ausências da Lógica Proposiconal • Quantificadores • todo, qualquer, existe, alguns, nenhum, ... • Sempre estão ligados a variáveis • Objetos • Indivíduos do universo de discurso, sobre o qual quantificadores podem ser aplicados • Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor.

4. Roteiro desta parte do curso • Sintaxe • Semântica • Métodos de prova • Tableaux semânticos • Resolução • Programação em lógica

5. Lógica de Predicados • Também chamada de • Lógica de 1ª. Ordem • FOL (First-Order Logic) • Extensão da Lógica Proposicional • Novos conectivos (quantificadores) • Novos símbolos para funções, variáveis, predicados, etc

6. Alfabeto da Lógica de Predicados • Símbolos de pontuação: (,) • Símbolos de verdade: false, true • Conjunto enumerável de símbolos para variáveis: x, y, z, w, x1, y1, x2, z2... • Conjunto enumerável de símbolos para funções: f, g, h, f1, g1, f2, g2... • Conjunto enumerável de símbolos para predicados: p, q, r, s, p1, q1, p2, q2... • Conectivos proposicionais: ,v, , 

7. Aridade • Associado a cada símbolo de função ou predicado, temos uma aridade • número inteiro, não-negativo k • Indica o número de argumentos da função ou predicado • Constantes e símbolos proposicionais • Sempre têm k=0 • Funções -> constantes • Predicados -> símbolos proposicionais

8. Notação • Constantes (ou funções zero-árias) • a, b, c, a1, b1, a2, b2, ... • Símbolos (ou predicados zero-ários) • P, Q, R, S, P1, Q1, P2, Q2... • Quantificadores • Universal: (para todo …) • Existencial: (existe …) • Os conectivos ,  e ^ são definidos em função do conjunto completo {,v}

9. Tipos de perguntas (consultas) • “A capital de Togo é Lome?” • Deve retornar um símbolo de verdade • Sentenças que representam símbolos de verdade, em Lógica de Predicados, são chamados de átomos • “Qual a capital da Estônia?” • Deve retornar um objeto • Sentenças que representam objetos são chamados de termos

10. Termos • São construídos a partir destas regras: • Variáveis são termos (representam objetos) • Se t1, t2, ..., tn são termos • f é um símbolo de função n-ária, • então f(t1, t2, ..., tn) também é um termo

11. Exemplos de termos • x, a (constante, função zero-ária) • f(x,a) se e somente se f é binária • g(y, f(x,a), c) se e somente se g é ternária • +(9,10), -(9,5) • interpretados como 10+9, 9-5 • Notação polonesa • h(x,y,z), considerada implicitamente como ternária

12. Átomos • São construídos a partir destas regras: • O símbolo de verdade false é um átomo • Se t1, t2, ..., tn são termos • p é um símbolo de predicado n-ária, • então p(t1, t2, ..., tn) é um átomo

13. Exemplos de átomos • P (símbolo proposicional) • Predicado zero-ário) • p(f(x,a),x) se e somente se p é binário • q(x,y,z) considerado implicitamente como ternário • Ex: >(9,10), =(9,+(5,4)) • interpretados como 10>9, 9=5+4 • Interpretados como T • Note os abusos de linguagem • > e = são predicados • + e – são funções

14. Fórmulas • São construídos a partir destas regras: • Todo átomo é uma fórmula da Lógica de Predicados • Se H é fórmula então (H) também é • Se H e G são fórmulas, então (HvG) também é • Se H é fórmula e x variável, então • ((x)H) e ((x)H) são fórmulas

15. Construção de fórmulas • Átomos p(x), R e false • ((p(x)) v R) • Que equivale a (p(x)  R) • também fórmula • ((x) p(x)  R) • Expressão = termo v fórmula

16. Sub-termo • Se E=x, então a variável x é sub-termo de E • Se E = f(t1,t2,...,tn) então ti e f(t1,t2,...,tn) são sub-termos de E • Se t1 é sub-termo de t2 e t2 de E, então t1 também é sub-termo de E

17. Subfórmula • Se H é fórmula • H é uma sub-fórmula • Se H=(G), então G é sub-fórmula de H • Se H é do tipo (EvG), (E^G), (EG) ou (EG), então E e G são sub-fórmulas de H • Se x é uma variável e Q um quantificador, H=((Qx)G) então G e ((Qx)G) são sub-fórmulas de H • Se G é sub-fórmula de H, então toda sub-fórmula de G também é sub-fórmula de H

18. Próprios e sub-expressões • Se t é sub-termo de E, e t é diferente de E, então t é sub-termo próprio de E • Se G é sub-fórmula de H e G e H são diferentes, então G é sub-fórmula própria de H • Todo sub-termo ou sub-fórmula é uma sub-expressão

19. Literais e formas normais • Literal em lógica de predicados é um átomo ou sua negação • Uma fórmula está na forma normal disjuntiva (fnd ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de conjunções de literais • Uma fórmula está na forma normal conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais

20. Ordem de precedência da Lógica de Predicados •  • ,  • ,  • ^,v • G=(x)(y)p(x,y)(z)q(z)^r(y) representa • H=((((x)((y)p(x,y)))(z)(q(z))^ r(y))

21. Correspondência entre quantificadores • ((x)H)= ((z)(H)) • ((x)H)= ((z)(H)) • Qualquer quantificador pode ser definido a partir do outro!

22. Escopo de um quantificador • Abrangência de seu uso nas sub-fórmulas • Se E é uma fórmula na Lógica de Predicados • Se ((x)H) é subfórmula de E • o escopo de (x) é H • Se ((x)H) é subfórmula de E • o escopo de (x) é H

23. Exemplo de escopo de quantificadores • G=(x)(y)((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1)) • O escopo de (x) é (y)((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1)) • O escopo de (y) é ((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1)) • O escopo de (z) é p(x,y,w,z) • O escopo de (y) é q(z,y,x,z1))

24. Ocorrência livre e ligada • Se x é uma variável e E uma fórmula, uma ocorrência de x em E é • Ligada, se x está no escopo de um quantificador (x) ou (x) em E • Livre, se não for ligada • G=(x)(y)((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1))

25. Variável livre e ligada • Se x é uma variável e E uma fórmula que contém x. x é • Ligada em E, se existir uma ou mais ocorrências ligadas de x em E • Livre em E, se existir uma ou mais ocorrências livres de x em E • No exemplo anterior, z é livre e ligada!

26. Símbolos livres • Símbolos livres de uma fórmula são suas variáveis livres, símbolos de função e de predicado • Tudo menos os conectivos, variáveis dos quantificadores, símbolos de verdade e de pontuação • Ex: O conjunto {w,z,z1,p,q} no exemplo anterior

27. Fórmulas fechadas • Fórmulas ditas fechadas não possuem variáveis livres • O exemplo anterior não é, mas, adicionando (w), (z) e (z1)... • G1=(w)(z)(z1)(x)(y) ((x)p(x,y,w,z)(y)q(z,y,x,z1)) é fechada

28. Fecho de uma fórmula • Se H é fórmula da Lógica de Predicados e • {x1, x2, ..., xn} é o conjunto das variáveis livres em H • O fecho universal de H, (*)H, é (x1)(x2)...(xn) • G1 é o fecho universal de G • O fecho existencial de H, (*)H, é (x1)(x2)...(xn)

29. Fechos e fórmulas fechadas • G1=(w)(z)(z1)(x)(y) ((x)p(x,y,w,z)(y)q(z,y,x,z1)) • Se H é fechada, como não possui variáveis livres, seus fechos universal e existencial são iguais a H • H=(*)H=(*)H