Introdução à Trigonometria

1. Introdução à Trigonometria Circunferência e Relações Trigonométricas

2. CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA y B P + 1 A’ A O x 1 - B’

3. Sistema de coordenas ortogonais; • Circunferência de centro na origem do sistema, de raio unitário r = 1; • Arcos de origem ponto A (1,0); • Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário, negativas sentido horário; • Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário

4. SENO

5. SENO • marcado no eixo Y • varia de –1 até 1  -1  sen  1 • sinal do seno: y B 1 A’ A O x -1 B’

6. COSSENO

7. COSSENO • marcado no eixo X • varia de –1 até 1  -1  cos  1 • sinal do cosseno: y B A’ A -1 1 O x B’

8. SENO E COSSENO y B sen  P N  A’ A O x M cos  B’

9. Fatec- Se x é um arco do 3º quadrante e cos x = -4/5, então sen x é igual a: • 3/5 • -3/5 • -9/25 • -16/9

10. TANGENTE y t t // y B M P tg   A’ A O x B’

11. TANGENTE • marcada numa reta paralela ao eixo y • varia de –  até  -  tg  • sinal da tangente: y B A’ A O x B’

12. SENO, COSSENO E TANGENTE t y tg a sen a a A cos a x

13. sen tg 90° 120° 135° 150° 0°/360° 180° 0 cos 210° 330° 225° 315° 300° 240° 270° ARCOS NOTÁVEIS 60° 45° 30°

14. SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. QUADRANTE Ângulos complementares sen x= cos(90-x)

15. UFJF- O valor de sen² 10 + sen²20+...+sen²70+sen²80+ sen² 90 é: • -1 • 1 • 2 • 4 • 5

16. SIMETRIA DE ARCOS 150o 30o 1/2 330o 210o

17. SIMETRIA DE ARCOS 45o 135o 225o 315o

18. SIMETRIA DE ARCOS 60o 120o 1/2 240o 300o

19. GENERALIZANDO: De um modo geral: 180o - a a A 360o - a 180o + a

20. UFJF- Dois ângulos distintos, menores que 360°, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses ângulos é igual a:a) 45°b) 90°c) 180°d) 270°e) 360°

21. REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE y /2 a x  0 O x 2 3/2 1º. Caso: ângulo do 2º. quadrante a = ( - x) • sen ( - x) = sen x • cos ( - x) = - cos x • tg ( - x) = - tg x

22. REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE y /2 a x  0 O x 2 3/2 2º. Caso: ângulo do 3º. quadrante a = ( + x) • sen ( + x) = - sen x • cos ( + x) = - cos x • tg ( + x) = tg x

23. REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE y /2 x  0 O x 2 a 3/2 3º. Caso: ângulo do 4º. quadrante a = (2 - x) • sen (2 - x) = - sen x • cos (2 - x) = cos x • tg (2 - x) = - tg x

26. 1 1 IV. sec x = IV. sec x = cos cos x x sen x II. tg x = cos x 1 cos x III. cotg x = = tg x sen x RELAÇÕES FUNDAMENTAIS I. sen2 x + cos2x = 1

27. SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a

28. tg a + tg b e) tg(a + b) = - 1 tg a.tg b tg a - tg b f) = tg(a - b) 1 + tg a.tg b SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS

29. 2.tg x c) tg(2a) = 2 - 1 tg2 x ARCOS DUPLOS a) cos(2a) = cos2a – sen2a b) sen(2a) = 2.sen a.cos a

30. 1-) FUVEST- Calcule o valor de (tg10° + cotg10°)sen20° • 1 • 2 • 3 • 4

32. UFJF- Sendo x+y=60º, o valor de (cosx+ cosy)² + (senx + seny)²-2 é: • -2 • -1/2 • 0 • 1 • 2

33. CESGRANRIO- Se senx – cosx = ½ o valor de senxcosx é igual a: • -3/16 • -3/8 • 3/8 • ¾ • 3/2

34. + x 1 cosx = ± a) cos 2 2 x 1 - cosx = ± b) sen 2 2 x 1 - cosx = ± c) tg + 2 1 cosx ARCOS METADE

35. + - p q p q + = a) senp senq 2sen .cos 2 2 + p - q p q = b) senp - senq 2sen .cos 2 2 + - p q p q + = c) cosp cosq 2cos .cos 2 2 + - p q p q - = - d) cosp cosq 2sen .sen 2 2 TRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTO

36. Estudo da função seno f(x) = sen x 36

37. Estudo da função seno Observações: 1ª) O domínio de f(x) = sen x é , pois para qualquer valor real de x existe um e apenas um valor para sen x. 2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [1,1]. 3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [1,1]  , isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio. 4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x temos o mesmo f(x). Por exemplo, 5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja xD(f) = temos sen x = sen (x). Por exemplo,

38. Estudo da função seno Periodicidade: O período da função seno é de 2 e indicamos assim: p = 2

39. Estudo da função seno Sinal: A função é positiva para valores do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3º e 4º quadrantes.

40. Estudo da função cosseno f(x) = cos x

41. Estudo da função cosseno Observações: 1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide transladada /2 unidades para a direita. A maioria dos aspectos relevantes da função cosseno são os mesmos da função seno. 2ª) O domínio é o mesmo: D = 3ª) A imagem é a mesma: Im = [1,1]. 4ª) O período é o mesmo: p = 2. 5ª) A função cosseno não é nem injetiva. 6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos (x).

42. Estudo da função cosseno Sinal: A função é positiva para valores do 1º e 4º quadrantes e negativa para valores do 2º e 3º quadrantes.

43. Estudo da função tangente f(x) = tg x

44. Estudo da função tangente Observações: 1ª) Domínio: 2ª) Imagem: Im = . 3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva. 4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x =  tg (x). 5ª) Período: p = .

45. Estudo da função tangente Sinal: A função é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes e negativa para valores do 2º e 4º quadrantes.

46. Funções trigonométricas

47. Funções trigonométricas

49. FUVEST- A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: • Senx • 2senx/2 • 2senx • 2sen2x • sen2x