Margem de Fase e Margem de Ganho

1. Margem de Fase e Margem de Ganho

2. Margem de Fase e Margem de Ganho Considere uma FTMA G estritamente própria e sem pólos ou zeros no SPD fechado, com a possível exceção de um pólo simples na origem. O critério de estabilidade de Nyquist leva em conta o ganho e a fase De G(jw) com relação ao ponto crítico -1.

3. Im -1 Re Margem de Fase e Margem de Ganho Considere o sistema original estável. Como fica a estabilidade para o sistema perturbado?

4. Margem de Fase e Margem de Ganho

5. Margem de Fase e Margem de Ganho

6. Margem de Fase e Margem de Ganho

7. Margem de Fase e Margem de Ganho

8. Margem de Fase e Margem de Ganho

9. Margens de Ganho e Fase pelo diagrama de Bode

10. Análise de estabilidade via diagrama de Bode • Critério de estabilidade via diagrama de Bode. Considere uma FTMA GMA estritamente própria e sem pólos ou zeros no SPD fechado, com a possível exceção de um pólo simples na origem. Assuma que a resposta em frequencia de MA tenha apenas um único ponto de frequência de cruzamento de fase • e um único ponto de frequencia de cruzamento de ganho • Neste caso, a FTMF é estável se e só se MG>0 dB e MF>0 • Se a frequência de cruzamento de ganho é menor do que a frequência de cruzamento de fase • então a malha fechada é estável.

11. Margem de Ganho negativa Margem de Ganho positiva 1 1 -1 -1 Margem de fase negativa Margem de fase positiva Sistema instável Sistema estável

12. Margem de Ganho positiva Margem de Ganho negativa dB dB 0 0 Margem de fase positiva Margem de fase negativa Sistema estável Sistema instável

13. Estabilidade via diagrama de Bode K em dB Margem de fase Este sistema é estável.

14. Estabilidade via diagrama de Bode Neste exemplo, o sistema em malha fechada com realimentação unitária negativa é instável.

15. Estabilidade via diagrama de Bode K MG(dB) Estável? C 1 +12 Sim 4 0 Condicionalm.estável 20 -14 Não Considere um processo com função de transferência Gp(s). Se for utilizado um controle proporcional, determine a estabilidade em malha fechada para 3 valores de Kc: 1, 4 e 20. Observe que o gráfico da fase é o mesmo para os três casos (por que?).

16. A margem de ganho e de fase são relacionadas Válido para sistemas de fase mínima Bode mostrou que A margem de fase é largamente determinada pela inclinação da curva de ganho na frequência de crossover de ganho

17. A margem de ganho e de fase são relacionadas exemplo:para inclinação na frequência de cross over do ganho de –40 dB/década temos que MF= 0 - correção Para ter uma boa margem de fase, é desejável que a inclinação da curva na frequência seja de –20 dB/dec

18. Margem de Fase e Desempenho Transitório Apenas para sistemas de segunda ordem Relação entre MF e z A aproximação linear se aplica apenas para valores de  no intervalo 0   0,6. Valores aceitáveis para a taxa de amortecimento  : 0,3   0,7 Portanto: 30oMF  65o.

21. Observações • Para sistemas de ordem maior do que 2, são disponíveis técnicas matemáticas para a obtenção da correlação exata entre margem de fase e coeficiente de amortecimento, porém são muito trabalhosas e de pequeno valor prático. • Em geral, valores grandes de MG e MF correspondem a respostas em malha fechada mais lentas, enquanto que valores menores, resultam em respostas mais rápidas mas mais oscilatórias. • A especificação da MF e da MG requer um compromisso entre desempenho e robustez. Margem de ganho MG e margem de fase MF  intervalos aceitáveis (depende do autor):

22. Exemplo onde a margem de fase e a margem de ganho fornecem falsa noção de robustez de estabilidade

23. Frequência de Corte e Largura de Banda A frequência de corte (ou de canto ou de largura de banda) wc é definida como sendo aquela a partir da qual o ganho cai abaixo de 3 dB com relação ao ganho de baixas frequências. A região de frequências , é denominada largura de banda (ou largura de faixa, ou ainda, banda passante),

24. Frequência de Corte e Largura de Banda • Freqüência de corte: em geral, definido como especificação de projeto para sistema de malha fechada • A frequência de corteωc pode ser definida como a frequência no qual |G(jω)| = 0.707. • (-3dB corresponde a aproximadamente |G(jω)| = 0.707) • alguns autores usam o ponto de –6dB ao invés do ponto –3dB. • A largura de banda (bandwidth) indica a faixa de frequencias para qual ocorre acompanhamento (tracking) satisfatório do set-point. Em particular, ωc é a maior frequência para que um set point senoidal não seja atenuado mais do que 70.7%.

25. Frequência de Corte e Largura de Banda • O sistema filtra os componentes do sinal cujas freqüências são maiores do que a freqüência de corte e transmite aquelas componentes do sinal com freqüências menores do que a freqüência de corte. • A largura de faixa fornece uma indicação da velocidade de resposta de um sistema de controle.

26. Frequência de Corte e Largura de Banda Para sistemas de segunda ordem, podemos relacionar a frequência de largura de banda (frequência de corte) com coeficiente de amortecimento e tempo de resposta (tempo de acomodação, subida, pico,...)

27. ·A velocidade de resposta a uma entrada do tipo degrau será proporcional a wB. ·        Exemplo: considere duas funções de transferência de malha fechada T1 e T2: A resposta em freqüência, a resposta ao degrau e a resposta à rampa dos dois sistemas estão mostradas a seguir:

29. ·Considere agora os dois sistemas de segunda ordem a seguir, com funções de transferência de malha fechada: Ambos os sistemas possuem sobre-sinal de 15%, mas T4possui um tempo de pico de 0.12 segundos, comparado a 0.36 segundos para T3. Observe também que o tempo de acomodação para T4é de 0.37 segundos, enquanto que é de 0.9segundos para T3.

31. Frequência de Corte e Largura de Banda • Uma estimativa grosseira que pode ser usada • frequência de corte=frequência natural=k/(tempo de resposta). • Fatores para especificação da largura de banda (da malha fechada) : • i) fidelidade de reprodução dos sinais de entrada pela saída; • ii) características de filtragem requeridas para o ruído de alta frequência.

32. Carta de Nichols [família de curvas dos ganhos (em dB) e ângulos de fase (em graus) de malha fechada]

33. Outro exemplo de Carta de Nichols [os ganhos não estão em dB]

34. Curvas de Módulo Constante para Malha Fechada _Círculos-M

35. Círculos deganho de malha fechada constante

36. Curvas de Fase Constante para Malha Fechada_Círculos-N

37. Im(G) Círculos defase constante Re(G) -1 -0.5 0 j a r c y G 1+G Circunferência (centro = -0.5-jc, raio = r)

38. Im(G) Círculos defase constante Re(G) -1 -0.5 0 j a y r -c y Circunferência (centro = -0.5-jc, raio = r) G 1+G

39. A função de transferência de malha fechada pode ser obtida superpondo-se o diagrama polar de G(jw) nos diagramas dos círculos-M e círculos-N. Observe que o pico de ressonância da função de transferência de malha fechada ocorre em w=w4 , onde o diagrama polar da função de transferência de malha aberta G(jw)é tangente a um círculo-M com M=2.

40. Exemplo: Carta de Nichols Considere um sistema com realimentação unitária com uma função de transferência de malha aberta dada por: O diagrama de Nichols para G(jw)superposto à carta de Nichols é mostrado abaixo:

41. Determinar para a MF Freq. Ress wr Freq corte wc

42. ·A magnitude máxima da função de transferência de malha fechada é aproximadamente igual a +2.5dBe ocorre em wr=0.8 rad/s. ·A frequência de corte, onde a magnitude de malha fechadaé igual a –3dB , é igual a wcMF=1.33rad/s, ponto no qual a fase de malha fechada é –142o.