Tema 7

1. Tema 7 INTERPOLACIÓN Matemáticas Aplicadas CS I

2. Tema 7.1 * 1º BCS FUNCIONES DEFINIDAS POR TABLAS Matemáticas Aplicadas CS I

3. TABULACIÓN • En cualquier investigación realizada en el campo de las ciencias naturales, tecnológicas o sociales, hay un momento en el que es obligado recoger datos. • La presentación de dichos datos, para poder trabajar con ellos después, se realiza mediante tablas y se denomina TABULACIÓN de resultados. • EJEMPLO • En una prueba psicotécnica se ha observado los siguientes resultados: • a) Podemos representar gráficamente los resultados. • b) Podemos buscar una función que nos relacione ambas variables. • c) Podemos encontrar valores que no vienen en la tabla de tabulación. Matemáticas Aplicadas CS I

4. 21 14 7 • a) Gráfico. • b) Se aprecia que es una función lineal, donde m = 3/5 = 0,60. • Luego y – 10 = 0,60.(x – 10)  f(x) = 0,60.x + 4 • c) Obtenemos los fallos en un tiempo de 7 minutos: • f(7) = 0,60.7 + 4 = 4,2 + 4 = 8 fallos • Obtenemos el tiempo para cometer 20 fallos: • 20 = 0,60.x + 4  16 = 0,60.x  x = 27 minutos 0 5 10 15 20 25 30 min Matemáticas Aplicadas CS I

5. Tema 7.2 * 1º BCS INTERPOLACIÓNY EXTRAPOLACIÓN Matemáticas Aplicadas CS I

6. INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN • Interpolación • Interpolar es calcular el valor aproximado de una función para un valor determinado de la variable independiente (x) cuando éste se encuentre en el intervalo de valores tabulados. • EJEMPLO • Hallar el número de fallos de la prueba para un tiempo de 13 minutos. 21 14 7 12 fallos 0 5 10 13 15 20 25 30 min Matemáticas Aplicadas CS I

7. Extrapolación • Extrapolar es calcular el valor aproximado de una función para un valor determinado de la variable independiente (x) cuando éste esté fuera del intervalo de valores tabulados. • EJEMPLO • Hallar el número de fallos de la prueba para un tiempo de 40 minutos. 28 21 14 28 fallos 0 15 20 25 30 35 40 min Matemáticas Aplicadas CS I

8. Tema 7.3 * 1º BCS INTERPOLACIÓNLINEAL Matemáticas Aplicadas CS I

9. INTERPOLACIÓN LINEAL 17 13 9 5 Sea la Tabla: • X Y • 1 5 • 5 13 • Calculamos la pendiente: • m=(13-5)/(5-1)= • = 8/4 =2 • Tomando el punto P(1,5) y la ecuación punto-pendiente: • y-yo=m.(x-xo) • y-5 = 2.(x-1) • y = 2.x – 2+5 • y=2.x + 3 • Que es la función de interpolación lineal. 0 135 7 • Interpolamos para x=3 • f(x) = mx+n • f(x) = 2.x + 3 • f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9 Matemáticas Aplicadas CS I

10. EXTRAPOLACIÓN LINEAL 17 13 9 5 Sea la Tabla: • X Y • 1 5 • 5 13 • Calculamos la pendiente: • m=(13-5)/(5-1)= • = 8/4 =2 • Tomando el otro punto P(5,13) y la ecuación punto-pendiente: • y-yo=m.(x-xo) • y-13 = 2.(x-5) • y = 2.x – 10+13 • y=2.x + 3 • Que es la función de interpolación lineal. 0 1 3 5 7 • Extrapolamos para x=7 • f(x) = mx+n • f(x) = 2.x + 3 • f(7) = 2.7 + 3 = 14 + 3 = 17 Matemáticas Aplicadas CS I

11. Ejercicio completo 1 • y=mx + n • Tomo dos de los tres primeros datos: • 7000 = m.2002 +n • 5000 = m.2001 +n • Resuelvo el sistema por Reducción: • m = (7000-5000)/(2002-2001) = 2000  • De la primera ecuación del sistema: • n = 7000-2000.2002 = - 3997000 • (Nota: Se podría haber hecho también por la ecuación punto-pendiente). • f(x) = 2000.x – 3997000 sería la • F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para interpolar como para extrapolar. Sea la Tabla: • Año Habitantes • 2001 5000 • 2002 7000 • 2003 9000 • 2005 13000 • Tomando los tres primeros datos: • Δx = 1 = Cte • Δy = 2000 = Cte • Podemos hacer una interpolación lineal. Matemáticas Aplicadas CS I

12. Pero sería falsa si no cumpliese que para el año 2005 había 13000 habitantes. La función dada en forma de tabla de valores no sería lineal. • Comprobamos: • 13000 = 2000.2005 – 3997000 • 13000 = 4010000 – 3997000  13000 = 13000 • Interpolamos para el año 2004, que es un dato que no nos dan: • f(2004) = 2000.2004 – 3997000 = 11000 • Extrapolamos para hallar la población en el año 2010: • f(2010) =2000.2010 – 3997000 = 4020000 – 3997000 = 2.3000 habitantes. • En la práctica, con problemas reales, al extrapolar no conviene que el valor de la variable independiente esté muy alejada de los valores mínimos y máximos facilitados en la Tabla pues el error podría ser muy alto si la tendencia no se mantiene. Matemáticas Aplicadas CS I

13. Ejercicio completo 2 • Como sólo me dan dos pares de valores, realizo una interpolación lineal: y=mx + n • Calculo la pendiente: • m = (13-7)/(5-2) = 6/3 = 2 • Por la ecuación punto-pendiente: • y-yo=m.(x.xo) • y-7 =2.(x-2) • y=2.x -4+7 • f(x) = 2.x + 3 sería la • F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para interpolar como para extrapolar. • f(2004)f(4)=2.4+3 = 11 miles de habitantes. • F(2010)f(10)=2.10+3=23 miles de habitantes. Sea la Tabla: • Año Habitantes • 2002 7000 • 2005 13000 • En la práctica podemos simplificar mucho las operaciones haciendo el siguiente cambio: • Año Habitantes • 2 7 • 5 13 Matemáticas Aplicadas CS I

14. Ejercicio completo 3 • Como sólo me dan dos pares de valores, realizo una interpolación lineal: y=mx + n • Calculo la pendiente: • m = (627 - 744)/(5 – 2) = – 117 / 3 = – 39 • Por la ecuación punto-pendiente: • y – yo=m.(x – xo) • y – 744 = – 39.(x – 2) • y = – 39.x + 78 + 744 • f(x) = – 39.x + 822 • F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para interpolar como para extrapolar. • f(2004)f(4)= – 39.4 + 822 = 666 alumnos • F(2010)f(10)= – 39.10 + 822 = 432 alumnos Sea la Tabla: • Curso Alumnos • 2002-03 744 • 2005-06 627 • En la práctica podemos simplificar mucho las operaciones haciendo el siguiente cambio: • Año Habitantes • 2 744 • 5 627 Matemáticas Aplicadas CS I