Universidad Autónoma San Francisco

1. Universidad Autónoma San Francisco CARRERA PROFESIONAL: Lengua, Traducción e Interpretación Asignatura: MATEMÁTICA Tema: “SISTEMA FORMAL”

2. Concepto General • En matemáticas, las pruebas formales son el resultado de sistemas formales, consistentes en axiomas y reglas de deducción. Los teoremas pueden ser obtenidos por medio de pruebas formales. Este punto de vista de las matemáticas, ha sido denominado formalista; aunque en muchas ocasiones este término conlleva una acepción peyorativa. • David Hilbert creó la disciplina denominada metamatemática, dedicada al estudio de los sistemas formales, entendiendo que el lenguaje utilizado para ello, denominado metalenguaje, era distinto del lenguaje del sistema formal que se pretendía estudiar. Con otra denominación, el metalenguaje o lenguaje obtenido mediante la gramática formal, se llama también, en ocasiones, lenguaje objeto.

3. Concepto General • O un sistema axiomático, es un artificio matemático compuesto de símbolos que se unen entre sí, formando cadenas que a su vez pueden ser manipuladas según reglas, para producir otras cadenas. De esta manera, el sistema formal, es capaz de representar cierto aspecto de la realidad. • En las ciencias formales de la lógica y las matemáticas, así como en otras disciplinas relacionadas, como son la informática, la teoría de la información, y la estadística, un ‘’sistema formal’’ es una gramática formal usada para la modelización de diferentes propósitos

4. Definición • Un sistema formal matemático consiste en: • Un conjunto finito de símbolos que pueden ser usados para la construcción de fórmulas, llamado el alfabeto o vocabulario. • Una gramática formal, es decir, un mecanismo para la construcción de fórmulas bien formadas (fbf, o wff por sus siglas en inglés). También debe proporcionarse un algoritmo de decisión para conocer si una determinada fórmula es bien formada o no. • Un conjunto de axiomas que deben ser fórmulas bien formadas • Un conjunto de reglas de inferencia • Un conjunto de teoremas. Este conjunto incluye todos los axiomas, más todas las ‘’wff’’ que pueden ser derivadas de los axiomas o de otros teoremas por medio de las reglas de inferencia. La gramática no necesariamente garantiza la decidibilidad de si una fórmula es teorema o no.

5. Problema de la decisión El problema de la decisión consiste en saber si una cadena cualquiera, es un teorema. El algoritmo que proporciona una respuesta a la pregunta de si la cadena es o no un teorema, se denomina procedimiento de decisión.

6. Propiedades de los sistemas formales • Coherencia: El sistema formal es coherente si cada teorema al ser interpretado no corresponde a una decisión verdadera. • Completitud: El sistema formal es completo si cada proposición verdadera puede ser representada mediante un teorema. Es incompleto si alguna verdad no puede expresarse. • Decidibilidad: Un sistema formal es decidible si existe un algoritmo que diga en tiempo finito si una cadena cualquiera es un teorema o no lo es.

7. La matemática como sistema formal • La matemática fue considerada por David Hilbert, como un sistema formal, ya que toda la matemática puede ser interpretada a base de símbolos, axiomas y reglas de producción. • Pero en 1931 KurtGödel demostró que la coherencia y la completitud no podían ser ciertos a la vez en las matemáticas, o al menos en los números enteros. Es lo que se denomina el teorema de la incompletitud de Gödel. • Por otra parte AlonzoChurch demostró que la matemática tampoco podía ser decidible, con lo que la idea de las matemáticas como sistema formal tal y como Hilbert pretendía resulto demolida.

8. El sistema axiomático de Peano • El sistema de Peano, es un sistema de postulados a partir del cual puede deducirse toda la aritmética de los números naturales. Los primitivos de este sistema son los términos "0" (cero), "número" y "sucesor", de los cuales, por ser primitivos no se da definición alguna. • Se entiende por "0" dicho número, el término "número" designa a los números naturales 0, 1, 2, 3,... exclusivamente, y con "sucesor" de un número natural n se refiere al número natural inmediato siguiente de n en el orden natural. • El Sistema de Peano contiene los 5 postulados que siguen: • P1 0 es un número. • P2 El sucesor de un número es siempre un número. • P3 Dos números nunca tienen el mismo sucesor. • P4 0 no es el sucesor de número alguno. • P5 Si P es una propiedad tal que (a) cero tiene la propiedad P, y (b) siempre que un número n tenga la propiedad P el sucesor de n también tendrá la propiedad P, entonces todos los números tendrán la propiedad P.

9. El sistema axiomático de Peano • El último postulado entraña el principio de inducción matemática e ilustra claramente el alcance de una "verdad" matemática por convención. Se construye la aritmética fundamental sobre esta base, definiendo los diversos números naturales como el sucesor de cero (0), el sucesor del sucesor de cero ( 0 ), y así hasta el infinito. • Luego, se establece la definición de suma, que expresa que la adición de un número natural a otro dado puede considerérsela como la suma repetida de 1; esta última operación es fácilmente expresable por medio de la relación de sucesor: (a) n + 0 = n; (b) n + k' = (n + k)' • Pasando ahora a la multiplicación de los números naturales, se la puede definir por medio de la siguiente definición por recurrencia, que expresa de manera rigurosa que el producto nk de dos números naturales puede ser considerado como la suma de k términos cada uno de los cuales es igual a n, en otros términos: (a) n . 0 = 0; (b) n. k' = n. k + n

10. GRACIAS UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SAN FRANCISCO