Vom graphischen Differenzieren

1. f(x0 + h) – f(x0) f‘(x0) = lim h → 0 h Vom graphischen Differenzieren zum rechnerischen Differenzieren

2. Die h-Methode Wir wollen die Steigung einer Funktion bestimmen Das können wir bereits! Oder nicht?

3. Können wir! 4 - 3 4 m = 4 - 3 6 - 4 3 6 - 4 m = 0,5 4 6 Sind 2 Punkte einer linearen Funktion gegeben, können wir die Steigung m einfach berechnen.

4. Das war einfach! Aber wie geht das nun bei nicht-linearen Funktionen? f(x) – f(x0) m = x - x0 f(x) f(x0) Differenzenquotient x0 x Wir wollen die Steigung im Punkt (x0/f(x0)) berechnen. Dazu nehmen wir einen weiteren Punkt der Funktion zu Hilfe und können so die Steigung m berechnen.

5. War das schon alles? Natürlich nicht ! Wir haben zwar eine Steigung berechnet, nicht aber die Steigung der Funktion im Punkt (x0/f(x0)), sondern die der Geraden durch die beiden Punkte. Was nun?

6. Ein Trick muss her! Würden die zwei Punkte näher zusammen liegen, so wäre das Ergebnis auch genauer. f(x0+h) f(x0) x0 x0+h Der Hilfspunkt liegt nun um h weiter als der Punkt, in dem wir die Steigung suchen. Wäre h nun sehr sehr klein, so müsste das Ergebnis auch ganz gut sein.

7. Berechnen wir m, dann sieht das nun so aus: f(x0+h) – f(x0) m = x0+h - x0 Wie soll mir das jetzt weiterhelfen???

8. f(x0+h) – f(x0) m = h Ein Beispiel muss her! Zahlen! Wir suchen die Steigung der Funktion f(x) = x2 an der Stelle x0 = 2. Wir brauchen nun wieder einen Hilfspunkt, der um „h“ weiter liegt. Die beiden Punkte lauten dann also (2/4) und (2+h/f(2+h)) Na wunderbar, mit 2 Punkten können wir arbeiten! Dann mal los... (2+h)2 - 4 4 + 4h + h2 - 4 h2 + 4h m = = = h h 2 + h - 2 h (h + 4) = h + 4 = h

9. Klasse! Die Steigung der Funktion im gesuchten Punkt ist also h + 4. Aber Moment mal.... Was sollen wir denn mit dem h anfangen? Wir haben doch immer noch die Steigung mit 2 Punkten berechnet? Wir sind ja auch noch nicht ganz fertig!

10. Die Überlegung war, dass die beiden Punkte sehr nah zusammen liegen sollten, damit das Ergebnis möglichst genau wird. Das machen wir jetzt! Wenn der zweite Punkt um „h“ entfernt liegt, machen wir h ganz einfach unendlich klein (sehr sehr klein) lim (h + 4) = 4 h->0 Man bildet den Grenzwert (limes) für h gegen 0. Die beiden Punkte liegen damit sozusagen aufeinander und wir haben nicht mehr die Steigung einer Geraden, sondern die Steigung in einem Punkt berechnet. Die Steigung der Funktion f(x) = x2 an der Stelle x0=2 beträgt also 4.

11. f(x0+h) – f(x0) f‘(x0) = lim h → 0 h f(x0+h) – f(x0) m = h Wie ging das noch mal ? 1. Ich berechne den Differen-zenquotienten m mit Hilfe eines weiteren Punktes, dessen x-Wert von der zu untersuchenden Stelle x0 den Abstand „h“ hat. 2. Ich bilde den Grenzwertfür h gegen 0 und erhalte die Ableitung (=Steigung)an der Stelle x0

12. f(x0+ h) – f(x0) oder m = f(x) – f(x0) x0 + h - x0 m = x – x0 f(x0 + h) – f(x0) f‘(x0) = lim h → 0 h f(x0+ h) – f(x0) m = h Der Differenzenquotient und die Ableitung: Die Ableitung f‘(xo) von f(x) an der Stelle x0 ist also:

13. Die drei Fragen: 1. Wie ist der Differenzenquotient definiert? 2. Was bedeutet die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0? 3. Wie kann die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 berechnet werden?

14. Aufgaben