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Bloque I * Tema 015

Bloque I * Tema 015. Sistemas de ecuaciones. SISTEMAS DE ECUACIONES. Sistema de ecuaciones es el conjunto de dos o más ecuaciones. Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones

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  1. Bloque I * Tema 015 Sistemas de ecuaciones Matemáticas Acceso a CFGS

  2. SISTEMAS DE ECUACIONES • Sistema de ecuaciones es el conjunto de dos o más ecuaciones. • Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones • Decimos que una ecuación es lineal cuando el exponente de todas las incógnitas es la unidad. • Un sistema de ecuaciones lineales es aquel en que todas sus ecuaciones son lineales. • Si un sistema tiene una o más soluciones se llama COMPATIBLE; de lo contrario es INCOMPATIBLE. • Si tiene una única solución el sistema de ecuaciones lineales es DETERMINADO; y si tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO. • Si multiplicamos a una ecuación por un número, la ecuación resultante es equivalente a la primera. • Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución. Matemáticas Acceso a CFGS

  3. Método de SUSTITUCIÓN • Se puede emplear casi siempre. • Se despeja una incógnita cualquiera en una ecuación cualquiera, y se sustituye la expresión resultante en la otra ecuación. • Ejemplo_1 • Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) ; 3x - y = 2 (2) • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : • x= 4 – 3y • Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : • 3 (4 – 3y) – y = 2 • Operando … 12 – 9y – y = 2 , 12 – 2 = 9y + y , 10 = 10 y , y = 1 • Llevando ese valor a la ecuación ( 1 bis), tenemos … • x = 4 – 3.y = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1 , o sea x = 1 • Comprobación: 1 + 3.1 = 4  4 = 4 , 3.1 – 1 = 2  2 = 2 Matemáticas Acceso a CFGS

  4. Método de SUSTITUCIÓN • Ejemplo_2 • Sea el sistema: 2x + 3y = 12 (1) ; 3x - 4y = 1 (2) • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : • x= (12 – 3y) / 2 = 12/2 - 3/2 y = 6 – 1,5 y • Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : • 3 (6 – 1,5y) – 4y = 1 • Operando … 18 – 4,5y – 4y = 1 , 18 – 1 = 4,5y + 4y , 17 = 8,5 y , y = 2 • Llevando ese valor a la ecuación ( 1 bis), tenemos … • x = 6 – 1,5y = 6 – 1,5.2 = 6 – 3 = 3 , o sea x = 3 • Comprobación: 2.3+ 3.2 = 12  12 = 4 , 3.3 – 4.2 = 1  1 = 1 Matemáticas Acceso a CFGS

  5. Método de SUSTITUCIÓN • Ejemplo_3 • Sea el sistema: x + 3y = - 8 (1) ; 3x - 4y = 15 (2) • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : • x= - 8 – 3y • Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : • 3 (- 8 – 3y) – 4y = 15 • Operando … - 24 – 9y – 4y = 15 , - 24 – 15 = 9y + 4y , - 39 = 13 y , • y = - 3 • Llevando ese valor a la ecuación ( 1 bis), tenemos … • x = - 8 – 3y = - 8 – 3. (- 3) = - 8 + 9 = 1 , o sea x = 1 • Comprobación: 1+ 3.(-3) = - 8  - 8 = - 8 , 3.1 – 4.(-3) = 15  15 = 15 Matemáticas Acceso a CFGS

  6. Método de IGUALACIÓN • Este método se emplea cuando es muy fácil despejar una incógnita determinada en las dos ecuaciones. • Ejemplo_1 • Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) ; 3x - y = 2 (2) • Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: • x = 4 – 3y (1 bis) ,, x = ( 2 + y ) / 3 (2 bis) • Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales • 4 – 3y = (2 +y) / 3 • Operando en la proporción resultante … • 12 – 9y = 2 + y , 12 – 2 = y + 9y , 10 = 10y , y = 1 • Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1 bis): • x = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1 , o sea x = 1 • Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M.de Sustitución. Matemáticas Acceso a CFGS

  7. Método de IGUALACIÓN • Ejemplo_2 • Sea el sistema: 2x + 3.y = 12 (1) ; 3x - 4y = 1 (2) • Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: • x = (12 – 3y) / 2 (1 bis) ,, x = ( 1 + 4y ) / 3 (2 bis) • Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales • (12 – 3y) / 2= (1 +4y) / 3 • Operando en la proporción resultante … • 36 – 9y = 2 + 8y , 36 – 2 = 8y + 9y , 34 = 17y , y = 2 • Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1 bis): • x = (12 – 3.2) / 2 = 6 – 3 = 3 , o sea x = 3 • Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M.de Sustitución. Matemáticas Acceso a CFGS

  8. Método de IGUALACIÓN • Ejemplo_3 • Sea el sistema: x + 3.y = - 8 (1) ; 3x - 4y = 15 (2) • Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: • x = (- 8 – 3y) (1 bis) ,, x = ( 15 + 4y ) / 3 (2 bis) • Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales • (- 8 – 3y) = (15 +4y) / 3 • Operando en la proporción resultante … • - 24 – 9y = 15 + 4y , - 24 – 15 = 4y + 9y , - 39 = 13y , y = - 3 • Sustituyendo ese valor en la ecuación ( 1 bis): • x = - 8 – 3.(- 3) = - 8 + 9 = 1 , o sea x = 1 • Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M.de Sustitución. Matemáticas Acceso a CFGS

  9. Método de REDUCCIÓN • Se empleará cuando coincidan los coeficientes numéricos en una de las dos incógnitas. Si no coinciden, podemos hacerles coincidir multiplicando una o las dos ecuaciones por el factor o factores adecuados. • Es a veces imprescindible en la resolución de sistemas de ecuaciones de segundo grado. • Ejemplo_1 • Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) ; 3x - y = 2 (2) • Multiplicamos la ecuación (1) por 3, resultando otra EQUIVALENTE. • 3x + 9y = 12 (3) • 3x - y = 2 (2) • A la ecuación (3) la quito la (2), quedando: • (3x – 3x) + (9y – (-y)) = 12 – 2  10 y = 10  y = 1 • Sustituyendo el valor de “y” en la ecuación (1) , tenemos: • x + 3.1 = 4 , x = 4 – 3 , x = 1 • Como se ve, la solución es la misma que por los otros Métodos. Matemáticas Acceso a CFGS

  10. Método de REDUCCIÓN • Ejemplo_2 • Sea el sistema: • 2x + 3.y = 12 (1) • 3x - 4y = 1 (2) • Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por 3 , resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES. • 8x + 12y = 48 (3) • 9x - 12y = 3 (4) • A la ecuación (3) la sumo la (4), quedando: • (8x + 9x) + (12y – 12y) = 48 + 3  17 x = 51  x = 3 • Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1) , tenemos: • 2.3 + 3.y = 12 , 3y = 12 – 6 , 3y = 6 , y = 2 • Como se ve, la solución es la misma que por los otros Métodos. Matemáticas Acceso a CFGS

  11. Método de REDUCCIÓN • Ejemplo_3 • Sea el sistema: • x + 3.y = - 8 (1) • 3x - 4y = 15 (2) • Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por 3 , resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES. • 4x + 12y = - 32 (3) • 9x - 12y = 45 (4) • A la ecuación (3) la sumo la (4), quedando: • (4x + 9x) + (12y – 12y) = - 32 + 45  13 x = 13  x = 1 • Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1) , tenemos: • 1 + 3.y = - 8 , 3y = - 8 – 1 , 3y = - 9 , y = - 3 • Como se ve, la solución es la misma que por los otros Métodos. Matemáticas Acceso a CFGS

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