Jak uczyć zadań na dowodzenie na różnych etapach edukacyjnych

1. Jak uczyć zadań na dowodzenie na różnych etapach edukacyjnych Niwki, 28.01.2013r.

2. Od 2010 roku matura z matematyki jest obowiązkowa na poziomie podstawowym. W arkuszach maturalnych na poziomie podstawowym znajdują się zadania ze standardu piątego dotyczącego rozumowania i argumentacji w których uczeń powinien prowadzić proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków. W arkuszu rozszerzonym także występują zadnia dwa zadania ze standardu piątego.

3. Najtrudniejsze są zadania na dowodzenie z geometrii, dlatego że zdający powinien sporządzić rysunek, wprowadzić zgodnie z założeniem oznaczenia, zauważyć kilka własności geometrycznych i wyodrębnić, co jest założeniem a co tezą (w wielu przypadkach uczniowie traktują tezę jako założenie).

4. Twierdzenia matematyczne możemy dowodzić, stosując dwie metody: dowodzenie wprost i nie wprost. Można wykorzystać także zasadę indukcji matematycznej, nie została ona jednak objęta podstawą programową. Aby stwierdzić prawdziwość twierdzenia, przeprowadza się rozumowanie zgodne z prawami logiki zwane dowodzeniem tego twierdzenia. W dowodzie korzystamy z założeń dowodzonego twierdzenia, aksjomatów lub z wcześniej udowodnionych twierdzeń.

5. Dowód, w którym rozpoczyna się od założeń, przeprowadza się wnioskowanie i w ten sposób dochodzi do tezy nazywa się dowodem wprost. Dowód nie wprost polega na zaprzeczeniu tezy dowodzonego twierdzenia i wykazaniu, że przyjęcie takiego zaprzeczenia prowadzi do sprzeczności z założeniem lub wcześniej dowiedzionym twierdzeniem lub aksjomatem. Uzyskana sprzeczność oznacza, że rozpatrywane twierdzenie należy uznać za prawdziwe.

6. W zadaniach typu uzasadnij, że… uczeń ma wskazany cel, który powinien osiągnąć, poszukując odpowiedniego sposobu oraz powołując się na znane własności. W zbiorze zadań występują także zadania typu uzasadnij, że…, chociaż główną część ich dowodu stanowią obliczenia lub budowanie modelu matematycznego. Zdający powinien zastosować strategię, która jasno wynika z treści zadania lub zbudować model matematyczny do pewnej sytuacji i krytycznie ocenić jego trafność

7. Wykaż, że liczba gdzie i jest liczbą parzystą. D: Aby wykazać, że liczba jest parzysta, należy pokazać, że liczba jest podzielna przez 2. Korzystając z działań na potęgach, liczbę x możemy zapisać w postaci: wobec tego liczb x jest liczbą parzystą.

8. 2. Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 10. = 10k, = = = =,

9. 3. Wykaż, że liczba jest podzielna przez liczbę 2016. D: , więc liczba jest podzielna przez 2016

10. 4. Wykaż, że jeśli liczby a, b, c są pierwszymi, różnymi liczbami to stosunek odwrotności tych liczb nie jest liczbą naturalną. Założenie: liczby a, b, c są liczbami pierwszymi (liczbami pierwszymi nazywamy te liczby naturalne, które mają tylko dwa dzielniki) Teza: nie jest liczbą naturalną Zauważmy, że ten dowód będzie nam łatwiej poprowadzić metodą nie wprost. D(nie wprost): Załóżmy, że Pomnóżmy obie strony równania przez abc, zatem Czyli liczba bc, która jest iloczynem dwóch liczb pierwszych dzieli się przez a. Zachodzi więc sprzeczność z założeniem, bo liczby a, b, c są liczbami pierwszymi zatem teza jest prawdziwa.

11. Przy dowodzeniu nierówności stosujemy elementarne przejścia równoważne, przeprowadzamy rozumowanie typu: jeżeli oraz , to . Trzy elementarne nierówności i ich zastosowania

12. Własność 1: Dla każdych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność: , przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a=b. 1 D: Lub: D: , Nierówność prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b.

13. Własność 2: Dla każdych nieujemnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność . D: Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a=b lub D:

14. Własność 3: Dla każdych liczb rzeczywistych a i b takich, że , prawdziwa jest nierówność . D: , z założenia , równość zachodzi gdy Lub D: Nierówność prawdziwa dla każdych liczb rzeczywistych a i b takich, że

15. Wykaż, że jeżeli , to . Założenie: >0, Teza: D: Zapiszmy trzy razy nierówności dla średnich (własność 2): , zatem Pomnóżmy te trzy nierówności stronami i otrzymamy: , zatem

16. 2. Jeżeli , to . W dowodzie wykorzystamy związek między średnią arytmetyczną i geometryczną dwóch liczb dodatnich (własność 2) 3. Uzasadnij, że . D: Korzystając z własności sumy logarytmów można zapisać: . Korzystając z własności: , to i , otrzymujemy

17. 4. Wykaż, że zachodzi równość: dla lub . D: L= (z zamiany podstawy logarytmu). .

18. 5. Uzasadnij, że równanie ma trzy rozwiązania takie, że jedno z nich jest iloczynem dwóch pozostałych. 6. Uzasadnij, że dla k=2, równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań

19. 7. Wielomian W(x) jest wielomianem stopnia czwartego, którego pierwiastkami są liczby -2, -1, 1, 2. Uzasadnij, że . 8. Uzasadnij, że zbiorem wartości funkcji jest zbiór .

20. 9. Wiedząc, że dla pewnego ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich prawdziwa jest równość , wykaż, że iloraz tego ciągu . Symbol oznacza sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu . 10. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony wzorem Uzasadnij, że należy wziąć co najmniej 14 kolejnych wyrazów tego ciągu, aby ich suma różniła się od sumy wyrazów tego nieskończonego ciągu geometrycznego o mniej niż .

21. 11. Dana jest funkcja i . Wykaż, że . 12. Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność . 13. Kod dostępu do komputera Bartka złożony jest z trzech kolejnych naturalnych potęg liczby 4 ułożonych w kolejności od największej do najmniejszej. Suma tych potęg jest równa 5376. Znajdź kod dostępu do komputera Bartka, zapisz rozumowanie. Kod Bartka składa się z następujących potęg: , czyli 25610244096.

22. 14. Uzasadnij, że pole trójkąta, w którym dwa boki mają długość 126 i 32, nie jest większe od 2016. D: Korzystając z wzoru na pole trójkąta: , gdzie jest kątem między dwoma bokami trójkąta otrzymamy: Zauważmy, że , zatem pole trójkąta nie przekroczy liczby 2016.

23. 15. W trójkącie ABC, w którym z wierzchołka C poprowadzono dwusieczną kąta, która przecięła bok AB w punkcie D. Wykaż, że .

24. 16. W trójkąt, którego boki mają długości , wpisano okrąg i następnie poprowadzono styczną do tego okręgu równoległą do boku o długości c, nie zawierającą tego boku. Wykaż, że długość odcinka będącego częścią wspólną poprowadzonej stycznej i trójkąta ma długość .

25. 17. Wykaż, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku są prostopadłe. 18. Dwusieczne kątów przy podstawie w trapezie przecinają się w punkcie należącym do krótszej podstawy. Wykaż, że długość krótszej podstawy jest równa sumie długości ich ramion. 19. W trójkącie prostokątnym promień okręgu wpisanego ma długość r, zaś promień okręgu na nim opisanego ma długość R. Wykaż, że pole tego trójkąta jest równe

26. 20. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości . Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość h. Punkt M jest środkiem odcinka DS. Wykaż, że pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną BCM jest równe .

27. 21. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym ściany boczne są kwadratami. Uzasadnij, że , gdzie jest kątem, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

28. 22. Uzasadnij, że jest 28800 liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie raz cyfra 7 i dokładnie dwa razy cyfra 4. 23. Listonosz losowo rozmieszcza osiem listów w sześciu różnych skrzynkach na listy. Uzasadnij, że prawdopodobieństwo tego, że w każdej skrzynce znajdzie się przynajmniej jeden list, jest równe .

29. 24.Z 75 sześcianów o krawędzi długości 1 Bartek zbudował graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego każda krawędź miała długość większą od 1. Wszystkie ściany graniastosłupa pomalował na niebiesko a następnie rozłożył graniastosłup na początkowe sześciany. Czy podane zdania są prawdziwe czy fałszywe? Zaznacz właściwą odpowiedź. A] Sześcianów z trzema ścianami niebieskimi było 8. □Prawda □Fałsz B] Sześcianów z dwiema ścianami niebieskimi było więcej niż sześcianów z jedną ścianką niebieską. □Prawda □Fałsz C] Z sześcianów, które nie miały żadnej niebieskiej ściany można zbudować sześcian. □Prawda □Fałsz

30. Na IV etapie edukacyjnym na poziomie podstawowym ta sama treść zadania, lecz inne polecenie: Z 75 tak pomalowanych sześcianów losujemy jeden sześcian. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania sześcianu: A] z jedną pomalowaną ścianą, B] z trzema pomalowanymi ścianami. Na poziomie rozszerzonym sformułujemy pytanie: Z 75 tak pomalowanych sześcianów losujemy trzy sześciany. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie ściany sześcianu są pomalowane .

31. Dziękuję za uwagę  Opracowała M. Romanowska