LUGAR GEOM ÉTRICO

1. Bisectriz de un ángulo d(P, r) = d(P, s) = A x + By + C A' x + B'y + C ' 2 2 2 2 A + B A' + B' Mediatriz de un segmento d(P, A) = d(P, B) LUGAR GEOMÉTRICO Lugar geométrico del plano es el conjunto de puntos que cumplen una condición determinada.

2. Ecuación: Elevando al cuadrado: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2 Reordenando: x2 + y2 + mx + ny + p = 0 donde: m = -2a n = -2b p = a2 + b2 – R2 El centro tiene como coordenadas: El radio es: 2 2 ( x - a ) + ( y - b ) = R - m - n C( , ) 2 2 1 2 2 R = m + n - 4 p 2 CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan R de otro punto llamado centro C(a, b) • Si a2 + b2 – p > 0 la circunferencia existe • Si a2 + b2 – p = 0 la circunferencia es un punto • Si a2 + b2 – p < 0 la circunferencia no existe

3. Se cumple que: PF + PF’ = constante Operando y reordenando nos queda la ecuación deuna elipse centrada en el origen de coordenadas: 2 2 x y + = 1 2 2 a b c excentricidad de la elipse: e se aproxima más a 1 cuanto más achatada sea la elipse e = < 1 a ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, F y F’, es constante. • distancia focal = 2c • semidistancia focal = c • vértices: A, A’, B y B’ • eje mayor = 2a • semieje mayor = a • eje menor = 2b • semieje menor = b • centro: O

4. excentricidad de la hipérbola: cuanto mayor sea e más cerradas estarán sus ramas c e = > 1 a • Se cumple que: |PF - PF’| = cte • Operando y reordenando nos queda la ecuación deuna hipérbola centrada en el origen de coordenadas: • donde • a semieje real • b semieje imaginario 2 2 x y - = 1 2 2 a b HIPÉRBOLA La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, F y F’, es constante. • distancia focal = 2c • semidistancia focal = c • vértices: A y A’ • eje focal pasa por los focos F F’ • eje secundario mediatriz de FF’ • centro: O

5. parábola de eje vertical • y = ax2 + bx + c • V = • si a > 0 las ramas de la parábola • dirigidas hacia arriba • si a < 0 las ramas de la parábola • dirigidas hacia abajo • parábola de eje horizontal • x = ay2 + by + c • V= • si a > 0 las ramas de la parábola • dirigidas hacia la derecha • si a < 0 las ramas de la parábola • dirigidas hacia la izquierda 2 - b b - 4a c ( , ) 2 a 4a p foco: directriz: Se cumple que d(P, d) = d(P, F) Operando y ordenando nos queda la ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y directriz vertical: y2 = 2px F ( , 0) 2 2 b - 4a c - b p ) ( - , x = - 4a 2 a 2 PARÁBOLA La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta, llamada directriz y de un punto, llamado foco F. • parámetro = p • vértices: V • eje: perpendicular a la directriz