CÁLCULO NUMÉRICO

CÁLCULO NUMÉRICO UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS Objetivos: Aplicar algoritmos numéricos para determinação dos zeros das funções reais . 2.1 – Introdução 2.2 – Fase I – Isolamento 2.3 – Fase II – Refinamento 2.3.1 – Critério da Parada 2.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais das funções

2.1 – Introdução Na área de exatas, as mais diversas situações a resolução de equação do tipo f(x)=0. R Neste circuito há um dispositivo não linear onde a g é uma função da corrente elétrica não linear E v=g(i) Lei de Kirchhoff É um polinômio de 3º grau Portanto x é uma função f(x) ou raiz da equação f(x)=0 se f(x)=0 Em alguns casos as raízes podem se complexas

f(x) f(x) 1 2 x 2 3 1 x f(x) 1 2 3 x 2.1 – Introdução Graficamente o zero das funções reais constitui os pontos das abcissa que intercepta o eixo x.

2.1 – Introdução A questão é: Como obter as raízes reais de uma equação qualquer? Para equações de 1º e 2º graus e equações que possam ser reduzidos a equações deste tipo, há soluções analíticas. Para equações de maior grau e funções não lineares o problema se torna mais complexo e não há solução exata. De qualquer forma, utilizando-se uma máquina adequada podemos encontrar as raízes aproximadas com precisão pré fixada.

2.1 – Introdução • Desta forma o ideal é: • Obter uma aproximação inicial da raiz; • Refinar essa aproximação com processos iterativos Portanto, o método numérico constitui-se em duas fases: Fase I – Localização ou Isolamento das Raízes: Consiste em definir o intervalo que contém a raiz. Fase II – Refinamento: Após a fase I, realizar uma melhora sucessiva até obter a raiz dentro de uma precisão pré fixada

f(x) f(x) a a x b 2 1 3 x b  f(x) a b x 2 1 2.1 – Isolamento das Raízes Faz-se a análise teórica e gráfica de f(x). Teorema I: (Cauchy-Bolzano) Seja f(x) uma função no intervalo [a,b] Obs1: se f(a)f(b)<0 então existe pelo menos um x=x entre a e b em que f(x)=0 Graficamente:

f(x) f(x) b a  x a x  b f’(x) > 0, x [a,b] f’(x) < 0, x  [a,b] 2.1 – Isolamento das Raízes No caso do teorema 1, se f’(x) existir e permanecer com o mesmo sinal de (a,b) então este intervalo contém um único zero para f(x).

- x -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4 5 f(x) - - - - + + + - - + + + 2.1 – Isolamento das Raízes • Forma de isolar as raízes: • Tabelar f(x) para vários valores de x; • Examinar o sinal de f’(x) onde houve a mudança de sinal. • Exemplo 1: • a) f(x)=x3-9x+3 I1 = [-5, -3] I2 = [0, 1] I3= [2, 3] Cada um dos intervalos contém pelomenos umzero. Como a função é do 3º grau pode-se afirmar que a apenas uma raiz em cada intervalo f(x)é contínua para x R.

2.1 – Isolamento das Raízes Exemplo 2: b) f(x) admite pelomenos um zero no intervalo [1, 2] Análise do sinal de f’(x) f(x) admite um únicozero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo (1,2).

f(x) a b x a x 2 1 b 2.1 – Isolamento das Raízes Obs2: se f(a)f(b)>0Podemos ter várias situações como por exemplo: f(x) a x b  f(x) Neste caso é necessário a análise gráfica da função f(x) ou da equação f(x)=0.

2.1 – Isolamento das Raízes Os processos de análise gráfica são os seguintes: Esboçar o gráfico de f(x) e localizar as abcissa dos pontos onde a curva intercepta o eixo x. A partir da equação f(x)=0 obter a equação equivalente g(x)=f(x) , esboçar o gráfico de ambas as funções no mesmo plano cartesiano e localizar os ponto x onde as curvas se interceptam, pois neste caso: f(x)=0g(x)=h(x). Usar programas que esboçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

2.1 – Isolamento das Raízes • Estudo Detalhado do Comportamento de uma Função a partir de seu Gráfico • Domínio da função • Pontos de descontinuidade • Intervalos de crescimento e decrescimento • Pontos de máximo e mínimo • Concavidade • Pontos de inflexão • Assíntotas da função (Vide LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica)

f(x) 1 3 2 x 4 3 1 2 -4 -3 -2 -1 2.1 – Isolamento das Raízes Análise gráfica: Exemplo 3: Uso do método (i) f(x) = x3– 9x +3 f’(x) = 3x2 - 9 f’(x) = 0 <=> x = 1 (-4, -3); 2(0, 1); 3(2, 3)

2.1 – Isolamento das Raízes Análise gráfica: Exemplo 4: Uso do método (ii) f(x) = x3– 9x +3 g(x) = x3 h(x) = 9x -3 3 (2, 3) y h(x) g(x) 1 (-4, -3) 2 (0, 1) 1 3 2 x 4 3 1 2 -4 -3 -2 -1

2.3 – Fase II – Refinamento Métodos Iterativos são sequencias de instruções repetitiva em ciclos Cada nova Iteração utiliza o resultado do ciclo anterior

2.3 – Fase II – Refinamento INICIO Dados Iniciais Cálculos Iniciais K=1 Calcular nova Aproximação Está aproximação está próxima o suficiente da raiz exata? S Cálculos Finais N FIM Cálculos Intermediários

2.3.1 – Critério de Parada f(x) a  x b b – a<  Há duas interpretações para raiz aproximada que nem sempre levam ao mesmo resultado: é raiz aproximada com precisão e se: Como efetuar o teste (i) se não conhecemos x? • Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. • Ao se conseguir um intervalo [a,b] tal que então Pode ser tomado como

2.3.1 – Critério de Parada Nem sempre é possível satisfazer a condição (i) e (ii). mas em tem-se f(x) f(x) f(x) mas x x x Os métodos numéricos são desenvolvidos para satisfazer um dos dois critérios. Para x escolhido na vizinhança de x. Dependendo da ordem de grandeza, aconselha-se utilizar o erro relativo:

2.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais das funções I – Método da bissecção. • Seja f(x) contínua em [a,b]/f(a)f(b)<0. • Supor, por simplificação, a existência de uma única raiz. • Objetivo: Reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir a precisão requerida: (b-a)<e, dividindo-se sucessivamente o [a,b] ao meio. Iterações: f(x) Graficamente: x2=a3 x1==a2 b=b0 x0=b1=b2=b3 a=a0=a1

I – Método da bissecção. Exemplo: Achar o zero aproximado da função f(x)=xlog(x)-1 que possui um zero no intervalo [2,3] com e=0,125.

I – Método da bissecção. Algoritmo: Seja f(x) contínua em [a,b]/f(a)f(b)<0. 1)Dados iniciais: a) Intervalo [a,b] b) precisão e 2) Se (b-a)<e, então escolha para qualquer x X [a,b].Fim. 3 K=1 4) M=F(a) 5)x=(a+b)/2 6)Se M.f(x)>0, faça a=x. vá para passo 8. 7) b=x 8) Se (b-a)<e, escolha qualquer X[a,b]. FIM. 9) K=K+1. Volte para o passo 5.

I – Método da bissecção. Condições de parada • Se os valores fossem exatos • f(x) = 0 • (b k– ak)= 0 • Caso cont´rário • |f(x)|e • |(bk– ak)| e

I – Método da bissecção. Estimativa do número de iterações • Dada a precisão e e o intervalo [a,b] a estimativa do número de iterações é obtido como se segue: • Deve-se obter o valor de k tal que:

I – Método da bissecção. Observações finais: • Se f(x) é contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0 este método vai gerar uma sequência {xk} que converge para a raiz. É sempre possível obter um intervalo que contém a raiz da equação em estudo, sendo que o comprimentos deste intervalo final satisfaz a precisão requerida. • As iterações não envolvem cálculos laboriosos. A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude do intervalo anterior; • A convergência é muito lenta pois o intervalo inicial é tal que b0-a0>>e e se e for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande como por exemplo: • O algoritmo apresentado pode incluir também o teste de parada com o módulo da função e o número máximo de iterações.

O fim....O fim

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