Geostatistik in der Geoinformation II

1. Geostatistik in der Geoinformation II Kovarianzfunktionen & stochastische Prädiktion Referent: Jens Saatkamp Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Wolf-Dieter Schuh Boris Kargoll

2. Meßreihe: Modellansatz Meßwert l(Ort) Trend = Ax Signal + Rauschen =z+n Ort l=Ax+z+n Meßwerte setzen sich zusammen aus: • Trend: modellierbar mit determinis-tischem Modell (Andreas) • stochastischem Signal • Rauschen > zufällig Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

3. Bezug zur Geoinformation Wo tritt so etwas in Geoinformations-systemen auf? Messungen / Ermittlungen von: Grundwasserständen Stoffkonzentrationen im Wasser geochemischen Variablen (Erzgehalte) topographischen Höhenmaßen Können über Ortskoordinaten räumlich eingeordnet werden. Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

4. GIS > stochastisches Signal • Beispiel: Geländemodell • große Gebirge > angenähert durch Trend • kleine „Hügel" werden hier nicht erfaßt • „Hügel“ einfach als zufällig verteilt angenommen = stochastisches Signal grober Trend feinere Betrachtung Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

5. Motivation Problem: An einer Stelle fehlt eine Messung. Abhilfe: Wert dort rechnerisch vorhersagen = prädizieren! Bestimmen einer Funktion. Signal z(x) Ort x • Berechnen des Funktionswertes. Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

6. Stochastischer Ansatz • Meßwert annehmen als Realisierung einer Zufallsvariable, d.h. jeder Meßwert besitzt eine eigene Verteilungsfunktion • Inwieweit sind die Meßwerte stochastisch voneinander abhängig =korreliert? • Inwieweit hängt die Korrelation der Meßwerte vom Ort ab? • Aufgabe: • untersuchen des räumlichen Zusammenhangs • Verteilungsfunktionen betrachten Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

7. Grundlagen: Momente von Zufallsvariablen • Erwartungswert: E {z(xi)}=mz • Autokorrelation: rxixj=E {z(xi) * z(xj)} Erwartungswert des Produktes zweier Meßwerte aus einer Meßreihe • Autokovarianz: Cov (xi, xj)= E {[z(xi) - mz} ] * [z(xj) - mz]} Erwartungswert des Produktes derAbweichungen zweier Meßwerte vom Mittelwert Sonderfall i=j:Varianz Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

8. Schwache Stationarität • die Meßreihe muß schwach stationär sein • Mittelwert der Messungen unabhängig vom betrachteten Ort: mxi = const. • Meßreihe schwankt um einen konstanten Wert • hier: mxi = 0 • Autokorrelation = Autokovarianz Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

9. Schwache Stationarität • Autokorrelation (hier =Autokovarianz) ist: • nur abhängig vom Abstand zwischen den Meßstellen = relative Lage auf der x-Achse • nicht abhängig von der absoluten Lage auf der x-Achse • Cov (xi,xj) =Cov (|xj-xi|)=Cov(s) • Definition:s= |xj-xi| • Varianz ist endlich Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

10. Wie den Zusammenhang ermitteln? Idee: Ermitteln einer Kovarianzfunktion Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

11. Diagramm zi*zj > Kovarianz s > Abstand • Berechnung der Kovarianzen für alle möglichen Meßwertkombinationen • nur „Nachbarwerte“ betrachten!d.h. weglassen aller Kovarianzen von Punkten, deren Abstand auf der x-Achse z.B. mehr als 100 beträgt • Auftragen im Diagramm in Abhängigkeit vom Abstand s der Meßstellen untereinander Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

12. Klassenbildung zi*zj > Kovarianz s > Abstand Problem: • keine Funktion erkennbar Lösung: • Abstandsintervalle = Abstandsklassen Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

13. Mittelbildung zi*zj > Kovarianz s > Abstand Lösung: • Abstandsintervalle= Abstandsklassen • Bilden des Mittelsin jeder Abstandsklasse • für den Abstand 0 eigene Klasse bilden = Varianz Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

14. Funktion zi*zj > Kovarianz s > Abstand Lösung: • Abstandsintervalle = Abstandsklassen • Bilden des Mittelsin jeder Abstandsklasse • empirische Kovarianz-funktion Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

15. Mathematische Kovarianzfunktionen • empirische Kovarianzfunktionen > diskrete Werte Wie erreicht man kontinuierliche Werte? • mathematische Kovarianzfunktionen • müssen positiv definit sein, d.h. positiv definite Kovarianzmatrizen erzeugen • ermitteln z.B. mit einem Gauß-Markoff-Modell Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

16. Ansätze für mathematische Kovarianzfunktionen Cov s Funktionen müssen positiv definit sein! Cov e-as e-as² s Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

17. Ansätze für mathematische Kovarianzfunktionen sin as sinc(as)= as • Weitere Ansätze: • Sinc-Funktion • Funktionen der Form cos(as), sin(as) • beliebige Linearkombinationen, Produkte, Quotienten der hier genannten Funktionen Cov s Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

18. Merkmale von Kovarianzfunktionen • Amplitude • maximale Kovarianz Cov s Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

19. Merkmale von Kovarianzfunktionen • Amplitude • maximale Kovarianz • Krümmung im Ursprung • Veränderung bei unmittelbar benachbarten Meßwerten Cov s Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

20. Merkmale von Kovarianzfunktionen • Amplitude • maximale Kovarianz • Krümmung im Ursprung • Veränderung bei unmittelbar benachbarten Meßwerten • Halbwertsbreite • Abstand, bis zu dem die Kovarianz auf die Hälfte zurückgeht Cov s Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

21. Beispiel 1 • Meßreihe über 560km • jeden Kilometer eine Messung empirische Kovarianzfunktion mathematische Kovarianzfunktion 80*e-4,4*10-3*s² Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

22. Beispiel 2 • Meßreihe über 560km • jeden Kilometer eine Messung empirische Kovarianzfunktion mathematische Kovarianzfunktion 50*e-1,2*10-3*s² Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

23. Anwendung • Wie kann die ermittelte Kovarianzfunktion zur Prädiktion genutzt werden? • Kollokation • Kolmogoroff-Wiener-Prädiktion Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

24. Schätzfunktion Annahme: • „wahre“ Funktion f(x) existiert für beliebige Orte x • beschreibt das Signal Ansatz: • schätzen von f(x) durch eine Funktion • n: Anzahl der Meßwerte • bekannt: z(xi) Meßwerte • gesucht: li (x) Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

25. Kleinste Quadrate - Schätzung Minimumaufgabe: • minimieren von e² in Abhängigkeit von den li: • Erwartungswert des quadratischen Schätzfehlers: • eingesetzt: • ermitteln der li Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

26. Ergebnis Ergebnis: • D sind Kovarianzmatrizen: • linke Matrix (1xn): Kovarianzen von gemessenen Werten und dem Wert an der zu prädizierenden Stelle • ist also für jedes x einzeln zu ermitteln Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

27. Ergebnis Ergebnis: • D sind Kovarianzmatrizen: • rechte Matrix (nxn): Kovarianzen von Meßwerten • kann direktbestimmt werden, ohne daß bekannt ist, welche Werte zu prädizieren sind • ist zu invertieren Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

28. Ergebnis Ergebnis: • z ist ein nx1 Vektor: • enthält die Meßwerte • im voraus bekannt Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

29. Zusammenfassung Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

30. Anleitung zum Rechnen • denTrend eliminieren (> Andreas) • Berechnung der empirischen Kovarianzfunktion • Modellierung der empirischen durch eine positiv definite mathematische Kovarianzfunktion • Berechnung der Matrix D(xj,xi) • Berechnen von D(xj,xi)-1*z • für einzelne zu prädizierende x: Berechnung von D(x,xj) • Bestimmen des Funktionswertes der geschätzten Funktion: Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

31. Beispiel 1 • Meßwerte zwischen 300km und 330km • prädizierte Werte jeweils um 0,5km versetzt • Kovarianzen berechnet mit der Funktion: 80*e-4,4*10-3*s² Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

32. Bewertung • Vorteile dieses Ansatzes: • geschätzte Funktion ist harmonisch • Funktion gilt für den gesamten Bereich: vermeidet Problem der Unstetigkeiten bei Splines und anderen stückweisen Funktionen • Nachteil: • Funktion enthält Inverse einer nxn Matrix: großer Rechenaufwand • in der Geostatistik werden in der Regel andere Verfahren verwendet: Variogramme > Kriging • Wird hier dasselbe nur mit einem anderen theoretischen Ansatz gemacht? • Jeff Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

33. E N D E Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion