Depto. Matemáticas – IES Elaios Tema: Probabilidad 4. CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1. Depto. Matemáticas – IES Elaios Tema: Probabilidad 4. CÁLCULO DE PROBABILIDADES Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando, ampliando y adaptando las diapositivas de la Editorial SM

2. E A B p(A) = p(A  B) + p(A  B) p(B) = p(A  B) + p(A  B) A  B A  B Probabilidad de la unión de sucesos A  B p (A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) Ejemplo Para 3 sucesos: p (A  B  C) = p(A) + p(B) + p (C) – p (A  B) – p (A  C) – p (B  C) + p (A  B  C)

3. E • 1 • 3 • 5 B • 2 • 6 • 4 A P(A  B) 2 P(A|B) = = P(B) 3 Probabilidad condicionada A veces, tener información sobre un suceso cambia su probabilidad. Es lo que llamaremos una probabilidad condicionada Ejemplo: Se lanza un dado cúbico y sale un número par. ¿Qué probabilidad hay de que el número obtenido sea mayor que tres? A = «Obtener número mayor que 3» = {4, 5, 6} B = «Obtener número par» = {2, 4, 6} A  B = {4 , 6} P (A) = 3/6P (B) = 3/6 P(A  B) = 2/6 A|B = “mayor que 3 condicionado a que salió par” Si sabemos que es número par, el espacio muestral ha cambiado; ya no es E sino B

4. Probabilidad condicionada Sea B tal que P(B)  0. Para cualquier suceso A se define la probabilidad de A condicionada por B, como: P(A|B) = P(A  B) / P(B) De forma análoga: P(B|A) = P(B  A) / P(A) • apuntes – • La probabilidad condicionada se puede calcular por dos caminos: • Considerando el nuevo espacio muestral que surge a partir de la información conocida. • Aplicando la fórmula anterior. • Ejemplo con tablas de contingencia (libro)

5. P(A  B) P(A  B) = P(B) ·P(A / B) se llega a Partiendo de P(A / B) = P(B) Regla de la multiplicación Esta última relación recibe el nombre de regla de la multiplicación. Ejemplo: El 35% de las personas que viajan entre dos ciudades lo hace con cierta compañía cuyos vuelos llegan con retraso el 5% de las veces. ¿Qué probabilidad hay de que una persona elija dicha aerolínea y llegue con retraso? Sea A = «llega con retraso» Sea B = «viaja con esa compañía» P(A  B) = P(B) · P(A / B) = 0,35 · 0,05 = 0,0175

6. P(A) = 1/2 P(B) = 5/18 Dependencia e independencia de sucesos • Dos sucesos son independientes si la aparición de uno de ellos no cambia la probabilidad de que ocurra el otro. • En términos matemáticos: A y B son independientes si P(A / B) = P(A). • O también: A y B son independientes si P(A  B) = P(A / B) . P(B) = P(A) . P(B) • Cuando dos sucesos no son independientes se dice que son dependientes. Ejemplo: Lanzamiento de un dado dos veces seguidas. Sucesos: A = «en el segundo lanzamiento sale par» y B = «la suma es al menos 9» E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6). (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} B = {(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), (6, 4), (5, 5), (4, 6), (6, 5), (5, 6), (6, 6)} Como A  B = { (3, 6), (4, 6), (5, 4), (5, 6), (6, 4), (6, 6)}  P(A  B) = 1/6 Los sucesos A y B son dependientes ya que P(A  B)  P(A) . P(B)

7. Experimentos compuestos • Los experimentos formados por varios experimentos simples se llaman experimentos compuestos. • Dados dos experimentos simples de espacios muestrales E y E', el espacio muestral del experimento compuesto obtenido por la realización simultánea de ambos es el producto cartesiano E x E'. • Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar un dado”: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar una moneda”: E' = {C, X} • Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar una moneda y un dado a la vez”: • E" = {(C,1), (X,1), (C,2), (X,2), (C,3), (X,3), (C,4), (X,4), (C,5), (X,5), (C,6), (X,6)} C X (C,1) (C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6) (X,1) (X,2) (X,3) (X,4) (X,5) (X,6) 1 2 3 4 5 6 Podemos obtener este espacio muestral mediante un diagrama en árbol. 1 2 3 4 5 6

8. 5/8 3/8 1R 1B 3/8 3/8 5/8 5/8 2B 2R 2R 2B Probabilidad de la intersección de sucesos independientes • Si A y B son independientes p(AB) = p(A) . p(B). Ejemplo: De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 5 rojas, se extraen sucesivamente dos bolas devolviendo la primera bola extraída. Calcula la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea blanca. Urna p(primera bola blanca y segunda blanca) = p(1B2B) = = p(1B) · p(2B/1B) = p(1B) ·p(2B) =

9. 5/8 3/8 1R 1B 3/7 2/7 4/7 5/7 2B 2R 2R 2B Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes • Si A y B son dependientes p(AB) = p(B) · p(A/B) = p (A) · p(B/A) Ejemplo: De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 5 rojas, se extraen sucesivamente dos bolas nodevolviendo la primera bola extraída. Calcula la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea blanca. Urna p(primera bola blanca y segunda blanca) = p(1B2B) = = p(1B) · p (2B/1B) =

10. Probabilidad de la intersección de sucesos • Si los experimentos simples que dan lugar al experimento compuesto son independientes se verifica • P(A1 A2  ...  An ) = P(A1) · P(A2) · ... · P(An) • Si los experimentos simples que dan lugar al experimento compuesto no son independientes se verifica: • P(A1 A2  ...  An ) = • P(A1) · P(A2 / A1 ) · … .P(An–1 / A1  A2  ...  An–2) ·P(An / A1  A2  ...  An–1) Ejemplo: Una urna contiene cuatro bolas blancas, tres negras y cinco verdes. Se extraen sucesivamente y sin devolución tres bolas. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean blancas y la tercera sea negra. Al extraer las bolas sin reemplazamiento los sucesos son dependientes. P(B1 B2  N3 ) = P(B1) · P(B2 / B1) · P(N3 / B1  B2) = 4/12 · 3/11 · 3/10 = 3/110