Capítulo 4 Variables Aleatorias Distribuciones

1. Capítulo 4 Variables Aleatorias Distribuciones

2. Variables Aleatorias Función que asigna a cada punto del espacio muestral un número real X : R Ejemplo N°1:  = falla , no falla  X( no falla ) = 0 X( falla ) = 1

3. X({no falla}) = 0 X({falla}) = 1 IR Familia de eventos elementales Variables Aleatorias  Espacio Muestral A cada s   le corresponde exactamente un valor X(s) falla no falla Conjunto Números Reales ¥ ¥ + - 0 1 X :Rx  X-1(-, x)  IR Á

4. si X(s) = b; s   A sk X(s) = a Variables Aleatorias  RX a b • El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s). • En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral • El espacio muestral original “induce” un espacio muestra Rx asociado a la Variable Aleatoria X • Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX

5. ( a < x < b ) ( a < x  b ] [ a x < b ) [ a  x  b ] x < b ) -  -  x  b ] (x > a  (x  a  Variables Aleatorias si X(s) = b; s    A sk X(s) = a RX a b Nótese que para cada par de números reales a y b existen los siguientes conjuntos

6. 0  P(X(s) = x ) = f(x)  1 f(x) 1 0 f : R [0, 1] Función de Probabilidad • El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el espacio muestral  se puede aplicar a eventos en RX. W RX X(s) = x s X: W RX

7. Variable Aleatoria X : R X-1(-, x)  Variable Aleatoria Discreta Sea C (con C  ) Soporte contable f : C R C =  ci : i  I  N  i) f(ci)  0 ii) = 1 Usando la transformación X

8. Variable Aleatoria Discreta • Sea X una variable aleatoria. • Si el número de posibles valores de X (esto es su RX). - Es finito (contable) o. - Es contablemente infinito (denumerable). • Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta. • Esto es, los posibles valores de X pueden ser listados. X1, x2, x3, ...., xn, ..... - En el caso contable la lista es finita. - En el caso denumerable la lista es infinita contable

9. Variable Aleatoria Discreta SeaC  X: C tal que i) p(ci) = Pr(ci) 0 X(ci) = xi P(A) = Á Conjunto de eventos elementales de una familia de eventos del espacio muestra; C   X es una función definida sobre el Espacio Muestral, que mapea en el conjunto de los Números Reales los eventos elementales definidos en C =  ci: i  I  N  IR En algunos textos se utiliza la letra f para acentuar que la variable aleatoria discreta es una fución Sea A el evento tal los eventos elementales ciC pertnezcan también a A, esto es ci C  A. Usando la transformación X å å p(c ) = P ( = x ) X i i { } Î Î : i i c C A i I i

10. f(xi) x1 x 2 x3 x4 x5 x6 xn P(X=5) = f(5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia Función de Probabilidad v.a. Discreta A cada resultado posible xi se asocia un número f(xi) = P(X(s) = xi) llamado la probabilidad de xi • Los f(xi) deben satisfacer • 0  f(xi)  1; i = 1, 2, 3, ... , n • S f(xi) = 1 • El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función de Probabilidad o Cuantia. i x

11. X(ci) = xi P(A) = Propiedades función de cuantia: 1. P ( X = xi )  0 2.  P ( X = xi ) = 1 3. Función de Distribución: F(x) =  P ( X = xi ) =  f ( xi ) i xix xix

12. Esperanza de una v.a. X Varianza de una v.a. X

13. Distribuciones Discretas Especiales 1. Distribución Bernoulli X : R P(X(ω)=0) = 1 – p P(X(ω)=1) = p E X = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = p V X = ( 0 - p )2( 1 - p ) + ( 1 - p )2 p = p ( 1 - p )

14. f(x) = P(X =x) = px (1 – p)1-x X = 0, 1 0 < p < 1 P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 – p f(x) p = 0,7 Entonces su función de cuantía es x 0 0 1 Función de Distribución v.a. Discreta Consideremos un solo experimento  sea A un evento asociado con tal experimento. supongamos que P(A) = p; luego P(Ac) = 1- p Sea la v.a. X(A ) = 1 X(Ac) = 0

15. Distribuciones Discretas Especiales 2. Distribución Binomial Supongamos que de una línea de producción se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad “p”. X: N° de piezas defectuosas en las n extracciones Entonces k = 0, 1, 2,......,n

16. E X = np • V X = np (1-p) • Notación: X  B( n , p ) • Se utiliza en el muestreo de una población finita con reemplazo. • También cuando la población es muy grande, con o sin reemplazo, ya que “p” se hace relativamente constante.

17. f(x) 0,300 n x n = 16 0,200 p = 0,2 f(x) = P(X = x) = px(1 –p)n-x 0,100 x = 0, 1, 2,......,n 0 < p < 1 x 0,000 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Función de Distribución v.a. Discreta • Sean n repeticiones independientes del experimento •  consiste de todos los posibles secuencias { a1, a2, a3, .., an}, donde cada ai puede ser un evento A o un evento Ac. • Existen 2n de tales secuencias Sea la variable aleatoria X := número de veces que ocurre el evento A sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3 , ....., n

18. Distribuciones Discretas Especiales 3. Distribución Hipergeométrica Surge en poblaciones que contienen elementos clasificables en 2 estratos ( con defectos: D ; sin defectos: N - D ). Consideremos un lote de tamaño N. Se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo. X: N° de artículos defectuosos en la muestra

19. k =0,1,2,.....,min n , D  Es aplicable al muestrear lotes de tamaño pequeño en relación al tamaño de la muestra ( N  10 n ).

20. Distribuciones Discretas Especiales 4. Distribución de Poisson Supongamos que tenemos una muestra de tamaño grande, para lo cual la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es pequeño “p”, y por lo tanto “np” el número total de artículos defectuosos en la muestra. Sea  = np. Entonces k = 0, 1, 2,.......

21. E X =  V X =  Caso límite: X  B( n , p ) con n p  0 N0

22. Cronstrucción de un Modelo Probabilístico • Las piezas a la salida de una línea de producción se clasifican en defectuosas (D) o no defectuosas (N). • Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de acuerdo a este esquema. El  para este experimento es: •  = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} • La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no cambia. Eso implica que si la población es finita, las observaciones se hacen con reemplazo • Interesa el número de piezas D y no el orden en que salen. • Se define una v.a. X igual al número de piezas defectuosas; luego, X = { 0, 1, 2, 3). Encontrar (xi, f(xi))

23. 3(1-p)2p (1-p)3 3(1-p)p2 p3 0 1 2 3  = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} X(NND)= 1 X(NDN)= 1 X(DNN)= 1 3 P(N) P(N) P(D) Creando un Modelo Probabilístico f(x) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 x 0

24. F(x) = 0 x< x1 1 i = 1 =  f( xi ) x1  x < x2 2 i = 1 =  f( xi ) x2  x < x3 3 i = 1 =  f( xi ) x3  x < x4 4 i = 1 =  f( xi ) x4  x < x5 P(X=x5) = f(x5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia Función de Distribución v.a. Discreta F(x) 1 0 x x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn

25. R R   P(x < X < x + h) h Variables Aleatorias Continuas • Cuando el experimento  se realiza sobre unespacio muestral  que está relacionado con escalas intevalares (tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc.) • Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimo valor de X = xi; En tales casos se habla se Variables Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial • f: • f(x) = lim h  0 > 0

26. A: un evento a b A: { x| a < x  b) ò f(x) dx = 1 b ò P(A) = P(a < x < b) = f ( x ) dx Rx a Variables Aleatorias Continuas Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (pdf) es una función que satisface: f(x) x f(x) > 0;  x  Rx  -¥, +¥

27. Distribuciones de Probabilidad Continuas Están definidas por una densidad de v. a. X f : R R se dice densidad de probabilidad Propiedades: 1. f (x)  0 2.

28. Observaciones 1. 2. 3. F (-) = 0 ; F () = 1 4. Fx es no decreciente 5. 6. f(x) a b x

29. Si X es una v.a. Discreta F(x) = f(xi) Donde la suma es tomada sobre todos los índices i que satifacen xi x Si X es una v.a. Continua F(x) = f(t) dt Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t  x Si X es una v.a. Discreta Si X es una v.a. Continua S x ò  i  xi x -  Función de Distribución Acumulada Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores: F(x) = P(X  x)

30. Construcción de Modelos de Probabilidad II) Sea F : R R , Fu Distribución, entonces: i) F es no decreciente ii) F es continua por la derecha iii) lim F(x) = 0  lim F(x) = 1 Luego P( - , x ) = F(x) define una Probabilidad Además: P( a,b ) = F(b) - F(a) P( a,b ) = F(b) - F(a-) P( a,b ) = F(b-) - F(a) P( a,b ) = F(b-) - F(a-)

31. f(x) 1 a  x  b = f x ( ) 0,2 - b a 0,1 7 1 ò P(A) = P(4 < x < 7) = x dx 9 min máx 0,0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a b 4 Variables Aleatorias Continuas Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar cuarquier valor entre a  x  b; cuya pdf es: Sea a = 3; b = 12 A: el evento { 4 < x < 7 } Entonces: 1 3 P(A) =

32. Distribuciones Continuas Especiales • Distribución Uniforme: Dada la función de densidad • La función de Distribución es

33. Notación: X  U( a , b )

34. Distribuciones Continuas Especiales 2. Distribución Normal F(x) : No tiene expresión analítica

35. Notación: X  N(  , 2 ) Estandarización Haciendo  N( 0 , 1 ) se tiene que: y FZ(z) se obtiene de tablas !

36. Distribuciones Continuas Especiales 3. Distribución Rayleigh

37. Distribuciones Continuas Especiales 4. Distribución Gamma

38. Función Densidad de Probabilidades

39. Distribuciones Continuas Especiales 5. Distribución Chi-Cuadrado Evaluando en Gamma Se llega a que X  2(n)   ( n/2 , 2 )

40. Distribuciones Continuas Especiales 6. Distribución Beta X   ( r , s ) ssi

42. Función Densidad de Probabilidades