Campi Conservativi

1. sempre Sia una funzione scalare (x,y,z) funzione del punto data da grad (x,y,z) non sempre Campi Conservativi sempre dove si parla di campi conservativi sempre è un campo conservativo quindi Es. sommando

2. Sia campo vettoriale Flusso di un vettore attraverso una superficie superficie dello spazio per la quale è definito il campo Es. Se con indico la velocità di un fluido è con la sua densità

3. la seguente grandezza scalare Indichiamo divergenza di un vettore Divergenza di un vettore funzione di (x,y,z) Teorema della divergeza del vettore attraverso una superficie chiusa qualsiasi S Il flusso

4. Sia in una regione dello spazio campo vettoriale Campi solenoidali allora è solenoidale in quella regione Quindi è sempre nullo

5. Se è conservativo, ossia se , si ha Campi conservativi e solenoidali secondo la definizione di divergenza, si ha Se è anche solenoidale in una certa regione dello spazio è sempre nullo in quella regione

6. Consideriamo un campo vettoriale proponiamoci di calcolare circuitazione l Circuitazione di un vettore a . Definiamo un nuovo vettore, detto rotazione di O anche l . a Per definizione è la componente lungo del vettore che battezzo

7. si ha Ogni qual volta Proprietà del rotore ricordando che per qualunque campo conservativo le tre componenti sono identicamente nulle. quindi qualunque campo vettoriale che soddisfi deve essere conservativo. Viceversa se la rotazione di un vettore è nulla allora possiamo dire che una funzione

8. l La circuitazione del vettore lungo una linea chiusa Teorema della rotazione oteorema di Stokes notiamo subito che Infatti calcolando secondo la definizione di divergenza Da ciò segue che il campo è sempre solenoidale

9. Campo vettoriale irrotazionale Le due espressioni matematiche hanno lo stesso significato Campo irrotazionale Campoconservativo

10. Concetto di carica Elettroscopio a foglie

11. Legge di Coulomb q1 q2 Costantedielettricadel vuoto Introduciamo una nuova grandezza che prende il nome di Carica L’unità di carica si misura in Coulomb C = Coulomb

12. q4 Il campo elettrico q3 qo q2 q1 qn Per ottenre quindi una definizione indipendente dalla carica considerate Intensità del Campo elettrico generato da una carica

13. q4 q3 qo P1 P2 q2 Il potenziale elettrostatico q1 qn È l’integrale indefinito Potenziale elettrostatico

14. Energia potenziale È l’energia potenziale della carica quando essa è posta nel punto in cui il potenziale ha il valore Quindi il campo elettrico si misura in

15. Flusso del campo elettrico Il flusso è indipendente dalla forma e dalle dimensioni della particolare superficie S che si considera. Sorgente interna alla superficie Il flusso dato da una sorgente esterna alla superficie è nullo Sorgente esterna alla superficie

16. Nel caso di più cariche Teorema di Gauss Flusso del campo elettricoteorema di Gauss Se si ha una distribuzione continua Ricordando il teorema della divergenza Teorema di Gauss in forma differenziale

17. Equazioni fondamentali del campo elettrostatico O anche Eqazione di Poisson Nei punti in cui Eqazione di Laplace

18. Equazioni dell’elettrostatica nei dielettrici Introduciamo due vettori Analogo a Induzione dielettrica Nel mezzo abbiamo Intensità di polarizzazione Suscettività dielettrica Costante dielettrica relativa

19. Costante dielettrica relativa di alcune sostanze

20. Legge di Coulomb nei dielettrici q1 q2 Costantedielettricadel mezzo

21. Corrente elettrica stazionaria Definiamo due nuove grandezze fisiche legata fra loro. Intensità di corrente Densità di corrente

22. conduttore Conservazione della carica (equazione di continuità) Intensità di corrente uscente entro la superficie del volumetto Densità di carica Per il teorema della divergenza Si può avere una corrente che esce dalla sua superficie solo se ρdv contenuta dentro il cubetto diminuisce. Equazione di continuità della corrente elettrica Quindi Nel caso delle correnti stazionarie si ha Ossia è sempre solenoidale Quindi

23. La legge di Ohm fissa la dipendenza fra il potenziale e la corrente in un conduttore La legge di Ohm Legge di Ohm Resistenza del conduttore Resistività del materiale

24. Quantità di carica La legge di Joule Lavoro svolto dal campo Legge di Joule Possiamo anche scrivere nei conduttori metallici dove vale la legge di Ohm O anche scrivendo

25. Maglia Nodo Le leggi di Kirchhoff Il flusso totale di uscente da tale superficie deve essere nullo. In ogni maglia la somma delle f.e.m. è sempre uguale alla somma delle c.d.t.