730 likes | 1.55k Views
MATEMATIKA SMA KELAS X BAB 5 TRIGONOMETRI buku : Sartono Wirodikromo. DOSEN PENGAMPU : Drs. DJOKO PURNOMO, M.M. NIAM KHOLID Hidayatullah 10310048 5B MATEMATIKA. Standar Kompetensi : Menggunakan perbandingan , fungsi , persamaan , dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.
E N D
MATEMATIKA SMA KELAS XBAB 5 TRIGONOMETRIbuku : SartonoWirodikromo DOSEN PENGAMPU : Drs. DJOKO PURNOMO, M.M
NIAM KHOLID Hidayatullah 10310048 5B MATEMATIKA
StandarKompetensi: Menggunakanperbandingan, fungsi, persamaan, danidentitastrigonometridalampemecahanmasalah
KompetensiDasar: • Melakukanmanipulasialjabardalamperhitunganteknis yang berkaitandenganperbandingan, fungsi, persamaan, danidentitastrigonometri • Merancang model matematikadarimasalah yang berkaitandenganperbandingan, fungsi, persamaan, danidentitastrigonometri • Menyelesaikan model matematikadarimasalah yang berkaitandenganperbandingan, fungsi, persamaandanidentitastrigonometri, danpenafsirannya
UkuranSudut Perbandingan-perbandinganTrigonometri PerbandinganTrigonometriSudut-sudutdi SemuaKuadran TRIGONOMETRI RumusPerbandinganTrigonometriUntukSudut-sudutBerelasi IdentitasTrigonometri GrafikFungsiTrigonometri ATURAN SINUS DAN KOSINUS
5-1 UkuranSudut • Dalamtrigonometriada 2 macamukuransudut yang seringdigunakan, yaitu : • Ukuransudutdalamderajat • Ukuransudutdalam radian 5-1-1 UkuranSudutdalamDerajat Definisi : Satuderajat (ditulis = 1) didefinisikansebagaiukuranbesarsudut yang disapuolehjari-jarilingkarandalamjarakputarsejauh 1/360 putaran BACK
1 derajat = 60 menitditulis 1=60’ 1 menit = 60 detikditulis 1’ = 60” Contoh: Diketahuibesarsudut = 127 24’ Nyatakanbesarsudut itudalamnotasidesimal Hitunglah ( nyatakanhasilnyadalamukuranderajat, menit, dandetik) : ½ Jawab: a. Dengandemikian, 127 24’ =127 + 24’ = 127 + 0,4 =127,4 Jadi, bentukdesimaldari = 127 24’ adalah = 127,4
5-1-2 UkuranSudutdalam Radian Definisi : Satu radian (ditulis : 1 rad) didefinisikansebagaiukuransudutpadabidangdatar yang beradadiantaraduajarijarilingkarandenganpanjangbusursamadenganpanjangjari-jarilingkaranitu
5-2 perbandingan-perbandingantrigonometri 5-2-1 perbandingan-perbandinganTrigonometridalamSegitigaSiku-Siku 5-2-2 MenentukanNilaiPerbandinganTrigonometriuntuksudutkhusus BACK
5-2-1 perbandingan-perbandinganTrigonometridalamSegitigaSiku-Siku Sin αᵒ = Cos B Tan c Cot a Sec A C b Cosec αᵒ =
RumusKebalikan RumusPerbandingan
5-2-2 MenentukanNilaiPerbandinganTrigonometriuntuksudutkhusus Sudutkhusus (sudutistimewa) adalahsuatusudut di mananilaiperbandingantrigonometrinyadapatditentukansecaralangsungtanpamenggunakandaftartrigonometriataukalkulator. Sudut-sudutkhususyaitu 0, 30, 45, 60, dan 90 y P(x,y) sin = Y cos = X y x 0 x P’ 1 Dengandemikian, dalamlingkaransatuanitukoordinattitik P(x,y) dapatdinyatakansebagai P(cos , sin )
Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 0 • Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 30 • Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 45 • Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 60 • Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 90
1. Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 0 Koordinattitik P (1,0), sehingga (1,0) = (cos 0, sin 0) Dengandemikian, diperoleh : Sin 0 = 0 Cos 0 = 1 Tan 0 = 0 Y P (1,0) X 0 1
2. NilaiperbandinganTrigonometriuntuksudut 30 OPQ merupakansegitigasamasisi dg panjangsisi OP = OQ = PQ = 1. Karena OPP samadansebangun OQP, maka PP = QP = ½ atauordinat y = ½ Segitiga OPP’ siku-sikudi P’ (OP)² + (PP)² = (OP)² (OP)² = (OP)² - (PP)² (OP)² = 1² - (½)² = ¾ OP = ½√3 OP menyatakanabsistitik P atau x = ½√3 Untuk =30 makakoordinattitik P adalah (½√3, ½) shgdiperoleh Sin 30 = ½ Cos 30 = ½√3 Tan 30 = ⅓√3 Y P(x,y) y 30 x 0 30 P’ X Q(x,-y)
3. Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 45 OPP merupakansegitigasiku-sikudi P dansama kaki dengan OP=PP atau x = y (OP)² + (PP)² = (OP)² x² + y² = 1 2x² = 1 x² = ½ x = ½√2 Karena x = y maka y =½√2 Untuk =45 makakoordinat P adalah (½√2, ½√2), sehinggadiperoleh Sin 45 = ½√2 Cos 45 =½√2 Tan 45 = 1 Y P(x,y) 1 y 45 0 x P X
4. Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 60 OPQ merupakansegitigasamasisi dg panjangsisi OP = OQ = PQ = 1. Karena OPP samadansebangun OQP, maka OP = QP = ½ sehinggaabsis x= ½ Y P(x,y) 1 y Segitiga OPP’ menunjukkanbahwa PP= ½√3, sehinggaordinat y= ½√3, Q(1,0) 60 x 0 P X Untuk =60 makakoordinattitik P adalah (½ ,½√3) shgdiperoleh Sin 60 = ½√3 Cos 60 = ½ Tan 60 = √3
5. Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 90 Kaki sudut OP berimpitdengansumbu Y positif Titik P(0,1), sehingga (0,1) = (cos 90, sin 90), sehinggadiperoleh Sin 90= 1 Cos 90= 0 Tan 90 = takterdefinisi Y P(0,1) 90 0 X
5-3 perbandingantrigonometrisudut-sudutdisemuakuadran Sin = Cos = Tan = Cot = Sec = Cosec = Y A P(x,y) r = √x²+y² (jarak) y (ordinat) X x (absis) BACK
Y II Sin, positif Cosec, positif I Semuapositif X 0 III Tan, positif Cot, positif IV Cos, positif Sec, positif
5-4 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut-sudutberelasi Definisi : sudut-sudutberelasi Misalkansuatusudutbesarnya Sudut lain yang besarnya (90 ) dikatakanberelasidengansudut dansebaliknya Sudut-sudut lain yang berelasidengansudut adalahsudut-sudut yang besarnya (90+), (180±), (270±), (360±) dan - BACK
rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (90 - ) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (90 + ) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (180 ) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (180 + ) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (270) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (270+) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudutnegatif () • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (n. 360) dansudut(n. 360+) BACK
5-4-1 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (90 - ) Y Q(y,x) Sin (90 - ) = cos Cos (90 - ) = sin Tan (90 - ) = cot Cot (90 - ) = tan Sec (90 - ) = cosec Cosec (90 - ) = sec Q P(x,y) 1 1 y x P 0 X Sinus sebuahsudut = cosinussudutkomplemennya, dansebaliknya Tangensebuahsudut = cotangensudutkomplemennya, dansebaliknya Secansebuahsudut = cosecansudutkomplemennya, dansebaliknya back
5-4-2 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (90 + ) Sin (90 + ) = cos Cos (90 + ) = - sin Tan (90 + ) = - cot Cot (90 + ) = - tan Sec (90 + ) = - cosec Cosec (90 + ) = sec Y Q(-y,x) Q P(x,y) 1 1 x 0 P X back
5-4-3 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (180 ) Sin (180 - ) = sin Cos (180 - ) = - cos Tan (180 - ) = - tan Cot (180 - ) = - cot Sec (180 - ) = - sec Cosec (180 - ) = cosec Y P(x,y) Q(-x,y) 1 1 y Q 0 x P X Sinus suatusudut = sinus sudutpelurusnya, dansebaliknya Cosinussuatusudut = negatifcosinussudutpelurusnya, dansebaliknya Tangensuatusudut = negatiftangensudutpelurusnya, dansebaliknya back
5-4-4 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (180 + ) Y Sin (180 + ) = - sin Cos (180 + ) = - cos Tan (180 + ) = tan Cot (180 + ) = cot Sec (180 + ) = - sec Cosec (180 + ) = - cosec P(x,y) 1 y 0 Q x P X 1 Q(-x,-y) back
5-4-5 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (270) Y Sin (270 - ) = - cos Cos (270 - ) = - sin Tan (270 - ) = cot Cot (270 - ) = tan Sec (270 - ) = - cosec Cosec (270 - ) = - sec P(x,y) 1 y 0 x X P 1 Q Q(-x,-y) back
5-4-6 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (270+) Sin (270 + ) = - cos Cos (270 + ) = sin Tan (270 + ) = - cot Cot (270 + ) = - tan Sec (270 + ) = cosec Cosec (270 + ) = - sec Y P(x,y) 0 X P Q Q(x,-y) back
5-4-7 rumusperbandingantrigonometriuntuksudutnegatif () Y Sin ( -) = - sin Cos ( -) = cos Tan ( -) = - tan Cot ( -) = - cot Sec ( -) = sec Cosec ( -) = - cosec P(x,y) 1 P 0 Q X 1 Q(x,-y) back
5-4-8 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (n. 360) dansudut(n. 360+) Sin (n . 360 - ) = sin (-) = - sin Cos (n . 360 - ) = Cos ( -) = cos Tan (n . 360 - ) = Tan ( -) = - tan Cot (n . 360 - ) = Cot ( -) = - cot Sec (n . 360 - ) = Sec ( -) = sec Cosec (n . 360 - ) = Cosec ( -) = - cosec Sin (n . 360 + ) = sin Cos (n . 360 + ) = cos Tan (n . 360 + ) = tan Cot (n . 360 + ) = cot Sec (n . 360 + ) = sec Cosec (n . 360 + ) = cosec back
5-5 identitastrigonometri5-5-1 identitastrigonometridasar Identitastrigonometridasar yang merupakanhubungankebalikan Identitastrigonometridasar yang merupakanhubunganperbandingan Identitastrigonometridasar yang diperolehdarihubunganteoremaphytagoras BACK
Identitastrigonometridasar yang merupakanhubungankebalikan back
Identitastrigonometridasar yang merupakanhubunganperbandingan back
Identitastrigonometridasar yang diperolehdarihubunganteoremaphytagoras Sin² + cos² = 1 1 + tan² = sec² 1 + cot² = cosec² back
5-5-2 identitastrigonometri yang lain kebenaranidentitastrigonometri yang lain. Dapatdilakukandengancara Cara 1: Sederhanakansalahsaturuas (biasanyadipilihruas yang memilikibentukrumit) sehinggadiperolehbentuk yang samadenganruaslainnya Cara 2: Sederhanakanmasing-masingruassehinggadiperolehhasil yang samauntukmasing-masingruastersebut Identitastrigonometrijugadigunakanuntukmembuktikan
Contoh Buktikanbahwa (sin cos )² + 2 sin cos = 1 Jawab: Ubahruas yang kiri (sin cos )² + 2 sin cos = sin² 2sin cos + cos² + 2 sin cos = (sin² + cos² ) + (2 sin cos 2 sin cos ) = 1 + 0 =1 Ruaskiri = ruaskanan Jadi, terbuktibahwa(sin cos )² + 2 sin cos = 1
contoh Buktikanbahwa sec⁴ sec² = tan⁴ + tan² Jawab: Ubahruaskiri sec⁴ sec² = sec² ( sec² 1) = sec² tan² Ubahruaskanan tan⁴ + tan² = tan² ( tan² + 1) = tan² sec² = sec² tan² Ruaskanan = ruaskiri = sec² tan² Jadi, terbuktibahwasec⁴ sec² = tan⁴ + tan²
5-6 grafikfungsitrigonometri Grafikfungsi y=sin xᵒ (0≤x≤360) Grafikfungsi y = cos xᵒ (0≤x≤360) Grafikfungsi y = tan xᵒ (0≤x≤360) BACK
y 1 240 300 360 210 x 270 330 180 0 150 30 60 90 120 –1 back
y 1 120 240 150 210 180 x 0 30 60 90 360 300 330 270 – –1 back
y x 0 45 90 135 180 225 315 270 360 back
ATURAN SINUS DAN KOSINUS • ATURAN SINUS ∆ LANCIP ∆ TUMPUL • ATURAN KOSINUS ∆ LANCIP ∆ TUMPUL BACK
Perhatikan∆ABC lancip AP merupakangaristinggipadasisi a BQ merupakangaristinggipadasisi b CR merupakangaristinggipadasisi c Pada ∆ACR : Pada∆BCR : Persamaan (1) dan (2) diperoleh: C a Q P b A B c R
Pada∆BAP : Pada∆CAP : Persamaan (4) dan (5), diperoleh : C a Q Persamaan (3) = (6), diperoleh: P b back A B c R
Perhatikan∆ABC tumpul: Garis AP adalahgaristinggipadasisi a Garis BQ dan CR adalahgaristinggipadaperpanjangansisi b dan c Pada ∆ACR : ⟺ CR= b sin (180ᵒ–A) ⟺ CR= b sin A………………(1) C P a b B R A c Pada∆BCR : ⟺ CR= a sin B ……………….(2) Q Persamaan (1) = (2), diperoleh : b sin A = a sin B ⟺
Pada∆BAP : Pada∆CAP : C P a b Persamaan (4) dan (5), diperoleh: c sin B = b sin C B R A c Q Persamaan (3) = (6), diperoleh : back