A Origem dos Números

1. A Origem dos Números

2. Como é que surgiu a noção de número? Alguma vez você parou para pensar nisso? Certamente já imaginou que um dia alguém teve uma ideia genial e de repente inventou o número. Mas, não foi bem assim. A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha. O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e seres. Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso... 

3. Como é que surgiu a noção de número? Com o passar do tempo, este sistema foi-se aperfeiçoando até dar origem ao número. Hoje nós já sabemos lidar com os mais diferentes tipos de números    Até ao final da história você aberá em que época e porque é que o homem inventou cada um desses números.

4. Contando objetos com outros objetos Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio. Veja estes caçadores:

5. Contando objetos com outros objetos Para registar os animais mortos numa caçada, eles limitavam-se a fazer marcas numa vara. Nessa época o homem alimentava-se daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, aprendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio.  A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos num pedaço de madeira ou em ossos de animais.  Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.

6. Contando objetos com outros objetos Mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu  sistema de vida. Em vez de apenas caçar e apanhar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Era o início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de alimentos de que podia dispor. E para dedicar-se às atividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar a deslocar-se de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente nas margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia. Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas, etc..  Com a lã das ovelhas eram tecidos panos para a roupa.

7. Contando objetos com outros objetos O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manhã bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia as ovelhas, guardando-as dentro de uma cerca.  Mas como controlar o rebanho? Como ter certeza de que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem? O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas com pedras. Assim: Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras num saquinho. No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Que susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra! Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde, haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras.

8. Construindo o conceito de número   Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número.  Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, estaria sempre ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.  A ideia de contagem estava relacionada com os dedos da mão.  Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco.          Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós numa corda, também de cinco em cinco.         Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas coleções de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som. É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objetos usando outros objetos, é um número concreto.

9. Os egípcios criam os símbolos (?)  Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas nas margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio.  Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam dedicar-se a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores... 

10. Os egípcios criam os símbolos (?)  Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito.  Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático.    Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio. 

11. Os egípcios criam os símbolos (?)  Como efectuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos num osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. 3 + 5 = 8 Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos a somar. Mas isso não importa: A operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?

12. Os egípcios criam os símbolos (?)  Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.  O papiro Ahmes é um antigo manual de Matemática. Contém 80 problemas, todos resolvidos.   A maioria envolve assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado.  Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreenderem o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil.

13. Os egípcios criam os símbolos (?)  O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave: 1  10  100  1.000  10.000 100.000  1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade:  Um osso de calcanhar invertido representava o número 10:  Um laço valia 100 unidades:  Uma flor de lótus valia 1.000:  Um dedo dobrado valia 10.000:  Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades:  Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:        Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante.

14. Os egípcios criam os símbolos (?)  Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes: 265  526  562  625  652   Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egipto estão escrevendo o mesmo número:  45

15. A técnica de calcular dos egípcios Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes. 13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:

16. A técnica de calcular dos egípcios Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas: 1 + 4 + 8 = 13 O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas: 9 + 36 + 72 = 117 Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidade de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os números inteiros não serviam…

17. Descobrindo a fracção Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris... “... repartiu o solo do Egito nas margens do rio Nilo entre os seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exata da perda.” Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos. O rio Nilo atravessa uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima do seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo das suas margens. Quando as águas baixam, deixam descoberta uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo.  Desde a Antiguidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia.  Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.

18. Descobrindo a fração Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.         Todos os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até Setembro.        Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.        Usavam cordas para fazer a medição.        Havia uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas.         No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno.          Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.          Para representar os números fracionários, usavam frações.

19. Contando com os Romanos De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante.         O seu centro era a cidade de Roma. Desde da sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., os seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquista de novos territórios.         Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África. Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso?

20. O sistema de numeração Romana Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto. I  V  X  L C  D  M         Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração?         O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100. D valia 500. M valia 1.000. Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores. II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30

21. O sistema de numeração Romana Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exército de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam: Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor. M = 1.000         Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor. D = 500 Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes. D – C = 500 – 100 = 400 Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M. M + CD = 1.000 + 400 = 1.400         Sobrava apenas o V. Então: MCDV = 1.400 + 5= 1.405

22. Afinal nos nossos dias… No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia.  Ao participar numa conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo: “Existem outros povos que também sabem alguma coisa!Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos.São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculossão feitos por apenas nove sinais!”.         A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente. A ideia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI . Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que nós aprendemos a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que é que os árabes têm a ver com isso?        E por que é que os símbolos 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 chamam-se algarismos?