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ÁNGULOS ENTRE RECTAS

ÁNGULOS ENTRE RECTAS. Bloque II * Tema 069. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS. 1.- PARTIENDO DE LOS VECTORES DIRECTORES Sea la recta r: Ax+By+C = 0 y la recta s: A’x+B’y+C’=0 Sus vectores directores serán: u(-B, A) y u’(-B’, A’) respectivamente.

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ÁNGULOS ENTRE RECTAS

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Presentation Transcript

  1. ÁNGULOS ENTRE RECTAS Bloque II * Tema 069 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS • 1.- PARTIENDO DE LOS VECTORES DIRECTORES • Sea la recta r: Ax+By+C = 0 y la recta s: A’x+B’y+C’=0 • Sus vectores directores serán: u(-B, A) y u’(-B’, A’) respectivamente. • Mediante el producto escalar, u.u’ =|u|.|u’|.cos α, obtenemos el ángulo: • cos α = u.u’ / |u|.|u’| • (-B, A).(-B’, A’) • cos α = -------------------------------- • √(A2+B2).√(A’2+B’2) • | A.A’+B.B’| • cos α = -------------------------------- • √(A2+B2).√(A’2+B’2) • | A.A’+B.B’| • α = arcos -------------------------------- • √(A2+B2).√(A’2+B’2) • La solución será doble, pues por una parte nos dará α y también el suplementario β α s u u’ β r Matemáticas Acceso a CFGS

  3. Ejemplo 1 • Hallar el ángulo que forman las rectas r: 3x+4y+8 = 0 y la recta s: x+y=0 • Sus vectores directores serán: u(-4, 3) y u’(-1, 1) respectivamente. • Por el producto escalar: • | (-4).(-1)+3.1| 7 • α = arcos -------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0,9899 • √((-4)2+32).√((-1)2+12) 5. √2 • α = 8,13º  Y el suplementario: β = 171,87º • Ejemplo 2 • Hallar el ángulo que forman las rectas r: x – y = 0 y la recta s: x + y = 0 • Sus vectores directores serán: u(1, 1) y u’(-1, 1) respectivamente. • Por el producto escalar: • | 1.(-1)+1.1| 0 • α = arcos -------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0 • √(12+12).√((-1)2+12) √2.√2 • α = 90º  Y el suplementario: β = 90º Matemáticas Acceso a CFGS

  4. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS • 2.- PARTIENDO DE LAS PENDIENTES • Sea la recta r: Ax+By+C = 0 y la recta s: A’x+B’y+C’=0 • Ambas forman un ángulo α y β con el eje de las X • Las pendiente m y m’ serán: m = tg α , m’= tg β • El ángulo que forman las dos rectas es la diferencia γ = β – α • Por la fórmula de Nepper o de las tangentes, tenemos: • tg α – tg β • tg γ = | --------------------- | • 1 + tg α .tg β • m – m’ • tg γ = | -------------- | • 1 + m.m’ • Para un ángulo 0 ≤ γ ≤ 90º γ s β α r β α Matemáticas Acceso a CFGS

  5. ANEXO.- RECTAS PERPENDICULARES • Por la fórmula de Nepper o de las tangentes, tenemos: • m – m’ • tg γ = | -------------- | • 1 + m.m’ • El ángulo que forman las dos rectas es de 90º, γ = 90 • tg 90º = oo = (m – m’ ) / 0 • De donde: 1 + m.m’ = 0  m’ = –1 / m • Ejemplo • Hallar la recta perpendicular a • r:4x – 2y + 7 = 0 y que pasa por el • punto A(5, -5) • En la recta r: m=-B/A = 2/4 = 0,5 • En la perpendicular: m’=-1/0,5 = - 2 • Por la ecuación punto-pendiente: • y – (– 5)= – 2.(x – 5) • y = – 2x + 5 β s γ α r β α Matemáticas Acceso a CFGS

  6. Problema • Hallar los ángulos que forman los lados del triángulo cuyos vértices son: • A(0,0), B(5, -2) y C(3,2) • Los vectores directores de los lados serán: • AB(5, -2), BC(-2, 4) y CA(-3, -2) • Ángulo del vértice A: • | (5).(-3)+(-2)(-2)| 11 • A = arcos ------------------------------------- = arcos ----------- = arcos 0,5665 • √(52+(-2)2).√((-3)2+(-2)2) √29.√13 • A = 55,49º • Ángulo del vértice B: • | (5).(-2)+(-2).4| 18 • B = arcos ------------------------------------- = arcos ----------- = arcos 0,7474 • √(52+(-2)2).√((-2)2+42) √29.√20 • B = 41,63º • El ángulo C valdrá: C=180º – A – B = 180º – 55,49º – 41,63º = 82,87º • Que se puede comprobar aplicando lo mismo que para A y B. Matemáticas Acceso a CFGS

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