TASA DE VARIACI ÓN

1. Consideramos la tasa de variación instantánea de una función f(x) en a: TVI(a) = lim b a Si utilizamos h = b – a, la expresión anterior queda: TVI(a) = lim h 0 Aplicación de la TVI: velocidad instantánea: El límite de las sucesivas secantes cuando h tiende a 0 es la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (t = a, s(t) = f(a)) Dada una función cualquiera f(x), se define su tasa de variación media en un intervalo [a, b], como: TVM[a, b] var i ac i ón f ( x ) f ( b ) - f ( a ) f ( b ) - f ( a ) de = = var i ac i ó n de x b - a b - a f ( a + h ) - f ( a ) h Aplicación de la TVM Velocidad media: La función del espacio recorrido es dependiente del tiempo: s(t) ∆s espac i o recorr i d o v = = m t i empo e mp l eado ∆t TASA DE VARIACIÓN

2. Derivadas laterales Derivada lateral por la izquierda: f'-(a) = lim h 0- Derivada lateral por la derecha: f'+(a) = lim h 0+ Si las derivadas laterales no existen o no coinciden entonces f(x) no es derivable en el punto a: En este caso f’+(0) = 1 y f’-(x) = -1, luego f(x) = |x| no es derivable en x = 0. La derivada de una función f(x) en el punto de abscisa x = a es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (a, f(a)). Se designa por f’(a): f'(a) = lim h 0 f ( a + h ) - f ( a ) h f ( a + h ) - f ( a ) h f ( a + h ) - f ( a ) h • Crecimiento y decrecimiento • Si f’(a) > 0 la función es creciente en el punto (a, f(a)) • Si f’(a) < 0 la función es decreciente en el punto (a, f(a)) Si una función f(x) tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en x = a y existe f’(a), entonces f’(a) = 0. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

3. Función constante: Si f(x) = k entonces f’(x) = 0 • Función identidad: Si f(x) = x entonces f’(x) = 1 • = lim 1 = 1 • Función cuadrática: Si f(x) = x2 entonces f’(x) = 2x • Función potencial: Si f(x) = xn entonces f’(x) = nxn-1 • Función logarítmica: • Si f(x) = loga x entonces f’(x) = • Si f(x) = ln x entonces f’(x) = • Función exponencial: • Si f(x) = ax entonces f’(x) = ax · ln a • Si f(x) = ex entonces f’(x) = ex · ln e = ex • Funciones trigonométricas: • Si f(x) = sen x entonces f’(x) = cos x • Si f(x) = cos x entonces f’(x) = -sen x 1 1 . x l n a f ( x + h ) - f ( x ) k - k 1 1 1 f'( x ) = li m = li m = li m 0= 0 . = h h x x l n e • h 0 • h 0 • h 0 • h 0 • h 0 • h 0 • h 0 • h 0 • h 0 • h 0 • h 0 f ( x + h ) - f ( x ) x + h - x h f'( x ) = li m = li m = li m h h h 2 2 f ( x + h ) - f ( x ) ( x + h ) - x f'( x ) = li m = li m 2 2 2 2 ( x + 2 x h + h ) - x 2 x h + h h h = li m = li m h h = li m (2 x + h) = 2 x • Derivada de algunas operaciones con funciones • (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x) • (k · f(x))’ = k · f’(x) • (f(x) · g(x))’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x) f ( x ) f ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x ) ’ · · ’ ’ ( ) = 2 g ( x ) ( g ( x ) ) FUNCIÓN DERIVADA La función derivada de f(x) se define como aquella que hace corresponder a cada valor de a la derivada de f(x) en x = a, es decir, f’(a). Se representa mediante f’(x).

4. Ecuación de la recta tangente Si f(x) es derivable en el punto x = a, el valor de la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en a es f’(a): Ecuación punto-pendiente de la recta tangente a f(x) en x = a: y – f(a) = f’(a) · (x – a) APLICACIONES DE LA DERIVADA • Representación de funciones • Determinar el dominio. • Estudiar la continuidad. • Determinar sus ramas infinitas, es decir, sus asíntotas y su comportamiento en +∞ y en -∞. • Averiguar los puntos de intersección con los ejes de coordenadas. • Determinar sus puntos críticos, es decir, en qué puntos la tangente es horizontal. Dichos puntos cumplen f’(x) = 0. • Averiguar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Dichos intervalos se averiguan conociendo el signo de f’(x).