O Problema de Corte de Estoque

1. O Problema de Corte de Estoque Características típicas: • problema de várias mochilas - seleção de objetos • • muitos itens devem ser produzidos, porém, de poucos tipos • (alta repetição) • • muitos objetos (barras) dever ser cortados, porém, de poucos tipos. • Muitos objetos serão igualmente cortados (padrões de corte)

2. Exemplo:Cortar barras de 240 cm (estoque) para a produção de 1000 itens de 30 cm (tipo 1) 1250 itens de 42 cm (tipo 2) 2000 itens de 45 cm (tipo 3) • Qual o número mínimo necessário de barras ? • Como devem ser cortadas as barras (padrões de corte) ? • total de 4250 itens cortados de apenas 3 tipos (bin-packing?) • muitas barras devem ser igualmente cortadas • (padrão de corte = maneira particular de cortar uma barra, • que deve ser repetida várias vezes)

3. L (4) (1) l1 l1 l2 l4 l4 (4) (1) (2) A cada padrão de corte associamos um vetor m-dimensional que contabiliza os itens produzidos: onde ié o número de itens do tipo i no padrão.  a = ( 2 1 0 2 )T Um vetor (1 2 ...m ) corresponde a um padrão de corte se:

4. Restricões de processo Facas (1) (1) (3) (4) Restrições adicionais de processo • F = Número Máximo de Facas 2 Facas laterais para imperfeições! 5 Facas  4 itens!

5. Restricões de processo L = 30 limites mínimo e máximo e perdas para os compartimentos + Lkmin= 5 Lkmax= 9 Sk= 1 Restrições adicionais de processo: Cortagem em estágios O Problema da Mochila Compartimentada Compartimentos carregados com itens de mesma classe Ex. medicamentos, alimentos, roupas limpas, roupas sujas, etc. Os compartimentos têm tamanhos máximos e mínimos e cada novo compartimento inserido na mochila perde-se espaço

6. 2 2 2 2 1 2 6 A2 A2 A1 C2 O Problema da Mochila Compartimentada fase 1 fase 2

7. (3) (1) (3) (3) (1) (1) (1) (2) (3) (2) Observações: • Ao reconhecer um padrão de corte pelo seu vetor associado, não distinguimos entre padrões do tipo:  (2 1 2)T  (2 1 2)T  Padrões equivalentes

8. Modelagem matemática: 1. Defina todas as possíveis maneiras de se cortar os objetos em estoque, isto é, todos os padrões de corte problema combinatório 2. Decida quantas vezes cada padrão de corte deve ser utilizado para atender a demanda

9. 30 30 30 30  a1 = (4 0 0)T Padrão 1:  a2 = (0 2 0)T 42 42 36 Padrão 2:  a3 = (0 0 2)T 45 45 30 Padrão 3: 45 30 45  a4 = (1 0 2)T Padrão 4: Exemplo: Comprimento das barras em estoque: L = 120cm Comprimentos (demanda) dos itens: (m = 3) l1 = 30cm (d1= 1000) l2 = 42cm (d2=1250) l3 = 45cm (d3=2000) O Problema de Corte de Estoque homogêneos

10. O Problema de Corte de Estoque Variáveis de decisão: xj :número de vezes que o padrão j é utilizado, j = 1,2,... Base inicial formada pelos padrões homogêneos

11. O Problema de Corte de Estoque Modelagem Matemática • Apenas um tipo de barra em estoque em quantidade ilimitada. • Diversos tipos de barra em estoque em quantidade ilimitada. • Diversos tipos de barra em estoque em quantidade limitada. • Problemas de dimensão maiores que 1.

12. O Problema de Corte de Estoque Apenas um tipo de barra em estoque Dados do problema: m : número de tipos de itens li: comprimento do item tipo i di: quantidade demandada do item tipo i L : comprimento (único) da barra em estoque c : custo de cada barra em estoque Objetivo: Atender a demanda ao custo mínimo.

13. Padrão 1 Padrão 2 Padrão n O Problema de Corte de Estoque modelo básico Etapa 1:Defina todos os possíveis padrões de corte, ou seja, determine todas as soluções do sistema: Suponha que as soluções sejam:

14. O Problema de Corte de Estoque Etapa 2: Seja xjo número de vezes que o objeto(barra) é cortado usando o padrão de corte j, j = 1,…,n. Resolva: Otimização linear método simplex – geração de colunas m equações – algumas dezenas n variáveis – centenas de milhares !

15. Ex: i = 0,05 di O Problema de Corte de Estoque Alterações no modelo básico • Demanda com tolerância:

16. L (1) (1) (2) (2) (2) (m) Padrão j: cj 1j l1 2j l2 mj lm O Problema de Corte de Estoque Alterações no modelo básico 2. Função “perda”:

17. Número de bobinas cortadas usando o padrão j. L (i) (i) li O Problema de Corte de Estoque Alterações no modelo básico 3. Unidade de demanda em toneladas (bobinas na indústria de papel, metalúrgica,…) Dados adicionais: T : peso (ton) de cada objeto T/L = peso específico (ton/cm) = peso do itemi = peso (ton) dos itens i no padrão j Mudança de variável ton. no padrão j

18. wi wi fibra fibra li li Facas (1) (1) (3) (4) O Problema de Corte de Estoque Alterações no modelo básico 4. Corte de retângulos (indústria de papel)

19. O Problema de Corte de Estoque Alterações no modelo básico Sentido da fibra irrelevante  bobina pode ser cortada nos comprimentos: Mochila com 2m itens Padrão j: mesmo item: retângulo l1  w1 1j + m+1,j = qde. do item 1 no padrão j

20. O Problema de Corte de Estoque Diversos tipos de barra em estoque em quantidade ilimitada • Máquinas diferentes produzem os objetos (comp. diferentes) em quantidades suficientemente grandes para atender toda a demanda (indústria de papel). • Objetos adquiridos no mercado, em tamanhos diferentes, onde a oferta é grande (construção civil).

21. O Problema de Corte de Estoque Barras ilimitadas em estoque • Dados de demanda m : número de tipos de itens li: comprimento do item tipo i di : quantidade demandada do item tipo i Dados de estoque: N : número de tipos de objetos em estoque Lk: comprimento do objeto (barra) tipo k ck: custo da barra tipo k Padrões de corte para barra de comprimento Lk

22. O Problema de Corte de Estoque Barras ilimitadas em estoque Etapa 2: xijo número de vezes que o objetoj é cortado usando o padrão de corte i.

23. O Problema de Corte de Estoque Diversos tipos de barra em estoque em quantidades limitadas Dado adicional: ej : quantidade disponível da barraj, j=1,…,N.

24. O Problema de Corte de Estoque Problemas de dimensões maiores que 1 A modelagem anterior ainda é válida: Regras de cortagem: cortes guilhotinados, estagiados, não guilhotinados guillotinados Etapa 1:definição dos padrões de corte(mais dificil) caso unidimensional: o número de itens no padrão descreve facilmente o padrão de corte. Caso bidimensional: arranjar uma quantidade de retângulos sobre uma placa, sem sobreposição, não é trivial. • Etapa 2:quanto usar de cada padrão para atender a demanda • (mesmo modelo de otimização linear)

25. LW liwi (2) (2) (1) (1) (2) (4) (4) (3) (5) (4) (3) (3) (3) (3) (5) O Problema de Corte de Estoque Bidimensional

26. Definição. Um corte sobre uma placa retangular que produza • dois novos retângulos é chamado corte guilhotinado ortogonal, • ou simplesmente, corte guilhotinado. • Uma sequência de cortes guilhotinados, aplicados sobre a placa e • sobre os retângulos resultantes produz um • padrão de corte guilhotinado a = (3, 1, 2, 0, 1)T.

27. Os cortes guilhotinados podem ser organizados em estágios da seguinte forma: Num primeiro estágio, cortes guilhotinados são feitos sobre a placa. Em seguida, num segundo estágio, os retângulos obtidos são cortados perpendicularmente ao cortes do estágio anterior, e assim por diante, são definidos estágios de corte. • DefiniçãoSe o número permitido de estágios é limitado por k, dizemos que o padrão de corte resultante é um padrão de corte guilhotinado em k-estágios.

28. j wk k i L • ik  0, inteiro, i=1,..,m sujeito a: O problema de corte bidimensional guilhotinado em 2-estágios i) Determinar os melhores padrões para as faixas: Lw1 , Lw2 … Lwm. Itens que podem ser cortados na faixa k: Wk = { i tal que: wi  wk }

29. ii) Determinar quantas vezes cada faixa deve ser utilizada no padrão bidimensional. Como cada faixa k tem largura wk e a largura da placa é W, temos então de resolver o seguinte problema da mochila: • V= Maximizar V11 + V22 + …+Vrr • sujeito a: w11 + w22 + …+wrr W • 10, 20,…, r0 e inteiros.

30. Exemplo. Placa LW = 110110 m = 4 itens, • comprimentos, larguras e valores de utilidade: • i li wi vi • 1 20 306 • 2 30 4012 • 3 50 6030 • 4 60 6036 3 4 1 1 1 1 1 L=110 L=110 L=110 1 2 2 2 • Faixa 1: 11030 Faixa 2: 11040 Faixa 3: 11060 • W1 = { 1 } W2 = { 1, 2 } W3 = { 1, 2, 3,4 } V1 =30 V2 =42 V3 =66

31. L=110 1 1 1 1 1 1 2 2 2 W=110 3 4 • V = Maximizar 30 1 + 42 2 + 663 • sujeito a: 301 + 402 + 603110 • 10, 20, 30 e inteiros. • Solução: 1 =1, 2 = 1, 3 = 1, V = 138.

32. geração de colunas Arredondamento da solução Repetir até que: Problema Residual: dd-Ay O Problema de Corte de Estoque Inteiro Heurísticas de arredondamento da solução ? heurísticas alternativas: Revisão do arredondamento