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Mittelwert – Median – Modus – Varianz - …

Grundrechenarten. Statistik. Mittelwert – Median – Modus – Varianz - …. V 0.1. Statistik. Glaube keiner Statistik, die du nicht selbst „gefälscht“ hast!. n. x 1 , x 2 , x 3. x 2. x i. x m. q 1. q 2. s.

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Mittelwert – Median – Modus – Varianz - …

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Presentation Transcript

  1. Grundrechenarten Statistik Mittelwert – Median – Modus – Varianz - … V 0.1

  2. Statistik Glaube keiner Statistik, die du nicht selbst „gefälscht“ hast! n x1, x2, x3 x2 xi xm q1 q2 s Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  3. Statistik • Statistik Statistik ist ein Teilbereich der Mathematik, bei dem große Zahlenmengen zu aussagekräftigen Maßzahlen verdichtet werden. Diese Maßzahlen sind insbesondere: • Mittelwert, • Median, • Quartil, • Modus, • Varianz, • Standardabweichung. Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  4. Statistik • Mittelwert (Arithmetisches Mittel) Um den Mittelwert einer großen Zahlenmenge zu berechnen, addiert man die einzelnen Werte der Zahlenmenge und dividiert sie durch die Anzahl der Werte: xm = (x1 + x2 + … + xn) / n • Beispiel: Die Tageshöchstwerte einer Woche waren: 17°, 19°, 19°, 23°, 23° 20°, 19° xm = (17 + 19 + 19 + 23 + 23 + 20 + 19) / 7 = 140 / 7 = 20 Der mittlere Tageshöchstwert betrug in dieser Woche daher 20°. Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  5. Statistik • Mittelwert (Gewichtetes arithmetisches Mittel) Falls mehrere Werte der Zahlenmenge gleich sind, ist es einfacher, das gewichtete arithmetische Mittel zu berechnen: • (1) alle verschiedenen Werte werden mit der Anzahl ihres Auftretens multipliziert. • (2) die Produkte werden addiert. • (3) Die Summe wird durch die Anzahl der Werte dividiert. xm = (g1x1 + g2x2 + … + gkxk) / (g1 + g2 + … + gk) • gi: Gewichte • Beispiel: Die Tageshöchstwerte einer Woche waren: 17°, 19°, 19°, 23°, 23° 20°, 19° xm = (17 * 1 + 19 * 3 + 20 * 1 + 23 * 2 ) / (1 + 3 + 1+ 2) = 140 / 7 = 20 Der mittlere Tageshöchstwert betrug in dieser Woche daher 20°. Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  6. Statistik • Mittelwert (Gewichtetes arithmetisches Mittel mit normierten Gewichten) Falls statt der absoluten Häufigkeiten die relativen Häufigkeiten • (relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit / Gesamtanzahl) gegeben sind, so kann der Mittelwert auch folgendermaßen berechnet werden: xm = (r1x1 + r2x2 + … + rkxk) • ri: normierte Gewichte, r1 + r2 + … + rk = 1 • Beispiel: Die Tageshöchstwerte einer Woche waren: 17°, 19°, 19°, 23°, 23° 20°, 19° r1 = 1 / 7 = 0,143 (2x); r2 = 2 / 7 = 0,286 (1x); r3 = 3 / 7 = 0,429 (1x) xm = (17 * 0,143 + 19 * 0,429 + 20 * 0,143 + 23 * 0,286 ) = 20,02 ~ 20 Der mittlere Tageshöchstwert betrug in dieser Woche daher 20°. Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  7. Statistik • Welche Formel ist für die Berechnung des Mittelwertes zu verwenden? Liegen die Daten als „Urliste“ vor, verwendet man das arithmetische Mittel zur Berechnung des Mittelwertes. Liegen die Daten in Form einer Häufigkeitstabelle vor, verwendet man das gewichtete arithmetische Mittel. Enthält die Häufigkeitstabelle auch die relativen Anteile, kann das gewichtete arithmetische Mittel mit normierten Gewichten verwendet werden. Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  8. Statistik • Weitere Mittelwerte Für die Berechnung der folgenden statistischen Werte müssen die Zahlenmengen in geordneter Form als Zahlen- oder Datenreihe vorliegen. • Median Der Median ist der Zahlenwert in der Mitte der geordneten Zahlenreihe (bei einer ungeraden Anzahl von Daten). Bei einer geraden Anzahl von Daten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden Zahlen, die in der Mitte liegen. • Beispiel: Die Tageshöchstwerte einer Woche waren: 17°, 19 °, 19°, 19°, 20°, 23° 23° Median = 19° Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  9. Statistik • Modus Der Modus (auch Modalwert) ist der am häufigsten vorkommende Wert einer Zahlenmenge. • Beispiel: Die Tageshöchstwerte einer Woche waren: 17°, 19 °, 19°, 19°, 20°, 23° 23° Modus = 19° Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  10. Statistik • Weitere statistische Maßzahlen • Quartile Auch für die Berechnung der Quartile muss die Zahlenmenge in geordneter Form vorliegen. • Erstes Quartile: 25% Grenze der Zahlenreihe  (Index: Anzahl * 0,25) • Zweites Quartil: 50% Grenze der Zehlenreihe (= Median)  (Index: Anzahl * 0,5) • Drittes Quartil: 75% Grenze der Zahlenreihe (Index: Anzahl * 0,75) • Beispiel: Die Tageshöchstwerte einer Woche waren: 17°, 19 °, 19°, 19°, 20°, 23° 23° Index (25%) = 7 * 0,25 = 1,75 ~ 2  1.Quartil: 19° Index (50%) = 7 * 0,5 = 3,5 ~ 4  2.Quartil: 19° Index (75%) = 7 * 0,75 = 5,25 ~ 5  3.Quartil: 20° Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  11. Statistik • Weitere statistische Maßzahlen • Boxplot (Kastenschaubild) Ein Boxplot ist ein Schaubild, in welchem 1., 2. und 3.Quartil als Kasten dargestellt wird und „Verlängerungsarme“ zum Minimum und Maximum der Zahlenreihe gezeichnet werden. • Beispiel: Die Tageshöchstwerte einer Woche waren: 17°, 19 °, 19°, 19°, 20°, 23° 23° 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Minimum Maximum 3.Quartil 1.und 2.Quartil Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  12. Statistik • Weitere statistische Maßzahlen • Varianz Die Varianz ist die durchschnittliche quadratische Abweichung der einzelnen Daten von xm: var = ((x1 – xm)2 + (x2 – xm)2 + … + (xn – xm)2 ) / n • Beispiel: Die Tageshöchstwerte einer Woche waren: 17°, 19°, 19°, 23°, 23° 20°, 19° xm = 20 var = ((17-20)2 + (19-20)2 + (19-20)2 + (23-20)2 + (23-20)2 + (20-20)2 + (19-20)2) / 7 = = (9 + 1 + 1 + 9 + 9 + 0 + 1) / 7 = 30 / 7 = 4,286 var = 4,286 Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  13. Statistik • Weitere statistische Maßzahlen • Standardabweichung Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz: s = √[((x1 – xm)2 + (x2 – xm)2 + … + (xn – xm)2 ) / n] • Beispiel: Die Tageshöchstwerte einer Woche waren: 17°, 19°, 19°, 23°, 23° 20°, 19° var = 4,286 s = 2,0702 Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  14. Statistik • Zusammenfassung • Arithmetische Mittel: xm= (x1 + x2 + … + xn) / n. • Gewichtetes arithmetische Mittel: xm= (g1x1 + g2x2 + … + gkxk) / (g1 + g2 + … + gk). • Gewichtetes arithmetische Mittel mit normierten Gewichten: xm= (r1x1 + r2x2 + … + rkxk). • Median: mittlerer Zahlenwert einer geordneten Zahlenreihe. • Modus: häufigst vorkommender Wert einer Zahlenreihe. • Erstes Quartil: 25% Grenze einer Zahlenreihe • Drittes Quartil: 75% Grenze einer Zahlenreihe. • Varianz: durchschnittliche quadratische Abweichung der einzelnen Daten vom Mittelwert. • Standardabweichung: Quadratwurzel aus der Varianz. Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  15. Statistik • Aufgaben • Wie ? • Wie ? • Wie ? • Wie ? • Wie ? • Wie ? • Ist ? • 30 ? • We? Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

  16. Statistik ENDE Dipl.Ing.Bernhard SchleserAuf der Schmelz, 2013/144.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß!

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