GEOMETRÍA ANALITICA

1. GEOMETRÍA ANALITICA Presenta FERMÍN S. GRANADOS AGUSTÍN

2. La Directriz de una Elipse • La directriz de una elipse se define como una línea recta paralela al eje menor. • La posición de esta recta esta determinada por una razón constante, entre dos distancias. • La primera de ellas es la distancia de uno de sus focos a cualquier punto de la elipse. • La segunda es la distancia de ese punto de la elipse a dicha recta (ver figura).

3. La razón entre las distancia d3y d4es constante

4. De la figura vemos que las distancias involucradas son: De esta forma la razón de distancia es: La posición de la directriz esta totalmente determinada si se conoce el parámetro D

5. Para encontrar el valor de D se tomaran dos puntos particulares de la elipse, puesto que la razón es constante para cualquier punto. El primero de ellos será el vértice de la elipse, ver figura, para este punto se tiene que la distancias involucradas son:

6. Se calcula ahora la razón entre las distancia d5y d6

7. El segundo punto a considerarse será el punto en donde la elipse corta al eje y, ver figura, para este segundo punto se tiene que la distancias involucradas son:

8. Las distancia involucradas son d1y d2

9. Pero de la geometría de la elipse se tiene: Finalmente la razón involucrada es: Los cocientes anteriores son constantes, por lo tanto se cumple la siguiente igualdad

10. Con esta ecuación se puede encontrar el valor del parámetro D; Desarrollando esta última ecuación;

11. finalmente;

12. recordando la definición de excentricidad, De esta forma las abscisas de todos los puntos sobre la directriz son:

13. De la figura se puede concluir que la ecuación de la directriz es,

14. Como se tiene dos puntos focales simétricos, existe otra directriz cuya ecuación es: Si los focos estuvieran sobre el eje de las ordenadas, las ecuaciones de las directrices serían, y

15. LatusRectum de una Elipse • Se denomina latusrectum de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por uno de sus focos.

16. De la figura se observa que el punto de intersección, entre el latusrectum y la elipse tiene coordenadas: • Como también es parte de la elipse debe cumplir con la ecuación de dicho lugar geométrico, por lo tanto se tiene: • Despejando el valor de y de esta ecuación;

17. De esta forma; • Calculando la raíz cuadrada;

18. Finalmente la longitud del latusrectumes: • Si el centro de la elipse es el punto (h,k) y el eje mayor tiene la dirección del eje x, la ecuación de la elipse es de la forma:

19. o bien. si el eje mayor fuera paralelo al eje y. • De manera general la ecuación de la elipse se puede encontrar desarrollando estas expresiones.

20. Desarrollando los binomios; realizando los productos indicados; • Agrupando en términos de potencias de x y y;

21. De esta forma se define la ecuación general de la elipse, siempre que A y B sean del mismo signo: • Donde los coeficientes son: