1 / 8

APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR

APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR. Persamaan linear ax + b = c mempunyai akar (penyelesaian) x = (c – b)/a. Bagaimana dengan akar-akar persamaan berikut, mudahkah dicari?. Ini beberapa contoh persamaan taklinear, secara umum akarnya tidak

lluvia
Download Presentation

APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR Persamaan linear ax + b = c mempunyai akar (penyelesaian) x = (c – b)/a. Bagaimana dengan akar-akar persamaan berikut, mudahkah dicari? Ini beberapa contoh persamaan taklinear, secara umum akarnya tidak mudah dicari. Diperlukan metoda untuk aproksimasi. Bentuk umum pers taklinear : f(x) = 0, f fungsi taklinear. Jika f(x0) = 0 maka x0 dikatakan akar (penyelesaian). EKSISTENSI AKAR pada suatu interval : 1. Tidak mempunyai akar 2. Mempunyai akar tunggal 3. Mempunyai akar banyak

  2. Y akar-akarnya X a b f(a) akar Teorema (syarat cukup): Jika f kontinu pada interval [a, b] dan f(a) f(b) < 0 maka f(x) = 0 mempunyai akar di dalam (a, b). a b p f(b) f(a) f(b) < 0 Secara GEOMETRI, akar persamaan f(x) = 0 adalah titik potong kurva y = f(x)dengan sumbu x. y = f(x)

  3. y = f(x) a2 a3 b2 b3 p2 p : akar eksak a = a1 b = b1 METODA BELAH DUA (BISEKSI) Perhatikan interval [a,b] yang memuat akar eksak p. Dibangun barisan subinterval [an, bn] dan aproksimasi (pn) yang konvergen ke p • Ambil p1: = (a1+b1)/2. Interval [a1, b1] terbagi menjadi 2 subinterval yang • sama panjang, yaitu [ a1, p1] dan [ p1, b1]. 2. Pertahankan subinterval yang masih memuat akar, dalam hal ini [ a1, p1 ]. Tetapkan a2:=a1 dan b2:=p1. • Lakukan cara yang sama pada interval [a2, b2] untuk memperoleh p2. a4 b4 p1

  4. Secara umum metoda belah dua ini adalah sbb:

  5. (b,f(b)) p3 p : akar eksak Secara umum diperoleh : (a,f(a)) METODA SECANT y = f(x) • Perhatikan interval [a, b] yang memuat akar eksak p. Membangun barisan iterasi (pn) yang akan konvergen ke akar eksak p • Tetapkan p0 := a dan p1 := b. grs secant • Buat grs secant yang melalui (a,f(a)) dan (b,f(b)). • Ambil p2 : titik potong grs secant ini dg sb x. Selanjutnya, langkah-langkah di atas diterapkan pada interval [p2 , b] untuk mendapatkan p3. p2 x = a = p0 x = b = p1

  6. akar eksak p (a,f(a)) p2 p3 p4 [p2, p1] [p0, p2] (b,f(b)) ILUSTRASI METODA REGULA FALSI (Kombinasi metoda biseksi dan secant) • Perhatikan interval [a, b] yang memuat akar eksak p. Membangun barisan interval [an , bn] dan iterasi (pn+1) yang konvergen ke akar eksak p 1. Ambil a1:=a dan b1:=b, terapkan metoda secant pada [a1, b1] untuk memperoleh p2. 2. Diperoleh 2 subinterval [p0 , p2] dan [p2, p1]. Pertahankan subinterval yg masih memuat akar, dalam hal ini [p2, p1]. Ambil a2:=p2 dan b2:=p1. Terapkan metoda secant pada [a2,b2] untuk memperoleh p3. y = f(x) a = a1 b = b1

  7. Secara umum diperoleh an , bn dan pn+1 sbb:

  8. grs singgung grs singgung (p0, f(p0)) titik singgung (b,f(b)) p1 p0 p2 p : akar eksak Secara umum, diperoleh brs (pn) sbb: (a,f(a)) asalkan titik singgung ILUSTRASI METODA NEWTON Diperhatikan interval [a,b] yang memuat akar eksak. Membangun brs iterasi (pn) yang konvergen ke akar eksak p. y = f(x) 1. Ambil p0 sebarang titik pada [a,b]. Buat garis singgung kurva di titik x = p0. 2. Ambil p1: titik potong grs singgung ini dengan sb x. 3. Terapkan cara yg sama pada p1 untuk memperoleh p2. x = a x = b

More Related