 Mencari akar-akar persamaan f(x)=0  mencari perpotongan kurva y=f(x) dengan sumbu x(y=0)

1. Mencari akar-akar persamaan f(x)=0 mencari perpotongan kurva y=f(x) dengan sumbu x(y=0)

2. f(x) y=f(x) x’1 x x’2 xo xo = solusi eksak x’1, x’2 = solusi pendekatan • Solusi pendekatan yang baik: • Cukup dekat dengan xo, yaitu | x’-xo|0 • Nilai mutlak fungsinya mendekati nol:| f(x)| 0 • Kedua kriterian diatas sulit dipenuhi bersamaan.

3. Pers. : xsinx +(x2+4)ex = cosx akarnya?xo adalah akarnya jika xo sin xo + (xo2 + 4) e = cos xoBentuk umum pers. F(x) = 0 memiliki akar xo jika untuk harga x digantixo pers. menjadi BENAR.Kemungkinan akarnya: - satu - beberapa.Kadang perlu mencari harga “Akar pendekatan=aproksimasi”yaitu harga x yang paling ”dekat” dengan suatu akar. Apa artinya akar xo dari pers. F(x) = 0 ? grafik F(x) memotong sumbu x pada x = xoJadi akar pendekatan:1. Merupakan suatu bilangan x’ shg.| x’- xo| berharga kecil2. Suatu bilangan x’ shg. |F(x’)| memp. harga kecil.

4. F(x) F(x) y=F(x) y=F(x) F(x’) F(x’) x x’2 xo xo Pada umumnya diperlukan :1.| x’- xo| hrs. kecil dimana F(x)=0 dan juga2. F(x’) hrs. kecil. , krn. x x’

5. Algoritma yang akan dikembangkan biasanya ditujukan untuk satu kriteria: harus memiliki algoritma yg memenuhi kriteria sesuai dgn tujuan masalah.Penyelesaian akar persamaan F(x) = 0 secara metode numerik:a. tertutup: -Bisection - Regulasi falsib. terbuka: - iterasi - Newton Raphson - Secant

6. Metode Bisection (Bagi dua Interval)fungsi y = f(x) akan memotong sumbu x didalam interval a<x<b, jika f(a) dan f(b) berlawanan tanda.Atau f(x)=0 akan memp. Akar dlm interval a<x<b jika f(a) dan f(b) berlawanan tanda.membutuhkan 2 titik awal (disebut xL dan xR), dgn syarat f(xL) dan f(xR) berlawanan tanda. membutuhkan kondisi berhenti, umumnya saat |f(x)|, ( =errror yang ditentukan)pasti konvergen (meskipun lambat).

7. f(x) y=f(x) xL 1 3 xR 2 Algoritma:1. Mencari titik tengah interval [xL, xR], sebut xT2. Bila f(xT) sama tanda dengan f(xL) maka xT menggantikan xL. Sebaliknya xT menggantikan xR.3. Periksa nilai f(xT). Bila |f(x)|, perulangan(iterasi) berhenti, akar pendekatan = xT, bila tidak kembali ke no.1. x

8. Contoh:Carilah akar dari x2 – 6x + 8 = 0, dengan metode Bisection. Iterasi dihentikan jika |f(x)|, (=0,01 dan ketelitian 4 desimal).

9. Metode Regulasi Falsi (Posisi Salah) • Mirip metode Bisection, relatif lebih cepat • Membutuhkan 2 titik awal (xL dan xR) dengan syarat f(xL) dan f(xR) berlawanan tanda. • Membutuhkan kondisi berhenti |f(x)|  ( diberikan), dan pasti konvergen. |

10. Algoritma: • Tetapkan interval (xL, xR) sedemikian sehingga f(x) dan f(xR) berbeda tanda. • Cari perpotongan garis yang menghubungkan (xL, f(xL)) dan (xR, f(xR)) dengan sumbu x sebutlah untuk perpotongan itu xT. Formula mencari xT adalah: xT = xR – (f(xR).(xL-xR ))/(f(xL)- f(xR)). Bila f(xT) sama tandanya dengan f(xL), maka xT menggantikan xL. Bila f(xT) sama tandanya dengan f(xR), maka xT menggantikan xR.

11. 1 xL xR 2 3. Periksa nilai f(xT). Bila |f(xT)|  pengulangan dihentikan, akar pendekatan =xT. Bila tidak demikian kembali ke langkah nomor 1. Catatan: Dalam perhitungan, xT akan menggantikan xL terus-menerus, atau xT akan menggantikan xR terus menerusn

12. Contoh Soal: Carilah akar dari x2 – 6x + 8 = 0, dengan metode Resulasi Falsi. Iterasi dihentikan jika |f(x)|, (=0,01 dan ketelitian 4 desimal).