METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

1. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR Grupa nr 1-grupa verde

2. I. Metode algebrice • I. Metode algebrice ( utilizează în rezolvarea problemelor tehnica bazată pe • ecuaţii şi sisteme de ecuaţii ) ; • ex . Produsul a două numere este 1 040. Dacă se micşorează primul factor cu 20 , produsul devine 240. Aflaţi cele două numere . • Rezolvare : • Notăm cu a = primul număr • b = la doilea număr , şi înlocuim în problemă datele cunoscute: • a x b = 1 040 • ( a – 20 ) x b = 240 → b = → a x = 1 040 → a x 240 = 1040 x ( a -20) • → a x 240 = 1 040 a - 20 800 → 20 800 = 1 040 a – 240 a → 20 800 = 800 a • → a = → a = 26 • Înlocuim litera a cu 26 şi obţinem : 26 x b = 1 040 → b = 1 040 : 26 → b = 40 • Soluţiile problemei sunt : a = 26 şi b = 40.

3. II. Metode aritmetice : • 1. metode fundamentale ( generale) – se bazează pe operaţiile de • analiză şi sinteză ale gândirii ; • a) metoda analitică ( se examinează problema şi pornind de la întrebarea ei , se descompune în probleme simple din care este alcătuită problema dată); • ex. Într-o fabrică lucrează două echipe : prima cu 6 strungari care fac câte 18 piese pe zi , a doua cu 7 strungari care fac câte 16 peise pe zi. O piesă costă 48 000 lei . • Ce valoare au piesele realizate de cele două echipe într-o zi ? • Datele problemei : • strungari .........................................câte 18 piese / zi • strungari..........................................câte 16 piese / zi • piesă ...............................................48 000 lei • Rezolvare : • 6 x 18 = 108 ( piese ) • 7 x 16 = 112 ( piese ) • 108 + 112= 220 ( piese ) • 48 000 lei x 220= 10 560 000 lei Răspuns : 10 560 000 lei • b) metoda sintetică ( gruparea datelor după relaţiile dintre ele); • Problema menţionată mai sus se poate pune sub forma de exerciţiu, astfel: • ( 6 x 18 + 7 x 16 ) x 48 000 lei = ( 108 + 112 ) x 48 000 lei = 220 x 48 000 lei = • = 10 560 000 lei

4. II. Metode aritmetice : • 2. metode aritmetice speciale ( sunt mai variate şi diferă de la o categorie de probleme la alta ); • a) metoda reducerii la unitate • ex. 5 kg de mere costă 100 000 lei . Câţi lei costă 7 kg mere ? • Datele problemei : • 5 kg mere..........................100 000 lei • 7 kg mere................................? lei • Rezolvarea problemei : • 5 kg mere..........................100 000 lei • 1kg mere...........................100 000 lei : 5 = 20 000 lei • 7kg mere............................ 7 x 20 000 lei =140 000 lei • b) metoda figurativă ( grafică ) - se bazează pe utilizarea desenelor sau elementelor grafice pentru rezolvarea problemelor; • ex. Suma a două numere este 1 270 . Ştiind că un număr este mai mare cu 88 decât dublul celuilalt , aflaţi cale două numere. • 1 270▬ I 1 270 – 88 = 1 182 • ▬ ▬ ...... II 1 182 : 3 = 394 ( I ) • 88 394 x 2 + 88 = 788 + 88 = 876 ( II )

5. II. Metode aritmetice : • b) metoda figurativă ( grafică ) - se bazează pe utilizarea desenelor sau elementelor grafice pentru rezolvarea problemelor; • PROBLEMA . Suma a trei numere este23.Al doilea nr. este cu 3 mai mic decat primul si cu 1 mai mare decat al treilea. Afla numerele. REZOLVARE: |----------------------------| 3 Primul nr.este cel mai mare |-------------------|---------| Al doilea nr. este cu trei mai mic 1 |--------------|-----| Al treilea nr. este cu 1 mai mic decat al doilea Daca toate nr.ar fi fost egale suma ar fi fost mai mica cu:3+1+1=5 In acest caz,suma a trei nr. egale este triplul: 18.Nr. al treilea este:18:3=6 Numarul al doilea este:6+1=7,iar primul nr. este 7+3=10 Raspuns :Cele trei nr.sunt :10,7,6 Verificare:Suma nr.este 10+7+6+23. Primul nr. este mai mare decat al doilea cu :10-7=3 Al treilea nr. este mai mare decat al doilea cu : 7-6=1

6. II. Metode aritmetice : • c) metoda comparaţiei ( se foloseşte la rezolvarea problemelor în care întâlnim • două mărimi necunoscute care sunt legate între ele prin două relaţii • liniare bine precizate) ; • ex. 4 kg de mere şi 6 pâini costă 170 000 lei . 4 kg mere şi 2 pâini costă • 110 000 lei . Câţi lei costă 1 kg de mere şi câţi lei costă o pâine ? • Datele problemei : • 4 kg mere ......................6 pâini............................170 000 lei • 4 kg mere ......................2 pâini............................110 000 lei • 1 kg mere ...........................? lei • 1 pâine................................? lei • Rezolvarea problemei: • Se observă că diferenţa dintre cele două preţuri se datorează diferenţei dintre numărul pâinilor . • 6 - 2 = 4 ( pâini ) • 170 000 lei – 110 000 lei = 60 000 lei • 60 000 lei : 4 = 15 000 lei ( costă o pâine ) • Înlocuim acest rezultat într-una dintre relaţii . O alegem pe a două pentru că este mai simplă . Ştim că o pâine costă 15 000 lei şi în a doua relaţie sunt specificate 2 pâini , deci : 2 x 15 000 lei = 30 000 lei. • Rămânem tot la a doua relaţie şi constatăm ce cunoaştem: • 2 pâini costă 30 000 lei • 110 000 lei au costat cumpărăturile ( 2 pâini şi 4 kg mere ) • Judecăm astfel : • Din întreaga sumă scădem valoarea pâinilor , adică : 110 000 lei – 30 000 lei = 80 000 lei ( reprezintă valoarea celor 4 kg de mere) • 80 000 lei : 4 = 20 000 lei ( costă 1 kg de mere )

7. II. Metode aritmetice : • d) metoda falsei ipoteze ( rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei • presupuneri) ; • ex. Într-o vază sunt 7 flori . Unele au 3 petale , altele au 5 petale . Ştiind că în vază sunt 25 de petale , aflaţi câte flori au 3 petale şi câte au 5 petale? • Datele problemei : • flori → câte 3 petale şi câte 5 petale................25 petale • Rezolvarea problemei : • Presupunem că toate florile ar avea câte 5 petale . Atunci cele 7 flori ar avea • 5 x 7 = 35 ( petale ) • În realitate sunt doar 25 petale , deci avem cu 10 petale în plus , adică • 35 – 25 = 10 ( petale ) • În vază erau flori cu 5 petale şi cu 3 petale , deci primele aveau cu 2 patele mai mult , adică : 5 – 3 = 2 ( petale ) • 10 : 2 = 5 flori ( cu 3 petale ) • Dacă în total erau 7 flori , rezultă că sunt 2 flori cu câte 5 petale , adică • 7 – 5 = 2 flori ( cu 5 petale ) • Proba : 5 + 2 = 7 ( flori în vază ) • 5 x 3 + 2 x 5 = 15 + 10 = 25 ( petale )

8. II. Metode aritmetice : • e) metoda mersului invers ( retrogradă )- rezolvarea se face pornind de la • sfârşitul problemei spre începutul ei; • ex. Mărind un număr cu 5 şi apoi dublâm rezultatul . Rezultatul obţinut îl mărim cu 10 şi obţinem 40. Aflaţi numărul iniţial. • Datele problemei : • [ ( a + 5 ) x 2 ] + 10 = 40 • Rezolvarea problemei: • ( a + 5 ) x 2 = 40 – 10 • ( a + 5 ) x 2 = 30 • a + 5 = 30 : 2 • a + 5 = 15 • a = 15 – 5 • a = 10 • Probleme de mişcare • Notăm : s = spaţiul , v = viteza , t = timpul , h = ora • Relaţiile dintre ele : s = v x t ; v = s : t ; t = s : v • ex. Doi turişti parcurg distanţa de la A la B . Primul a sosit în B cu 2 ore mai târziu decât al doilea. Viteza primului turist a fost de 4 km/h , al celui de-al doilea de 6km/h. Determinaţi distanţa dintre A şi B. • Rezolvare : Se observă că în fiecare oră primul turist rămâne în urmă faţă de al doilea cu 2 km. • s1 = v1 x t1 → s1 = 4 km/h x 2 h = 8 km ( distanţa dintre primul turist şi al doilea care ajunsese în B) ; • t1 = s1 : v1 → t1 = 8 km : 2 km/h → t1 = 4h ( timpul carea arată rămânerea în urmă a primului turist); • s = 6 km/h x 4 h = 24 km ( distanţa dintre A şi B ) • Răspuns : 24 km