LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI

1. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Cenni di matematica e geometria per la fisica a+x=b

2. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze Anche si ti sono note le equivalenze dalle elementari, ripassiamo insieme le scale metriche decimali, aggiungendo qualche precisazionea quello che sai già. Una scala metrica (cioè di unità di misura) si dice decimale se esiste un rapporto di dieci (o multipli di dieci) fra le sue unità. Per esempio un metro è fatto di 10 decimetri, o di 100 centimetri. Daremo per scontato l’idea di unità di misura (la rivedremo più avanti).

3. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze:2 • Le scale di cui ci occupiamo in questa prima fase sono quelle: • del metro(m) per le lunghezze • del chilogrammo(kg) per la massa • del metroquadro(m2) per le superfici • del metro cubo (m3) per i volumi • del secondo ( s ) per il tempo • del litro ( l) per le capacità

4. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: multipli e sottomultipli Ogni scala di unità di misura, è composta di multipli e sottomultipli di una certa unità di misura di riferimento. Per esempio il km è un multiplo del m. Una unità (il km)è un multiplo di quella fondamentale (il m) se la contiene un certo numero intero di volte (in questo caso 1000 volte) Una unità (il cm)è un sottomultiplo di quella fondamentale (il m) se vi è contenuta un certo numero intero di volte (in questo caso 100 volte)

5. 250.000, Es.2: 2,5 hm = mm LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del metro /1 25.000 Es.1: 25 km = m 1 km = 1000 m 1 hm = 100 m 1 dam = 10 m 1 m 1dm = 0,1 m 1cm = 0,01 m 1 mm = 0,001 m Ad ogni passo nella scala dall’alto verso il basso (in questo caso tre passi) aggiungo uno zero (0) a destra (in coda!) Aggiungere uno zero significa moltiplicare per 10, cioè spostare la virgola di un posto ad ogni passo.

6. 0,02 Es.4: 2, m = hm Es.2: 0,5 cm = dam 0,0005 LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del metro /2 300 Es.3: 3 m = cm 1 m = 0,001 km 1 m = 0,01 hm 1 m = 0,1 dam 1 m 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1000 mm Ad ogni passo nella scala dal basso verso l’alto (in questo caso due passi) aggiungo uno zero (0) a sinistra (davanti al numero!) e metto la virgola dopo il primo. Regola pratica: se mi sposto di 4 posti verso l’alto nella scala, sposterò la virgola a sinistra di 4 posti.

7. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del grammo La scala dei grammi (g) è identica a quella dei m. Applicheremo le stesse regole pratiche di equivalenza. 1 kg = 1000 g 1 hg = 100 hg 1 dag = 10 g 1 g 1 dg = 0,1 g 1 cg = 0,01 cg 1 mg = 000,1 g 1 g = 0,001 kg 1 g = 0,01 hg 1 g = 0,1 dag 1 g 1 g = 10 dg 1 g = 100 cg 1 g = 1000 mg

8. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del litro /1 La scala del litro è decimale. E’ una scala di volumi usata per i liquidi. Molti strumenti sono tarati in litri quindi dobbiamo conoscere la scala. E’ identica a quella dei metri e dei grammi. 1 hl = 100 hl 1 dal = 10 l 1 l 1 dl = 0,1 l 1 cl = 0,01 l 1 ml = 000,1 l 1 l = 0,01 hg 1 l = 0,1 dag 1 l 1 l = 10 dl 1 l = 100 cl 1 l = 1000 ml

9. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del metro quadro /1 Il metro quadro è l’unità di misura delle aree. Rispondiamo innanzitutto alla domanda: quanti decimetri quadri stanno in un metro quadro? In 1 m ci sono 10 dm. 1 m 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 10 dm D’altra parte un m2 è un quadrato di lato pari ad 1 m.

10. 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm 1dm2 1dm2 1dm 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm 1dm2 1dm2 1dm 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm 1dm2 1dm2 1dm2 1dm 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm2 1dm 1dm2 1dm2 1dm2 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 10 dm LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del metro quadro /2 Stiamo rispondendo alla domanda: quanti dm2 stanno in un m2? 1 m2 100 dm2 1 m2 10 dm 1 dm x 1 dm = 1 dm2 Risposta: In 1 m2 ci sono 100 dm2.

11. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del metro quadro /3 Allora se in 1 m2 ci sono 100 dm2, in 1 dm2 ci saranno 100 cm2 e così via. Abbiamo scoperto che nelle equivalenze fra multipli (e sottomultipli) del m2 per passare da un’unità all’altra bisogna moltiplicare per 100. 1 km2 = 1.000.000 m2 1 hm2 = 10.000 m2 1 dam2 = 100 m2 1 m2 1dm2 = 0,01 m2 1c m2 = 0,0001 m2 1 mm2 = 0,0000001 m2 1 m2 = 0,000001 km2 1 m2 = 0,0001 hm2 1 m2 = 0,01 dam2 1 m2 1 m2 = 100 dm2 1 m2 = 10.000 cm2 1 m2 = 1.000.000 mm2

12. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del metro quadro /3 1 km2 = 1.000.000 m2 1 hm2 = 10.000 m2 1 dam2 = 100 m2 1 m 1dm2 = 0,01 m2 1c m2 = 0,0001 m2 1 mm2 = 0,0000001 m2 Esempi 500 (+2 zeri) • 5 m2 = dm2 • 0,7 cm2 = m2 • 53 hm2 = cm2 • 0,03 mm2 = km2 0,00007 (+4 zeri) 5.300.000.000 (+8 zeri) 1 m2 = 0,000001 km2 1 m2 = 0,0001 hm2 1 m2 = 0,01 dam2 1 m2 1 m2 = 100 dm2 1 m2 = 10.000 cm2 1 m2 = 1.000.000 mm2 0,00 000 000 000 003 (+12 zeri, in totale 14) Regola pratica: se mi sposto di 4 posti verso l’alto (o verso il basso) nella scala, sposterò la virgola a sinistra (o a destra) di 8=4x2 posti (o zeri).

13. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del metro cubo /1 Il metro cubo è l’unità di misura dei volumi, dove per volume intendiamo lo spazio tridimensionale occupato da un oggetto. Il m3 è un cubo di spigolo 1m. 1 dm3 è un cubo di spigolo 1dm. Quanti cubetti da 1 dm3 stanno in 1m3 ? 1 dm3 1 m3 10 dm 10 dm 10 dm 10 x 10 x 10 = 1000 cubetti da 1 dm3 in ogni m3

14. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del metro cubo /2 1000 cubetti da 1 dm3 in ogni m3 Abbiamo scoperto che nelle equivalenze fra multipli (e sottomultipli) del m3 per passare da un’unità all’altra bisogna moltiplicare per 1000. 1 km3 = 1.000.000.000 m3 1 hm3 = 1000.000 m3 1 dam3 = 1000 m3 1 m3 1dm3 = 0,001 m3 1c m3 = 0,000001 m3 1 mm3 = 0,000000001 m3 1 m3 = 0,00 000 0001 km3 1 m3 = 0,000001 hm3 1 m3 = 0,001 dam3 1 m3 1 m3 = 1000 dm3 1 m3 = 1000.000 cm3 1 m3 = 1.000.000.000 mm3

15. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del metro cubo /2 Esempi 5000 (+3 zeri) 1 km3 = 1.000.000.000 m3 1 hm3 = 1.000.000 m3 1 dam3 = 1000 m3 1 m3 1dm3 = 0,001 m3 1c m3 = 0,000001 m3 1 mm3 = 0,000000001 m3 • 5 m3 = dm3 • 0,7 cm3 = m3 • 53 hm3 = cm3 • 0,03 mm3 = km3 0,0000007 (+6 zeri) 53.000.000.000.000 (+12 zeri) 0,00 000 000 000 000 000 003 (+18 zeri, in totale 20) 1 m3 = 0,00 000 0001 km3 1 m3 = 0,000001 hm3 1 m3 = 0,001 dam3 1 m3 1 m3 = 1000 dm3 1 m3 = 1000.000 cm3 1 m3 = 1.000.000.000 mm3 Regola pratica: se mi sposto di 4 posti verso l’alto (o verso il basso) nella scala, sposterò la virgola a sinistra (o a destra) di 12=4x3 posti (o zeri).

16. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del litro e quella del metro cubo /1 Sia il litro che il metro cubo misurano volumi. Allora che relazione esiste fra le due unità di misura? 1 l = 1 dm3 Di conseguenza se 1 dm3 è 0,001 m3 allora 1 l è 0,001 m3 1 hl = 100 dm3 = 0, 1 m3 1 dal = 10 dm3 = 0,01 m3 1 l = 1 dm3 = 0,001 m3 1 dl = 0,1 dm3 = 0,0001 m3 1 cl = 0,01 dm3 = 0,00001 m3 1 ml = 0,001 dm3 = 0,000001 m3 = 1cm3 1 mm3 = 0,001 cm3 = 0,001 ml 1 ml è 1 cm3

17. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Equivalenze: la scala del secondo /1 La scala dei secondi non è decimale. Questa è un’importante differenza perché per passare da un’unità della scala ad un’altra dobbiamo moltiplicare o dividere per 60 (scala sessagesimale). Esempi 1 h = 60 min = 3600 s 1 min = 60 s 1 s = 10 ds (decimi) 1 s = 100 cs (centesimi di secondo) 1 s = 1000 ms (millisecondi) 3,5 h = min (3,5 x 60) = 210 min 0,4 min = s (0,4 x 60) = 24 s 0,5 s = ms (0,5 x 1000) = 500 ms 6 min = h (6 : 60) = 0,1 h 0,4 ds = s (0,4 : 10) = 0,04 s 0,036 s = min (0,04 : 60) = 0,0006 min 5 s = h ( 5 : 3600) = 0,00139 h NOTA: Sotto il secondo (s) la scala è decimale

18. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni

19. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni/1 Cos’è un’equazione? Un’equazione è una richiesta. Per esempio: trova quel numero (lo chiameremo x, cioè sconosciuto, come Mister X) che sommato a 3 mi dà 5. La risposta è2. O meglio: x=2 è la risposta alla richiesta. La soluzione di un’equazione è una risposta. E’ importante osservare che possiamo esprimere la richiesta (l’equazione) in una forma matematica: x + 3 = 5 Qui è semplice sapere qual è la risposta giusta, ma II membro I membro

20. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni/2 Ma se ci domandiamo: quale numero (x) sottratto a mi dà ? La risposta non è più automatica. Per rispondere ci aiutiamo con la forma matematica dell’equazione: - x = Anche in questa forma non è semplice dare la risposta. Però la scrittura matematica si presta ad una serie di manipolazioni, cioè una serie di trasformazioni che, senza cambiare il senso della richiesta (la domanda iniziale deve rimanere invariata) ci consente di dare la soluzione. Magia?

21. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni/2 Primo principio di equivalenza: in un’equazione si può sommare o sottrarre una stessa espressione (numerica oletterale) a sinistra e a destra dell’uguale. Proviamo. L’equazione è . Poiché vogliamo trovare x, è logico cercare di lasciarla da sola nel primo membro, in modo da arrivare ad una espressione del tipo x = un numero. Sfruttiamo la regola sommando + 12/15 in entrambi i membri:

22. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni/3 Fatti i calcoli semplifichiamo (solo nel I membro). Facciamo i calcoli Se – x = + 273/60 allora x = - 273/60. Abbiamo trovato la risposta:

23. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni/4 Vogliamo convincerci che la risposta esatta alla domanda: È: Per saperlo sostituiamo il valore trovato nell’equazione: 15 (Semplificando la prima frazione con 15) 4 !!! Il numero inserito verifica l’eguaglianza cioè i due membri sono uguali !!! La risposta è esatta.

24. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni/5 Primo principio di equivalenza: in un’equazione si può sommare o sottrarre una stessa espressione a sinistra e a destra dell’uguale. Esempi: 2 + x = 6 x – 3 = 12 7- x = 4 2·x=6 Come si fa? Bisogna applicare un’altra regola perché alla x non è sommata o sottratta, ma moltiplicata per 2.

25. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni/6 Secondo principio di equivalenza: in un’equazione si può moltiplicare o dividere per una stessa espressione (numerica o letterale) a sinistra e a destra dell’uguale. Se si divide, il divisore deve essere diverso da zero. Proviamo. L’equazione è 2·x=6 . Poiché vogliamo trovare x, è logico cercare di lasciarla da sola nel primo membro, in modo da arrivare ad una espressione del tipo x = un numero. Sfruttiamo la regola dividendo per 2 entrambi i membri:

26. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni/7 Secondo principio di equivalenza: in un’equazione si può moltiplicare o dividere per una stessa espressione a sinistra e a destra dell’uguale. Se si divide, il divisore deve essere diverso da zero. Verifichiamo. L’equazione è 2·x=6 . Sostituiamo x=3: Dato che i due membri sono uguali la risposta trovata è giusta. Esempi Qui abbiamo moltiplicato Qui abbiamo moltiplicato per la frazione inversa. Qui abbiamo moltiplicato per la x per portarla a numeratore.

27. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Primo principio di equivalenza: in un’equazione si può sommare o sottrarre una stessa espressione a sinistra e a destra dell’uguale. Le formule inverse: le equazioni/8 Consideriamo l’equazione: 5·x +2 = 3 Secondo principio di equivalenza: in un’equazione si può moltiplicare o dividere per una stessa espressione a sinistra e a destra dell’uguale. Se si divide, il divisore deve essere diverso da zero. Regola pratica: E’ sempre opportuno isolareil termine contenente l’incognita (nell’esempio 5·x) prima di procedere ad isolare l’incognita (x).

28. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Primo principio di equivalenza: in un’equazione si può sommare o sottrarre una stessa espressione a sinistra e a destra dell’uguale. Le formule inverse: le equazioni/9 Esempi Secondo principio di equivalenza: in un’equazione si può moltiplicare o dividere per una stessa espressione a sinistra e a destra dell’uguale. Se si divide, il divisore deve essere diverso da zero.

29. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni letterali/8 Consideriamo ora le equazioni letterali. In fisica sono queste le equazioni che incontreremo. L’unica differenza è che al posto dei numeri abbiamo delle lettere che rappresentano quantità che non conosciamo. Per esempio: x + U = Q è la stessa cosa di x + 3 = +5 Risolviamo come abbiamo fatto in precedenza: x + U - U = Q – U x + 3 - 3 = +5 - 3 x = Q – U x = 5 - 3 = +2 Ci fermiamo qui, perché la risposta non può essere un numero ma un’espressione letterale. Se decidessimo di imporre U=+3 e Q=+5 le due equazioni diventano identiche.

30. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni letterali/9 Ma se Q e U hanno valori diversi, ugualmente la risposta x = Q – U Continua ad essere la risposta giusta. Infine potremmo chiamare la nostra incognita x con un’altra lettera, per esempio E: non cambierebbe nulla. L’equazione di partenza x + U = Q diventa E + U = Q La soluzione è: E = Q – U Di volta in volta dovremo dire fra le varie lettere quale è l’incognita, cioè la lettera di cui cerchiamo l’espressione.

31. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Le formule inverse: le equazioni letterali/10 Esempi F=m·a con incognita a V = a ·t con incognita t d= m/V con incognita V S = c + v·t con incognita v

32. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria

33. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria Vediamo alcuni concetti fondamentali di geometria piana e alcune formule di geometria solida che ci serviranno parlando di fisica. Concetti generali che non dimostreremo.

34. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: rette/2 Rette incidenti: due rette si dicono incidenti se si intersecano in un solo punto.  b Proprietà delle incidenti: Gli angoli opposti al vertice di due rette che si intersecano sono uguali fra loro b 

35. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: rette/1 Rette perpendicolari: due rette incidenti si dicono perpendicolari (oppure ortogonali o normali) se si intersecano in un punto formando quattro angoli retti. Anche queste sono perpendicolari!

36. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: rette/3 Rette parallele: due rette si dicono parallele se si non si intersecano in nessun punto. La “distanza” fra due rette parallele è sempre uguale.

37. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: angoli notevoli/1 Angolo retto (90°) Angolo piatto (180°) Angolo giro (360°)

38. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: angoli notevoli/1 Proprietà delle parallele tagliate da una trasversale: gli angoli dello stesso colore in figura sono uguali fra loro.

39. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: Quadrato Quadrato: un poligono regolare avente quattro lati tutti uguali e paralleli a coppie. Area = LxL Perimetro=4·L

40. C g b a B A LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: Triangoli/proprietà1 Proprietà degli angoli: La somma degli angoli interni è sempre pari a 180°.

41. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: Triangoli/proprietà1 C g b • Proprietà di uguaglianza: Due triangoli sono congruenti (“uguali”) se sono sovrapponibili. Per esserlo devono avere tre elementi uguali: • Due lati e un angolo • Tre lati • Due angoli e il lato compreso a B A C’ g ‘ a ‘ b ‘ A’ B’

42. C g b a B A LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: Triangoli/proprietà1 • Proprietà di similitudine: Due triangoli sono simili se hanno gli angoli uguali e i lati in proporzione. Cioè: • AB:A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’ • Potremmo dire che sono in scala fra loro. Per dire che due triangoli sono simili è sufficiente mostrare che: • Hanno due angoli ordinatamente uguali • Tre lati in proporzione • Due lati in proporzione e l’angolo compreso uguale C’ g ‘ ‘ b ‘ a B’ A’

43. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: Triangoli Triangoli: qualunquepoligono regolare avente tre lati. Area = (base x altezza):2 Perimetro= somma dei tre lati altezza base

44. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: Triangoli rettangoli Triangoli rettangoli : ogni triangolo contenente un angolo retto (90°). Il lato opposto a quello retto si chiama ipotenusa. Gli altri lati sono i cateti Teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è pari al quadrato costruito sull’ipotenusa. a2 c2 a2 = b2 + c2 b2 Formule derivate:

45. LEZIONI DI FISICA PROF. DONATI Elementi di geometria: figure piane e solidi