LFA: Unidade 03 – Parte B

1. LFA:Unidade 03 – Parte B Engenharia/Ciência da Computação Prof. François profrancois@yahoo.com.br

2. Equivalência entre AFN e AFD • Teorema: Equivalência entre AFD e AFN • A classe dos AFD é equivalente à classe dos AFN. • A prova consiste em mostrar que para todo AFN M é possível construir um AFD M’ que realiza o mesmo processamento, ou seja, M’ simula M. • A demonstração apresenta um algoritmo para converter um AFN qualquer em um AFD equivalente.

3. Equivalência entre AFN e AFD • A idéia central do algoritmo é a construção de estados de M’ que simulem as diversas combinações de estados de M. • A transformação contrária - construir um AFN a partir de um AFD - não necessita ser demonstrada, uma vez que decorre trivialmente das definições (Por quê? Porque a função programa  do AFN contém a função programa ’ do AFD). • Seja M = (, Q, , q0, F) um AFN qualquer e seja M’ = (’, Q’, ’, <q0>, F’) um AFD construído a partir de M como se segue:

4. Equivalência entre AFN e AFD • Q’ :Conjunto de todas as combinações, sem repetições, de estados de Q, as quais são denotadas por <q1q2...qn> onde qi  Q para i em {1, 2, ..., n}. Note-se que a ordem dos elementos não identifica mais combinações. Por exemplo: <quqv> = <qvqu>. • ’ : Tal que ’(<q1...qn>, a) = <p1...pm> sss  ({q1, ..., qn}, a) = {p1, ..., pm}, ou seja, um estado de M’ representa uma imagem de todos os estados alternativos de M. • <q0>:Estado inicial. • F’ :Conjunto de todos os estados <q1q2...qn>  Q’ tal que alguma componente qi  F, para i  {1, 2, ..., n}.

5. Equivalência entre AFN e AFD • PROVA: • A demonstração de que o AFD M’ simula o processamento do AFN M é dada por indução sobre o tamanho da palavra. Deve-se provar que, para uma palavra qualquer w de : • ’(<q0>, w) = <q1...qu> sse ({q0}, w) = {q1, ..., qu} • (A prova está no livro, na página 58). • Exemplo: Construção de um AFD a partir de um AFN. • Seja o AFN M6 = ({a,b}, {q0, q1, q2, qf}, 6, q0, {qf}), dado no exemplo anterior e representado abaixo:

6. Equivalência entre AFN e AFD

7. Equivalência entre AFN e AFD • O AFD M6’ = ({a, b}, Q’, ’, <q0>, F’), construído conforme o algoritmo dado é:

8. Equivalência entre AFN e AFD • onde: • Q’ = {<q0>,<q1>,<q2>,<qf>,<q0q1>,<q0q2>, ...,<q0q1q2qf>} • F’ = {<qf>,<q0qf>,<q1qf>,...,<q0q1q2qf>} • 6’ = É tal conforme os valores dados na tabela abaixo:

9. Equivalência entre AFN e AFD

10. Equivalência entre AFN e AFD • No grafo que representa M6’, acima, p0, p1, p2 e pf denotam respectivamente <q0>, <q0q1>, <q0q1q2>, <q0q1q2qf>.

11. AF com Movimento vazio • Autômato Finito com Movimento Vazio • Movimentos vazios constituem uma generalização dos AFN e são transições que ocorrem sem que haja a leitura de símbolo algum • Os movimentos vazios podem ser interpretados como um não-determinismo interno do autômato, que é encapsulado. • A não ser por uma eventual mudança de estados, nada mais pode ser observado sobre um movimento vazio.. • Qualquer AF pode ser simulado por um autômato finito não-determinístico

12. AF com Movimento vazio • Definição: Autômato Finito com Movimento Vazio (AF) • Um autômato finito não-determinístico e com movimento vazio (AFN), ou simplesmente autômato finito com movimento vazio (AF), é uma quíntupla: • M = (, Q, , q0, F), • onde:

13. AF com Movimento vazio •  - Alfabeto de símbolos de entrada • Q - Conjunto finito de estados possíveis do autômato •  - Função programa ou função de transição : Q x ( {})  2Q, parcial. • q0 - Estado inicial tal que q0  Q • F - Conjunto de estados finais, tais que F  Q. • Portanto os componentes do AF são os mesmos do AFN, com exceção da função programa (ver figura abaixo).

14. AF com Movimento vazio

15. AF com Movimento vazio • O processamento dos AF é similar ao dos AFN. Por analogia o processamento de uma transição para uma entrada vazia também é não-determinística. Assim um AF ao processar uma entrada vazia assume simultaneamente os estados de origem e destino da transição. • Exemplo: Autômato Finito com Movimento Vazio • O AF M7 = ({a,b}, {q0, qf}, 7, q0, {qf}), representado na figura abaixo reconhece a linguagem L7 ={ w | qualquer símbolo a antecede qualquer símbolo b }, onde 7 é representada na forma da tabela:

16. AF com Movimento vazio

17. AF com Movimento vazio

18. Computação Vazia • Seja M = (, Q, , q0, F) um autômato finito com movimentos vazios. • a) A Computação Vazia ou Função Fecho Vazio, a partir de um estado, denotada por:  : Q  2Q , e é indutivamente definida como segue: •  (q) ={q}, se (q, ) é indefinida; •  (q) ={q} U (q, ) U (Up(p)), caso contrário; • b) a Computação Vazia ou Função Fecho Vazio, a partir de um conjunto de estados finito, denotada por:

19. Computação Vazia • * : 2Q 2Q • é tal que • * (P) = Uqp (q) • Lembrar que * e  são agrupadas em . • Considere o autômato finito com movimentos vazios do exemplo anterior. • Então:  (q0) = {q0, qf } •  (qf) = {qf} • ({q0,qf) = {q0, qf }

20. Computação Vazia • A computação de um autômato finito com movimentos vazios, para uma palavra de entrada w, consiste na sucessiva aplicação da função programa para cada símbolo de w (da esquerda para a direita), cada passo de aplicação intercalado com computações vazias, até ocorrer uma condição de parada. Assim, para cada conjunto de estados alternativos assumido pelo autômato, antes de processar a próxima transição, é necessário determinar todos os demais estados atingíveis exclusivamente por movimentos vazios.

21. Computação Vazia • Definição - Função Programa Estendida, Computação • Seja M = (, Q, , q0, F) um autômato finito com movimentos vazios. A Função Programa Estendida ou Computação de M, denotada por: • * : 2Q x * 2Q • é a função programa: : Q x ( U {})  2Q • estendida para um conjunto finito de estados e para uma palavra e é indutivamente definida como segue:

22. Computação Vazia • *(P,) =  (P) • *(P,wa) =  (R) onde R={r|r (s,a) e s *(P,w)} • A parada do processamento, a linguagem aceita e a rejeitada é igual à do AFN • ACEITA(M)={w | *({qo}, w) ∩ F ≠Ф} • REJEITA(M)={w | *({qo}, w) ∩ F = Ф ou *({qo}, w) é indefinida}

23. Computação Vazia • Exemplo de Computação Vazia • Considere a seguinte linguagem sobre o alfabeto { a, b, c}, La = {w | w possui como sufIxo a ou bb ou ccc} • O autômato finito com movimentos vazios:

24. Computação Vazia • O autômato descrito acima M8 = ({ a, b, c}, {q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6, qf}, 8, q0, {qf}) • é tal que ACEITA(M8) = L8 • E em relação à computação vazia, vale que, por exemplo:, •  ({q0}) = {q0, q1, q2, q4} • E a computação da entrada abb é:

25. Computação Vazia • *({qo},abb) =  ({r |r (s,b) e s *({q0},ab)}) (1) • Sendo que • *({qo},ab) =  ({r |r (s,b) e s *({q0},a)}) (2) • E • *({qo},a) =  ({r |r (s,a) e s *({q0}, )}) (3) • Como • *({qo}, ) =  ({q0})={q0, q1, q2, q4}

26. Computação Vazia • O qual considerado em (3): • *({qo},a) = })={q0, q1, q2, q4,qf} • O qual considerado em (2): • *({qo},ab) = })={q0, q1, q2, q3,q4} • O qual considerado em (1): • *({qo},abb) = })={q0, q1, q2, q3, q4, qf}

27. Computação Vazia • Equivalência entre AFN e AFN • Seja M = (, Q, , q0, F) um AFN. E MN = (, Q, , q0, FN ) um autômato construído a partir de M como segue: • a) N: Q x  2Q é tq N (q,a) = * ({q},a) • b) FN é o conjunto de todos os estados q pertencentes a Q tq:  (q) ∩ F ≠Ф (todos os estados que atingem estados finais via computações vazias).

28. Computação Vazia • EXEMPLO - Construção de AFN a partir de AFN • Considere o autômato finito com movimentos vazios M9 na figura abaixo::

29. Computação Vazia • E 9 dado por

30. Computação Vazia • Assim o automato M9 = ({a, b}, {q0, q1, q2}, 9, qo, {q2}) • E o correspondente AFN: • M9N = ({a, b}, {q0, q1, q2}, 9N, qo, FN) é construído assim: • FN = {q0, q1, q2, pois: •  (q0) = {q0, q1, q2} •  (q1) = {q1, q2} •  (q2) = {q2}

31. Computação Vazia • Na construção de 9N note-se que: • 9*({q0}, ))={q0, q1, q2} • 9*({q1}, ))={q1, q2} • 9*({q2}, ))={q2} • Assim, 9N é tq: • 9N (q0,a)= 9*({q0},a)=  ({r |r (s,a) e s *({q0}, )})= {q0, q1, q2}

32. Computação Vazia • 9N (q0,b)= 9*({q0},b)=  ({r |r (s,b) e s *({q0}, )})= {q1, q2} • 9N (q1,a)= 9*({q1},a)=  ({r |r (s,a) e s *({q1}, )})= {q2} • 9N (q1,b)= 9*({q1},b)=  ({r |r (s,b) e s *({q1}, )})= {q1, q2} • 9N (q2,a)= 9*({q2},a)=  ({r |r (s,a) e s *({q2}, )})= {q2}

33. Computação Vazia • 9N (q2,b)= 9*({q2},b)=  ({r |r (s,b) e s *({q2}, )}) é indefinida • E o AFN equivalente é: