O Crescimento na Natureza

1. O Crescimento na Natureza

2. INTRODUÇÃO

3. Quando um bebé começa a crescer, será que lhe vão crescer novas pernas? crescer outra cabeça? • Se uma árvore pequena tiver a seguinte forma: • Será que quando crescer torna-se assim?

4. A sociedade evoluiu de tal forma, que muitas vezes não temos tempo para parar, e dar uma olhadela para o mundo que nos rodeia! Vamos estudar alguns conceitos matemáticos, e o modo como estes se associam, muitas vezes à vida real: • Fórmula de Binet; • Números de Fibonacci; • Sequência de Fibonacci; • Gnomons; • - Crescimento Gnomático; • - Razão de ouro; • - Rectângulos de ouro; • - Triângulos de ouro; • - Semelhanças;

5. Números de Fibonacci 21 34 1 5 8 3 55 13 ……………………….

6. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ………….. Esta sequência de números é a chamada Sequência de Fibonacci, em que o primeiro e o segundo termo são um, e os restantes termos são a soma dos dois termos anteriores Isto é: F1 = 1 , F2 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2 , n > 2 Fazendo uso desta definição podemos calcular todos os números de Fibonacci!... Então vamos calcular F31?!

7. Sabendo o F30 e o F29 é fácil, mas, para saber qual o valor desses números, dá muito trabalho! F31= F30 + F29 F31 = 832040 + 514229 F31= 1346269 As definições recursivas têm uma teoria elegante e simples, mas na prática são muito limitadas, como vimos no exemplo anterior. Imaginemos então o que é calcular o F1000 … Existirá outra maneira de o calcular? ? ? ?

8. Existem outras maneiras! Embora tenham um aspecto bem mais complicado! A chamada Fórmula de Binet calcula directamente o número de Fibonacci de determinada ordem! Fórmula de Binet Ao utilizarmos esta fórmula vamos ter que usar números aproximados de: Este último número vai ser particularmente importante…

9. Consideremos a seguinte equação As soluções da equação são e Prestemos atenção à solução positiva Este número é suficientemente importante, para lhe ser atribuído um símbolo e um nome. A este número é chamado número de ouro e é representado pela letra grega j (Phi) Vamos então exemplificar um dos raciocínios que se usava para explicar este número:

10. Considere-se um segmento de recta, de extremidades A e C - Coloque-se o ponto B entre A e C de modo a que razão do segmento de recta mais pequeno (AB) para o maior (BC) seja igual à razão do maior segmento (BC) para o segmento todo (AC): Equacionalmente tem-se: |AB| / |BC| = |BC| / |AC| Se se fizer: |AB| = y |BC| = x |AC| = x + y Vem y / x = x / (x+y) Considerando y = 1 obtém-se: Que tem as seguintes soluções:

11. Chega-se então ao que se pretende, isto é, encontrou-se o tão esperado número de ouro j (Phi) : ( Os comprimentos dos segmentos, são positivos, logo, a razão entre esses segmentos é positiva ) Na Antiguidade o número de ouro era explicado como : "Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar entre a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo." Então j é solução da equação o que significa Usando este facto repetidamente podemos calcular outras potências de j Esta fórmula é o inverso da fórmula de Binet, na fórmula de Binet usamos potências de j para calcular números de Fibonacci, aqui usamos números de Fibonacci para calcular potências de j

12. A terceira ligação entre os números de Fibonacci e o número de ouro é possivelmente a mais surpreendente O que será que acontece quando dividimos dois números de Fibonacci consecutivos? ?

14. O que acontece? Parece que depois de uma oscilação na razão dos primeiros termos, a razão assenta no valor aproximado 1,61803…

15. Mas, se estudarmos a razão entre dois números de Fibonacci maiores, obtemos um número com mais casas decimais, o exemplo seguinte tem 1000 casas decimais… 1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890244970720 7204189391137484754088075386891752126633862223536931793180060766726354433389086595939582 9056383226613199282902678806752087668925017116962070322210432162695486262963136144381497 5870122034080588795445474924618569536486444924104432077134494704956584678850987433944221 2544877066478091588460749988712400765217057517978834166256249407589069704000281210427621 7711177780531531714101170466659914669798731761356006708748071013179523689427521948435305 6783002287856997829778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102838312683 3037242926752631165339247316711121158818638513316203840052221657912866752946549068113171 5993432359734949850904094762132229810172610705961164562990981629055520852479035240602017 2799747175342777592778625619432082750513121815628551222480939471234145170223735805772786 1600868838295230459264787801788992199027077690389532196819861514378031499741106926088674 296226757560523172777520353613936 O número mágico de qual a razão se aproxima é o nosso número de ouroj, e quanto maior forem os números de Fibonacci usados na razão maior será a aproximação a j.

16. Onde Aparecem? Números de Fibonacci

17. Plantas: • O número de pétalas das margaridas é constantemente, um número • de Fibonacci: • Margaridas Azuis – 13 pétalas • Margaridas Inglesas – 21 pétalas • Margaridas Africanas – 55 pétalas • Existem ainda outras flores onde isto também acontece

18. Algumas plantas apresentam os números de Fibonacci no crescimento dos seus galhos: Animais - Reprodução dos coelhos, e abelhas Este exemplo é usado, muitas vezes, como exemplo, para a sequência de Fibonacci, mas crê-se que não é real

19. Anatomia do Homem - Temos cabeça, tronco e membros; - Nos nossos membros superiores, temos: - 2 braços; - 2 mãos; - Numa mão temos: - 5 dedos; - Em cada dedo temos: - 3 partes separadas por duas ( 2 ) articulações ou 2 partes separadas por uma ( 1 ) articulação

20. Triângulo de Pascal

21. Divisões Contínuas

22. Onde Aparece? Razão de ouro

23. Pintura • Razão entre as medidas dos lados dos quadros Arquitectura

24. Dimensões áureas do Homem

25. Indústria, Comércio e Publicidade - Cartazes publicitários; - Cartões de Crédito; - Revistas, jornais; - Títulos de livros;

26. Gnomons + =

27. Na Grécia antiga, o significado da palavra gnomone é “Aquele que sabe”, por isso, não é surpresa que a palavra tenha um significado no vocabulário dos matemáticos. Em Geometria, um gnomon é uma figura geométrica (G) que quando “ligada” Convenientemente (sem partes separadas) a outra figura geométrica (A) resulta numa figura (G&A) semelhante no sentido geométrico à figura (A). Os gnomons vão desempenhar um papel importante no crescimento espiral.

28. Antes de aprofundarmos o conceito de gnomon vamos aprofundar o conceito de semelhança geométrica. Sabemos que em geometria dois objectos são semelhantes se um for obtido à escala de outro (redução, ampliação, igual). Por exemplo, quando projectamos a imagem de um slide numa tela, criamos uma imagem semelhante mas maior. Outro exemplo é uma redução, ou ampliação de uma imagem numa fotocopiadora.

29. Aqui ficam alguns resultados básicos de semelhança de figuras geométricas, que vamos utilizar: • - Dois triângulos são semelhantes se os seus lados, são proporcionais, • alternativamente dois triângulos são semelhantes se a medida dos seus • respectivos ângulos for a mesma; • Dois quadrados são sempre semelhantes; • Dois rectângulos são semelhantes se os seus lados são proporcionais, isto é, • - Duas circunferências são sempre semelhantes; • Dois anéis circulares são semelhantes se os seus raios interiores e exteriores • São proporcionais, isto é

30. Exemplo 1: O quadrado A tem a figura em forma de L, G como gnomon porque quando G é encaixado com A formam outro quadrado, e portanto A e A’ são semelhantes, pois dois quadrados são sempre semelhantes. Observação: Considerando agora a figura original G E o seu possível gnomon A A figura obtida nunca é semelhante à figura original Portanto: Os gnomons para uma figura geométrica não são reversíveis e não são unicos Uma figura tem sempre ela própria por gnomon

31. Exemplo 2 A circunferência C tem como gnomon o anel G (não sendo o único), o raio interior de G tem de ser r, e o raio exterior de G pode ser qualquer número R maior que r. Quando encaixamos o anel G na circunferência C, obtemos uma nova circunferência C’ que é semelhante a C, pois todas as circunferências são semelhantes.

32. Exemplo 3 Considerando agora o anel C com o raio exterior r e outro anel H com raio interior r e raio exterior R (qualquer). Será que H é um gnomon para o anel C ? Qualquer pessoa é tentada a pensar que com uma escolha apropriada para o raio exterior talvez funcione, mas nunca vai dar. Não importa o valor que escolhemos para o raio exterior do anel H, quando encaixamos os dois anéis, C e H, o anel resultante C’ nunca vai ser semelhante a C, pois o raio interior de C’ continua o mesmo de C, mas o raio exterior é muito maior, e portanto a nova figura não é proporcional à primeira

33. Exemplo4 Suponhamos que temos um rectângulo R de altura h e base b. A figura geométrica com a forma do L ( G ), é um gnomon para o rectângulo R se a razão entre b/h e y/x for igual. Neste caso G pode ser “encostada” a R, de modo a que juntas formem um rectângulo R’ semelhante a R. Uma maneira muito simples de construir o gnomon em forma de L (G) é notando que a diagonal do rectângulo original R é também a diagonal do canto de G.

34. Exemplo 5 No exemplo seguinte vamos fazer as coisas de modo inverso. Consideremos um triângulo isósceles T, com as seguintes medidas de ângulos 72º, 72º e 36º No lado DC, marcamos o ponto A, de modo que BA seja congruente com BC. O triângulo T’ cujos vértices são C, B e A é também um triângulo isósceles, em que os ângulos em C e A são congruentes. Deste modo, T’ vai ter ângulos de medidas 72º, 36º e 72º. Assim T’ vai ser semelhante ao nosso triângulo original T. E daí? Podem perguntar!!!!!! Onde está o gnomon para o triângulo T? Ainda não temos nenhum, por enquanto…

35. Mas já temos um gnomon para o triângulo T’, que é o triângulo G’, cujos vértices são A, B e D. Depois deste processo, quando o triângulo G’ é ligado ao triângulo T’, obtemos o triângulo T O gnomon G’ é também um triângulo isósceles, cujos ângulos têm por medidas 36º, 36º e 108º.

36. Agora já sabemos como encontrar um gnomon, não só para o triângulo T’, mas também para qualquer triângulo cujos medidas dos ângulos sejam 72º - 72º - 36º : ligando um triângulo de medidas de ângulos 36º- 36º - 108º a um dos lados maiores do triângulo original

37. Este exemplo tem um interesse especial por duas razões. Primeiro, porque pela primeira vez temos um exemplo onde a figura original e o seu gnomone são do mesmo tipo ( triângulos isósceles ) Segundo, porque os triângulos isósceles desta história (72º - 72º - 36º e 36º- 36º - 108º ) têm uma propriedade que os torna únicos: em ambos os casos a razão dos seus lados (o lado maior sobre o lado menor) é o número de ouro. Estes são os únicos triângulos isósceles que têm esta propriedade e por esta razão são chamados triângulos de ouro.

38. Se repetirmos este processo indefinidamente, obtemos uma série em espiral de triângulos que vão ter sempre as medidas de ângulos 72º - 72º - 36º

39. Para além dos triângulos de ouro, existem também os rectângulos de ouro, que são rectângulos que satisfazem a seguinte condição: A razão entre o lado maior e o lado menor do rectângulo têm de ser igual ao número de ouro Uma das mais maravilhosas construções da antiguidade, O Parthenon de Atenas, Grécia , já tem a forma de um rectângulo de ouro Na arte, um dos quadros que ficou bastante conhecido e onde se encontra o rectângulo de ouro, é na Gioconda (em 1505) de Leonardo Da Vinci. Se reparar, no seu rosto está inscrito um rectângulo de ouro. Na altura, este quadro foi uma inovação, que se desenvolveu também com a ajuda de Luca Pacioli, autor da Divina Proporção.

40. Qualquer rectângulo de ouro tem um gnomon quadrado, este resultado leva-nos a mais um resultado interessante, como vamos ver de seguida: Obtemos um rectângulo de dimensões 2, 1; ( rectângulo de ouro ) Então tem por gnomone um quadrado de lado 2 (maior lado do rectângulo anterior) ……………………………………………………………… Então tem por gnomone um quadrado de lado 3 Então temos um novo rectângulo de ouro de dimeñsões 5, 3; Primeiro colocamos um quadrado de lado 1; Associamos a esse quadrado, outro quadrado com lado1; Então temos um novo rectângulo de ouro de dimeñsões 3, 2;

41. Reparemos que os quadrados que aparecem têm por dimensões 1, 1, 2, 3, 5, 8, ….. E os rectângulos que se obtêm têm por medidas de lados estes números! 1º rectângulo a aparecer tem por dimensões 2 – 1; 2º rectângulo aparecer tem por dimensões 3 – 2; 3º rectângulo a aparecer tem por dimensões 5 – 3; … Estes números são os nossos conhecidos, números de Fibonacci. Os rectângulos que aparecem têm por medidas sempre dois números consecutivos de Fibonacci, e por isso também são chamados por rectângulos de Finonacci.

42. Se nesta figura, Por cada um dos quadrados, passarmos, um quarto de círculo seguindo uma determinada ordem vamos formar “A espiral dos rectângulos de Fibonacci”

43. Conclusão

44. Neste trabalho, estudámos um tipo de crescimento especial – crescimento Gnomático – onde, certas formas crescem, pela adição de gnomons, preservando a sua forma original, mesmo quando estão a crescer.

45. Aplicações à Natureza

46. O Náutilus Marinho, segue, este tipo de crescimento, Gnomon

47. Outros exemplos: Vegetais (couve flor) Pinha Plantas (Girassóis)

48. FIM