Métodos Directos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Métodos Directos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

2. Indice Aplicaciones de los Sistemas Lineales Método de eliminación de Gauss Limitaciones de los Métodos Directos

3. Aplicaciones Una red eléctrica • Leyes de Kirchhoff y Ohm • Formulación algebraica Una red de calles • Grafo dirigido • Matriz de incidencia • Formulación algebraica • Expresión matricial La ecuación del calor

4. R1 R1 R1 R1 a b I3 I4 I1 I2 R3 V R2 R2 R2 d c R4 R4 R4 R4 Una red eléctrica

5. Formulación algebraica Malla 1 R1 I1 + R2 ( I1- I2 ) + R4 I1 = V Sistema de ecuaciones ( R1 + R2 + R4 ) I1- R2 I2 = V - R2 I1 + ( R1 + 2R2 + R4 ) I2- R2 I3 = 0 - R2 I2 + ( R1 + 2R2 + R4 ) I3 - R2 I4 = 0 - R2 I3+ ( R1 + R2 + R3 + R4 ) I4 = 0 Leyes de Kirchhoff y Ohm • Ley de los nudos • Ibc = I1- I2 • Ley de las mallas • Vab + Vbc + Vcd = V • Ley de Ohm • Vbc = R2 ( I1- I2 )

6. Una red de calles

7. 200 100 300 x1 x2 500 A B C 600 x3 x4 x5 x6 x7 400 D E F 450 600 400 350 Grafo dirigido

8. Formulación algebraica Sistema de ecuaciones linealesForma matricial

9. Matriz de incidencia

10. Modelo matemático Matriz asociada Ecuación del Calor T0T1 T2 . . . Tn Tn+1

11. Resolución de Sistemas Lineales por Métodos directos • Teorema de Rouché-Frobenius • Operaciones elementales • Triangularización • Sustitución regresiva • Factorización LU • Resolución de múltiples sistemas con la misma matriz • Inversa por el método de Jordan-Gauss

12. Teorema de Rouché-Frobenius • El sistema Amnx = b es compatible si y sólo si rank(A) = rank(A|b) • Un sistema compatible es determinado sii rank(A) = n • Un sistema compatible indeterminado tienen - rank(A) variables libres • Solución xc = xp + null(A)

13. Operaciones elementales • Eliminar fila i tomando la fila k como pivote • lik = aik / akk , aij = aij- lik * akj • A(i,:) = A(i,:) - L(i,k)*A(k,:); • Escalar fila i dividiéndola por el pivote aii • aij = aij / aii • A(i,:) = A(i,:)/A(i,i); • Permutar las filas i y j • aij aji • A([i,j],:) = A([j,i],:);

14. Fases de la eliminación • Eliminación gaussiana Ax=b • Triangularización Archivo triangul.m Ux=c • Sustitución regresiva Archivo regresiv.m x=A-1b

15. Sistema original Ax = b LUx = b Sistemas triangulares Ly = b Ux = y Factorización LU • >> [L,U] = lu(a) • >> [L,U,P] = lu(a) • Resolución de múltiples sistemas con la misma matriz. • Inversa por el método de Jordan-Gauss

16. Limitaciones de los Métodos Directos • Acumulación del error de redondeo Coste de la eliminación: O(n3) • Sensibilidad al error de redondeo Sistemas mal o bien condicionados Número de condición • Estrategia de Pivotación Parcial • Llenado de la matriz. Matrices dispersas

17. Sensibilidad al error de redondeo Sistema mal condicionado : un pequeño cambio la matriz causa un gran cambio en la solución. Sistema bien condicionado : pequeños cambios en la matriz causan pequeños cambios en la solución. Condicionamiento de una matriz

18. Número de condición de una matriz • cond mide el mal condicionamiento cond(eye(n))=1 cond(matsingular) = inf • rcond mide el buen condicionamiento rcond(eye(n))=1 rcond(matsingular) = 0 • malcon1\ti1, malcon2\ti1 • rcond y det

19. Pivotación parcial • Un algoritmo deficiente puede arruinar un sistema bien condicionado Matriz dosb • Estrategia: Elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto del resto de la columna Archivo pivparc.m Archivo resolver.m • El operador \ para resolver Ax = b

20. Conclusión • Los métodos directos son apropiados para matrices generales de tamaño moderado • Es preciso aplicar una estrategia de pivotación para evitar que el error de redondeo crezca. • Algunos sistemas son muy sensibles a estos errores: mal condicionados. • Los sistemas dispersos o estructurados merecen un tratamiento especial.