3. Doğrusal Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Modelleri

1. 3. Doğrusal Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Modelleri Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Bölümü

2. Doğrusal bir sistemin(veya bir elemanın) transfer fonksiyonu, tüm ilk koşullar sıfır iken sistemin çıkış değişkeninin Laplace dönüşümünün, giriş değişkeninin Laplace dönüşümüne oranı olarak tanımlanır. Parametreleri zamanla değişen sistemlerin Laplace dönüşümü alınamayacağından, transfer fonksiyonunun çıkarılabilmesi için sistemin sabit parametreli olması gerekir.

3. Yüksek dereceli bir sistemde y(t) yanıt, r(t) giriş olmak üzere sistemi betimleyen diferansiyel denklem aşağıdaki gibi olsun : Bütün başlangıç koşulları sıfıra eşitse sistemin transfer fonksiyonu olur.

4. Örnek : RC devresi(Dorf ve Bishop,2005) Şekildeki RC devresinin transfer fonksiyonu Kirschoff ’un gerilim yasası kullanılarakbulunabilir. Sistemin transfer fonksiyonu :

5. Zaman düzlemine geçerken gibi bir ifadenin ters Laplace’ı, (veya ) şeklinde bulunur. • Burada işaret, a büyükse hızlı, küçükse yavaş sönümlenir. Bu nedenle a’ nın veya genel kullanımıyla ’nın zaman düzleminde belirleyici bir özelliği vardır. • Genelde transfer fonksiyonları sistem elemanları tarafından belirlenen zaman sabiti, yani τ cinsinden ifade edilir. Burada zaman sabiti τ =RC’dir. • Bu durumda transfer fonksiyonunu G(s) = şeklinde de yazabiliriz.

6. Örnek : Kütle - yay - sönümleme sistemi (Dorf ve Bishop,2005) Çözüm :Her bir kütlenin cisim şemalarını çizerek Newton’un hareket kanunu ile hareket denklemleri elde ederiz.

7. M1ve M2 kütlelerinin cisim şemaları aşağıdaki gibidir. 1. Hareket denklemi 2. Hareket denklemi

8. Denklemleri yeniden düzenlersek; İlk koşullar sıfır kabul edilerek iki denklemin de Laplace dönüşümleri alınırsa Matrissel formda yazarsak;

9. Cramer yöntemiyle V(s)’i çekeriz; bulunur. Benzer şekilde denklemden V2(s)’i çekip, R(s) girişiyle, M2 kütlesinin hızı arasındaki transfer fonksiyonu bulunabilir.

10. DC motorun transfer fonksiyonu(Dorf ve Bishop,2005) DC motorlar, şekilde görüldüğü gibi, verilen elektrik enerjisini, yükün dönel mekanik hareketine dönüştüren işletici elemanlardır.

11. Doğal mıknatısla veya sargılarla (alan sargılarının oluşturduğu elektromıknatısla) oluşturulan manyetik alana birden çok telin sarıldığı (rotor-armatür-endüvi sargıları) dönel bir kütle (rotor) yerleştirirsek, Kutuplara dik olan tellerden akım geçerken en büyük kuvvetle rotoru iterler. Bu kuvvete, bundan sonra döndürme etkisinden dolayı Tork (T, döndürme momenti) diyelim. • Kutupları, dolayısıyla akımın yönünü değiştirerek, ters yönde de aynı hareketi elde edebiliriz. • DC motorlarda manyetik alan doğal bir mıknatısla oluşturulursa değeri sabit kalır. Manyetik alan sargılarına akım verilerek oluşturulursa akımla orantılı olarak değişir.

12. Rotorla stator arasındaki hava boşluğunda oluşan manyetik akı, , alan sargılarından akan akımla (doyuma ulaştığı bölgeye kadar) doğru orantılı olarak değişir. • Motorun döndürme momenti, armatür akımı ve manyetik akıyla doğru orantılıdır. DC motorlar kontrol yöntemi bakımından iki türlü olarak kabul edilebilirler: Alan denetimli ve endüvi (armatür) denetimli motorlar. Doğrusal bir eleman elde etmek için akımlardan birini sabit tutmamız gerekir.

13. Alan denetimli DC motorların transfer fonksiyonu Armatür akımı sabit tutulup ( ia(t)=Ia ) , alan sargılarının akımı ayarlanarak motor denetleniyorsa, bu alan denetimli bir motordur. Döndürme momentinin Laplace gösterimi : Km tüm sabitlerin çarpımından oluşan motor sabitidir.

14. Burada dönel hareket vardır ve her şey tıpkı düzlemsel hareketteki gibi gelişir. Sadece M kütlesinin yerini J eylemsizlik kütlesi, y düzlemsel yer değiştirmesinin yerini θ açısal yer değiştirmesi ve ν hızının yerini ω açısal hızı alır. Yük momenti: Vizkoz sürtünmesi: Eylemsizlik: Üretilen döndürme momenti, vizkoz sürtünmesi ve eylemsizliği yenmek koşuluyla J eylemsizlik kütlesinin harekete geçmesini sağlar. İvme:

15. Sistemi, elektriksel ve mekanik kısma ait zaman sabitleri cinsinden tanımlamak istersek;

16. Alan kontrollü DC motorun blok şema gösterimi

17. Armatür denetimli DC motorların transfer fonksiyonu Alan akımı sabit tutulup ( if(t)=If ) , armatür akımı ayarlanarak motor denetleniyorsa, bu armatür denetimli bir motordur. Döndürme momentinin Laplace gösterimi : Motor burada Va gerilimine zıt bir elektromotor kuvveti üretir;

19. Armatür kontrollü DC motorun blok şema gösterimi(Dorf ve Bishop,2005)

20. Aşağıda tipik bir DC motorun parametre değerleri örnek olarak verilmiştir : (Dorf ve Bishop,2005) Km sabiti verilmemişse, pratikte aşağıdaki formülle yaklaşık bir değer bulunabilir. Burada M rotorun kütlesi, r ise yarıçapıdır.

21. Blok Şeması Modelleri Aşağıda alan denetimli DC motorun θ(s) açısal yer değiştirmesiyle, Vf(s) giriş gerilimi arasındaki ilişki blok diyagramla betimlenmiştir.

22. Çok değişkenli sistemler, birden fazla transfer fonksiyonunun ve dolayısıyla bloğun birbirine bağlanmasıyla elde edilebilirler. Transfer fonksiyonu ilişkileri kullanılarak, çıkış değişkenleri için iki bağımsız denklem yazılabilir.

23. Sistemin blok şema gösterimi:

24. Blok Şema Dönüşümleri(Dorf ve Bishop,2005)

26. Örnek : Blok diyagramın indirgemesi (Dorf ve Bishop,2005) Birden çok döngüden oluşan geri bildirimli bir kontrol sistemini, blok şema dönüştürmeleriyle , girişle çıkış arasındaki transfer fonksiyonunu ifade eden tek bir bloğa indirgeyelim.

28. İşaret Akış Şeması Modelleri İşaret akış şemaları, blok şemalarına alternatif bir gösteriş biçimidir. Toplayıcılar ve düğümler yerine sadece düğümler vardır. Blok şeması içindeki transfer fonksiyonu, iki düğüm (işaret) arasında bir kazançla (transfer fonksiyonu) ifade edilir. Örneğin DC motorun transfer fonksiyonu : Akış şemasının gösteriş biçimi:

29. Aşağıdaki gibi bir denklem takımını ele alalım. Burada girişler r1 ve r2, çıkışlar da x1 ve x2’dir.

30. Denklemi Cramer yöntemiyle çözersek ; Örneğin x1 çıkışı ile r1 girişi arasındaki transfer fonksiyonu

31. Burada determinant olarak ifade ettiğimiz, transfer fonksiyonlarının payda kısmı, yani sistemin karakteristik denklemidir. Sistemin karakteristiği yapısal bir özelliktir ve değişmez. Örneğin G11’i inceleyelim. İşaret akış şemasındaki R1’den X1’e giden ileri yol : P1=1 ve bu yol (düğümleriyle birlikte) tümüyle kaldırıldığında geri kalan döngülerin 1’den çıkarılmasıyla elde edilen birinci kofaktör : Δ1=1-a22 ’dir. G11’in pay kısmı P1Δ1 ’dir. Payda kısmındaki determinant ise yine 1’den önce bağımsız döngülerin çıkarılması, sonra birbirine değmeyen ikili döngülerin eklenmesi şeklindedir.

32. Mason Kazanç Formülü Pijk : xi değişkeninden xj değişkenine giden j. ileri yoldur. Δ : Sistemi temsil eden işaret akış şemasının determinantı, transfer fonksiyonunun payda kısmını oluşturur. L: Döngüleri ifade eder.

33. Δijk = Pijk yolunun kofaktörü : yani Pijk yolu kaldırıldığında geriye kalan döngüler için determinantın hesaplanması • Σk=PijkΔijk : xi’den xj’ye olası k tane yol için ΔijkPijk çarpımları bulunur ve bunların toplamı transfer fonksiyonunun pay kısmını oluşturur.

34. Örnek : Etkileşimli bir sistemin transfer fonksiyonu(Dorf ve Bishop,2005) İki yola sahip olan işaret akış şemasında Y(s)/R(s) transfer fonksiyonunu bulunuz. • Çözüm: • 2 ileri yol var • 1. yol P1=G1G2G3G4 , 2. yol P2=G5G6G7G8 • 4 tane döngü vardır. • L1=G2H2 , L2=G3H3, L3=G6H6, L4=G7H7

35. 1. yolun kofaktörü bulalım. 1. yol, düğümleriyle birlikte kaldırılınca L1 ve L2 de ortadan kalkar. L3 ve L4 kalır. • Benzer şekilde 2. yolun kofaktörü için 2. yol kaldırıldığında geriye L1 ve L2 kalır. Sistemin transfer fonksiyonu :

36. Örnek : Karmaşık bir sistemin transfer fonksiyonu (Dorf ve Bishop,2005) Şekil. İki ileri yola sahip etkileşimli sistem (Dorf ve Bishop,2005) • Çözüm: • İleri yollar P1=G1G2G3G4G5G6 P2=G1G2G7G6 P3=G1G2G3G4G8 • Geri bildirim döngüleri • L1= -G2G3G4G5H2 L2= -G5G6H1 L3= -G8H1 L4= -G7H2G2 L5 = -G4H4 • L6 = -G1G2G3G4G5G6H3L7 = -G1G2G7G6H3 L8= -G1G2G3G4G8H3

37. Kofaktörler : • P1 yolu kaldırıldığında bütün düğümler ortadan kalkar, onlara bağlı döngüler de bozulur ve ortadan kalkarlar. P2 kaldırılınca sadece L5 döngüsü kalır. P3 yoluyla birlikte ortadan kalkan düğümlere bağlı döngüler (burada tümü) bozulur. Sistemin transfer fonksiyonu :

38. Kontrol Sistemlerinin Bilgisayar Analizi • Sistemin başarımı, akla gelebilecek tüm koşullar altında gözlemlenmiş olur. • Sistemin farklı durumlarda nasıl davranabileceğini kestirmek için, gerçek sistemde elde edilmiş birkaç sonuç, benzetim modeli kullanılarak genişletilebilir. • Henüz fikir aşamasında olan geleceğe yönelik sistemler bilgisayar ortamında incelenebilir. • Test aşamasındaki sistemde yapılan denemeler çok daha kısa zamanda tamamlanabilir. • Gerçek deneylere nazaran maliyet düşük olur. • Gerçek hayatta, mevcut zamanda veya dünya koşullarında gerçekleştirilemeyecek olan varsayımsal durumlar da bilgisayar ortamında incelenebilir. • Bir sistemi çözümlemek ve değerlendirmek için başvurabileceğimiz en tehlikesiz ve kullanışlı yöntem bilgisayar modelleme ve benzetimidir.

39. Transfer Fonksiyonu Modellerinin MATLAB ile Analizi • s^3+3s^2+4 polinomunun kökleri roots komutu ile bulunur. Sonuçlar; r = -3.3553 0.1777 + 1.0773i 0.1777 - 1.0773i

40. Sistem transfer fonksiyonu tf komutu ile bulunur; Transfer fonksiyonu payı paydaya bölme, sonucu bölüm ve kalan olarak yazma işlemi değildir. Bir sistemin giriş/çıkış bağıntısını modelleyen sembolik bir gösterim biçimidir. Transfer function: 10 ---------------- s^2 + 2 s + 5 Transfer function: 10 ----- s + 1 Sonuçlar ;

41. Art arda seri bağlı iki sistemin transfer fonksiyonlarının indirgenmesi, series komutuyla ya da “*” çarpım operatörüyle yapılır. Sonuç; Transfer function: 10 ------------------------ s^3 + 3 s^2 + 7 s + 5

42. Paralel bağlı iki sistem bloğunun indirgenmesi parallel komutu ya da “+” toplama operatörüyle yapılır. Sonuç; Transfer function: s^2 + 12 s + 15 ---------------------- s^3 + 3 s^2 + 7 s + 5

43. Geri bildirim döngüsünün indirgenmesi feedback komutu ile yapılır. T=feedback (G,H,işaret);burada işaret, geri bildirim negatif ise -1, pozitif ise +1’dir. işaret belirtilmediği takdirde negatif geri bildirime göre hesaplama yapılır. Yukarıdaki gibi bir sistemde ileri yol G(s)= GD(s)*GDS(s) , geri bildirim H(s), geri bildirimli sistemin transfer fonksiyonu T(s)’dir.

44. Sonuçlar; Transfer function: G= s + 4 ----- s + 5 Transfer function: T= s^2 + 6 s + 5 ------------------------------- s^4 + 7 s^3 + 11 s^2 + 5 s + 4

45. Bir sistemin kutupları ve sıfırları sırasıyla pole ve zero komutlarıyla bulunur. Kutup ve sıfırları s karmaşık düzleminde çizdirmek için ise pzmap komutu kullanılır. Sonuçlar; kutuplar = -1.0000 -1.0000 -1.0000 sifirlar = 0 + 0.4082i 0 - 0.4082i

46. Sistemin Test Girişlerine Yanıtı i) Basamak yanıtı step komutu ile bulunur. step(G,t) komutu G(s) transfer fonksiyonuna birim basamak (1/s ) girişi uygular. Y(S)=G(S)*R(s) yanıtını bulur. Ters Laplace’ını alarak y(t) yanıtını elde eder. t süresi boyunca değerler vererek y(t) yanıtını çizdirir. t bir vektörse (örneğin t=0:0.1:10) tüm t değerleri boyunca, t bir son değerse (örneğin t=10), 0’dan 10’a kadar bilgisayarda daha önceden tanımlanmış (0.00001 gibi) aralıklarla simülasyon yapılır. ii) Dürtü yanıtı da benzer şekilde impulse komutuyla bulunur.

47. Tasarım Uygulamaları Örnek : Elektrikli Tren Motorunun Hız Kontrolü a) Modelleme öncesi hazırlıkların yapılması

48. b) Fiziksel sistemin modellenmesi Modelimizde kullanacağımız toplama elemanı istenen değerle (wR), gerçek değerin (wY ) farkını yani hatayı(e) bulmayı amaçlar; vg =e = wR– wY Sürekli durumda, eğer tasarladığımız sistem başarılı çalışıyorsa bu hata 0 olacaktır. ess=0. Yani wR= wY olmalıdır.

49. Fiziksel sistemdeki fark yükselteci ise bunların gerilim karşılıklarının farkını hesaplar. İstenen wR hızı yerine bunun gerilim karşılığı olan vR sisteme istenen giriş olarak verilir. Çıkıştan ölçülen hız da takometrenin kazancı nedeniyle 0.1 ile çarpılarak takometre gerilimine dönüşüp vt olarak fark yükseltecinin diğer girişine gelir (vt =0.1 wY veya sürekli durumda vt =0.1 wR). Fark yükseltecinin çıkış gerilimi sürekli durumda vg=0 olacağından Fark yükseltecinin genel çıkış denklemi :

50. Güç yükselteci nonlineer bir davranış göstermektedir( ). Transfer fonksiyonu modelini elde edebilmek için çalışma noktası olan ( vg0,vç0 ) civarında doğrusallaştırma yapmak gerekir vg0 =1.5V. Armatür kontrollü DC motorun blok şema gösterimi