Fundamentos de la Geometría Fractal

1. Fundamentos de la Geometría Fractal

2. Benoit Mandelbrot

3. El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino “fractus”,... Mandelbrot “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

4. Representación del conjunto de Mandelbrot

5. 1) Los Fractales son los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la Teoría del Caos. 2) La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza.

6. 3) La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto, quebrado. (esto se asocia con las discontinuidades de funciones matemáticas).

7. 4) La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demás objetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos.

8. 5) Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria. 6) Un objeto fractal es aquél que su dimensión fractal de Hausdorff -Besicovich supera a su dimensión topológica.

9. 7) Un objeto fractal es aquél que posee las siguientes dos características: a) Autosimilitud, b) Dimensión Fractal

10. ANTECEDENTES La geometría fue descubierta en Egipto Fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclídes, en su libro “los elementos”. Arquímedesinventó la forma de medir el área de ciertas figuras limitadas por curvas

11. EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA Geometría analítica El uso de modelos con más de tres dimensiones Geometría Diferencial Geometría Hiperbólica  La geometría fractal

12. El disco hiperbólico de Poincaré

13. Límite circular III, M.C. Escher

14. La geometría fractal Disciplina compleja que integra conceptos de: Geometría euclidiana Geometría analítica Teoría de funciones y series Variable compleja Geometría no euclidiana Topología Procesamiento de imágenes

15. OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS  Conjunto perfecto de Cantor

16. Partimos del intervalo [0,1], que denominamos C0. Obtenemos C1 removiendo el tercio central de C0, de forma que resulta Ck reunión de 2k subintervalos cerrados, cada uno de longitud 3-k. {Ck} es monótona decreciente:

17. OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS Curvade Hilbert Se conectan los centros de los cuadrados, comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho.

18. OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS Copo de nieve de Koch

19. OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS Triángulo de Sierpinski

20. OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS Carpeta de Sierpinski

21. OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS Tetraedro de Sierpinski

22. OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS Esponja de Sierpinski

23. ÁRBOL FRACTAL

24. DIMENSIÓN FRACTAL L: factor de reducción N(L): cantidad de similares

25. DIMENSIÓN FRACTAL La dimensión fractal de un objeto geométrico es D si : ; D= log (N(L))/log(1/L)

26. DIMENSIÓN FRACTAL La dimensióndel conjunto de Cantor D= log(2)/log(3) = 0'6309... La dimensión de la curva de Koch D = log(4)/log(3) = 1'2618...

27. AUTOSIMILITUD

28. (1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación; (2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente; (3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística; (4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica; (5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo. KENNETH FALCONER - 1990

29. CONJUNTO DE MANDELBROT Puntos c en el plano complejo tales que la sucesión recurrente No tiende a infinito

31. ARTE FRACTAL

32. LA REALIDAD VIRTUAL