Zaujímavá matematika

1. Zaujímavá matematika Matematický krúžok Spracovali : Juraj Grigar, Veronika Mullerová, Zuzana Kubíková, Lenka Čecháková, Monika Brunová, Monika Repová - kvinta

2. Vlak • Majme vlak, ktorý tvorí lokomotíva a „n“ vozňov. • Všetky vozne sú rovnaké => všetky vydávajú ten istý zvuk => n-1 vozňov môžeme zanedbať. • Máme teda lokomotívu a 1 vozeň. Vozeň bez lokomotívy by sa však nehýbal a súčasne daný zvuk počuť aj vtedy, keď sa pohybuje samotná lokomotíva bez vozňa => aj posledný vozeň môžeme zanedbať. • Uvažujme teraz o lokomotíve. Čo je to lokomotíva? Je to podvozok a čosi na ňom, označme to čosi N. Ľahko nahliadneme, že pre daný zvuk je N nepodstatné => N môžeme zanedbať. • Zostal nám teda podvozok. Ten sa skladá z x kolies a niečoho nad nimi, to niečo označme X. Je zrejmé, že X je pre daný zvuk nepodstatné => X môžeme zanedbať. Ďalej máme x rovnakých kolies => všetky vydávajú ten istý zvuk => x-1 kolies zanedbáme. • Uvažujme o kolese. Kolmý priemet kolesa je kruh <=> π.r², kde r je polomer kruhu. π je však konštanta rovnaká pri každom kruhu => π zanedbáme. Dostali sme r na druhú, čo je štvorec. Je zrejmé, že štvorec sa po koľajniciach nemôže otáčať potichu => ani vlak nemôže ísť potichu.

3. Pastier a ovca • Pastier pásol ovce. Pocestný, ktorý išiel okolo, sa ho spýtal koľko má oviec. Pastier povedal: „Je ich menej než 500. Keby sme ich postavili do 2-radu,4-radu, 5-radu a 6-radu, zostala by nám vždy jedna ovca. Ak ich postavíme do 7-radu, bude ich presne.“ Z tohto údaja mal pocestný zistiť, koľko mal pastier oviec. • Riešenie : Ak by neostala ani jedna ovca v 2,3,4,5,6-rade išlo by o spoločný násobok týchto čísel. Teda n {2,3,4,5,6}= 60 . Ďalšie násobky sú 120, 180, 240, 300 ... Hľadáme medzi číslami 61, 121, 181, 241, 301 číslo deliteľné siedmimi. Úlohe vyhovuje číslo 301.

4. Dlaždice • Dláždič Hlavatý písal objednávku dlaždíc na vydláždenie štvorcovej siene. Pri písaní objednávky bol tak roztržitý, že omylom namiesto počtu dlaždíc popri jednej stane napísal svoj vek. Tak mu podľa objednávky doviezli o 1111 dlaždíc viac. Zistite z uvedených údajov, ako bol Hlavatý starý? • Riešenie : Označme vek Hlavatého písmenom x, počet dlaždíc na jednej strane štvorca písmenom y. Dostaneme rovnici x2 - y2 = 1111. Číslo 1111 môžeme rozložiť jediným možným spôsobom na 101 * 11. Potom x2 - y2 = (x + y)(x - y) = 101 * 11 ==> x + y = 101; x - y = 11. Riešením sústavy rovníc dostaneme x = 56, y = 45. Takže Hlavatý mal 56 rokov, počet dlaždíc na jednej strane štvorca je 45.

5. Achilleus a korytnačka • Korytnačka sa preteká s Achilleom a má náskok 1 000m. Predpokladajme, že Achilleus beží 10-krát rýchlejšie ako korytnačka. Keď sa preteky začnú a Achilleus prebehne 1 000m, korytnačka bude stále o 100m pred ním. Potom Achilleus prebehne ďalších 100m, no korytnačka bude mať náskok 10m. • Zenón tvrdil, že Achilleus bude neustále korytnačku dobiehať, ale nikdy ju nedobehne, pretože kým prekoná vzdialenosť, ktorá ich v danom okamihu delí, korytnačka vždy postúpi o kúsok ďalej. Vyhrá preteky naozaj korytnačka? Ak ju Achilleus dobehne, po koľkých metroch sa to stane? • Riešenie : Achilleus by dobehol korytnačku po 1111m. Ak sa bude dráha pretekov rovnať tejto vzdialenosti, nabehnú spoločne. Ak bude dráha kratšia ako 1111m, vyhrá korytnačka, v opačnom prípade vyhrá Achilleus.

6. Matematický večer • Je krásny vlahý podvečer a matematik s matematičkou sedia spolu na lavičke v parku, keď vtom sa ona opýta : • „Myslíš na to isté , na čo myslím ja?“ • „Áno drahá.“ • „...A koľko ti to vyšlo?!“

7. Matematik von Neumann • O matematikovi von Neumannovi sa traduje, že patril k notorickým sklerotikom. Preto keď sa raz mali von Neumannovi sťahovať, pripravovala ho na to manželka už mesiac dopredu. Prišiel ten deň, von Neumann prišiel z matematického ústavu ku svojmu bývalému bydlisku a po chvíľke mu došlo, že tam už nebýva. Zo svojej niekoľkobytovej pamäti vylovil len názov ulice, kam sa presťahoval. Ide tak touto ulicou a márne spomína na číslo svojho nového domu, keď vtom oproti nemu ide malé dievčatko. Zúfalý Neumann sa jej preto opýta: • „Dievčatko, nevieš kde bývajú von Neumannovi?“ • „Viem ocko, práve ti idem naproti:“

8. Rozdiely • Viete, aký je rozdiel medzi inžinierom, fyzikom a matematikom? Predstavte si situáciu, že spíte v hoteli a vo vašej izbe začne horieť. • Inžinier : Prebudí sa, zistí, že v izbe horí, vezme vedro, napustí ho vodou, uhasí oheň a ide spať. • Fyzik : Prebudí sa, zistí, že horí, vypočíta si koľko bude potrebovať vody na uhasenie požiaru, zistí, že to bude 4,3 litra, vezme vedro, napustí, napustí doňho 4.3 litra, uhasí oheň a ide spať. • Matematik : Prebudí sa, zistí, že horí, pôjde k vodovodnému kohútiku, pustí vodu, zistí, že riešenie existuje, zavrie vodu a ide spať.

9. Motto • „ Matematika je umenie dávať rovnaké mená rôznym veciam“ • Jules Henri Poincare (francúzsky matematik)

10. Násobenie • Odpovede na otázku koľko je 2.2 • študent 1. ročníka :odpovie 4, bez premýšľania • študent 2. ročníka :4, presne po chvíľke premýšľania • študent 3. ročníka :vezme kalkulačku, stlačí niekoľko tlačidiel a povie 4 • študent 4. ročníka :napíše program zo sto riadkami, spustí a povie 4.000 • študent 5. ročníka :navrhne nový programovací jazyk, ktorý je ako keby stvorený na takéto úlohy, napíše program, spustí ho a povie 4,ale pochybujem, že som včera v noci odladil všetky chyby. • študent pred štátnicami :hovorí s plačom „Prečo si myslíte, že musím poznať všetky tie matematické konštanty naspamäť !!“

11. Otázky • Kto vyslovil vetu „c2 = a2+b2 “ • Jednotka dĺžky • Čo znamená znak „A U B“ • Nepriamy dôkaz, pri ktorom predpokladáme, že platí negácia pôvodného výroku • Ako sa nazýva zložený výrok vytvorený spojkou „...alebo...“ • Objaviteľ špeciálnej teórie relativity • Vzdialenosť čísla od nuly je absolútna ... • Názov člena, ktorým násobíme • Ako nazývame výrok „...an...“ • .....7, 8, ?, 10.... • Súbor rozumových schopností, duševných vyspelostí, ktorá sa prejavuje najmä obratnosťou a chápavosťou • Zoskupenie prvkov s rovnakou vlastnosťou • Veta, o ktorej má význam uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá • Grécky matematik, fyzik, mechanik a vynálezca

12. 1 P Y T A G O R A S 2 M E T E R 3 Z J E D N O T E N I E 4 S P O R 5A L T E R N A T Í V A 6 E I N S T E I N 7 H O D N O T A 8 Č I N I T E Ľ 9 M O C N I N A 10 D E V Ä Ť 1 I N T E L I G E N C I A 2 M N O Ž I N A 3 V Ý R O K 4 A R C H I M E D E S

13. Ďakujeme za pozornosť