SUCESOS

1. SUCESOS TEMA 14.7 Apuntes de Matemáticas 2º ESO

2. Experimentos deterministas • EXPERIMENTOS DETERMINISTAS • Hay muchos experimentos en los cuales, antes de que se produzcan, se puede predecir el resultado de los sucesos o fenómenos. • Este tipo de experimentos se llaman deterministas pues su resultado está determinado con anterioridad a su realización. • Ejemplos: • 1.- Si se suelta una piedra desde una altura cualquiera siempre caerá hacia el suelo. • 2.- Si se mezclan Cloro y Sodio siempre el resultado será la sal común. • 3.- Si un alumno sabe 5 preguntas de 10 posibles y el profesor pone en un examen las diez, el alumno siempre aprobará. • 4.- Si extraemos (aparentemente al azar) 31 cartas de las 40, de una baraja española, siempre habremos sacado algún oro. Apuntes de Matemáticas 2º ESO

3. Experimentos aleatorios • EXPERIMENTOS ALEATORIOS O DE AZAR • Hay experimentos que, al realizarse repetidamente en las mismas condiciones, no es posible predecir el resultado. Dependen del azar y se les llama sucesos o fenómenos aleatorios. • El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama ESPACIO MUESTRAL y se designa por E. • Ejemplos: • Lanzamiento de una moneda al aire. E={c, x} • Lanzamiento de un dado al aire. E={1, 2, 3, 4, 5, 6} • Extraer una carta de una baraja. E={AsB, 2B, 3B, …, RO} • Extraer una bola en un sorteo de lotería. E={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} • Familias con dos hijos. E={VV,VM,MV,MM} Apuntes de Matemáticas 2º ESO

4. Concepto de probabilidad • INICIACIÓN AL CONCEPTO DE PROBABILIDAD • La probabilidad estudia los experimentos aleatorios o de azar. • El cálculo de probabilidades trata de medir, cada vez con mayor grado de certeza, hasta que punto puede suceder un fenómeno. • Las expresiones “seguro, casi seguro, posible, bastante posible, casi imposible o imposible”, al referirnos a que se pueda realizar un suceso toman un carácter numérico, matemático, gracias a lo cual podemos “predecir” el resultado. • Ejemplos: • 1.- Una compañía de seguros puede predecir el número de accidentes que tendrá el próximo año y así ajustar el precio de cada seguro. • 2.- Una fabrica puede predecir el número de coches que va a vender el próximo año, y así evitar un stock innecesario y ajustar el precio final. • 3.- Un partido político puede predecir matemáticamente el número de votos que va a obtener y así ajustar los gastos de su campaña electoral. Apuntes de Matemáticas 2º ESO

5. TIPOS DE SUCESOS • Suceso ELEMENTAL • Es aquel formado por un único punto muestral, es decir por un único resultado del experimento. • Ejemplo • Al lanzar un dado: • Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, y {6} • Suceso COMPUESTO • Es el que está formado por dos o más sucesos elementales. • Ejemplo • Al lanzar un dado dos veces: • Sucesos compuestos: {1,1}, {1,2}, {1,3}, …., {6,5}, y {6,6} • Suceso SEGURO • Es el que está formado por todos los resultados posibles. • Ejemplo • Al lanzar un dado: • Sea A={1, 2, 3, 4, 5, 6} Apuntes de Matemáticas 2º ESO

6. Suceso IMPOSIBLE • Es aquel que nunca se verifica. Se representa por ø. • Ejemplo • Al lanzar un dado: • Sea el suceso A={7} • Sucesos IGUALES • Son los que están formados por los mismos puntos muestrales. • Ejemplo • Al lanzar dos dados iguales, cuando el resultado es el mismo. • No puede hablarse de sucesos iguales cuando los resultados sean iguales pero un dado sea exagonal y otro tetraédrico, • E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y E’ = {1, 2, 3, 4} • Suceso CONTRARIO • Es el que se verifica cuando no se realiza el suceso A. • Se expresa de este modo: Ā • Ejemplo • Al lanzar un dado que el resultado NO sea un número primo. • Sea A={1, 2, 3, 5} y por tanto Ā = {4, 6} Apuntes de Matemáticas 2º ESO

7. Sucesos COMPATIBLES • Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos compatibles cuando se pueden dar a la vez. • Ejemplo_1 • Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 6” y • sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par”. • Ejemplo_2 • Sea A el suceso “Al extraer una carta sea una copa” y • sea B el suceso “Al extraer una carta sea un rey”. • Sucesos INCOMPATIBLES • Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos incompatibles cuando no se pueden dar a la vez. • Ejemplo_1 • Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 5” y • sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par” Apuntes de Matemáticas 2º ESO

8. Frecuencias • Experimento 1: Lanzamos una moneda al aire 100 veces. • La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite dicho suceso: • f(Cara)=f(C)= 65 • f(Cruz)=f(X)= 35 • La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se repite el experimento: • h(Cara)=h(C)= f(C)/N =65/100 = 0,65 • h(Cruz)=h(X)= f(X)/N = 35/100 =0,35 • Es muy conveniente expresar la frecuencia relativa en forma decimal. Apuntes de Matemáticas 2º ESO

9. Frecuencias • Experimento 2: Continuamos tirando una moneda al aire hasta 1000 veces. • Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener cara” y “Obtener cruz” resultan: • f(Cara)=f(C)= 475 • f(Cruz)=f(X)= 525 • Las frecuencias relativas de ambos sucesos son: • h(Cara)=h(C)= f(C)/N = 475/1000 = • = 0,475 • h(Cruz)=h(X)= f(X)/N =525/1000 = • = 0,525 • Observar que las frecuencias relativas tienden a igualarse. Apuntes de Matemáticas 2º ESO

10. Frecuencias • Experimento 3: Continuamos tirando una moneda al aire hasta un millón de veces. • Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener cara” y “Obtener cruz” resultan: • f(Cara)=f(C)=498 321 • f(Cruz)=f(X)= 501 679 • Las frecuencias relativas de ambos sucesos son: • h(Cara)=h(C)= 0,498321 • h(Cruz)=h(X)= 0,501679 • Observar que las frecuencias relativas son casi iguales. Apuntes de Matemáticas 2º ESO

11. Ley del azar • La Ley de los grandes números o Ley del azar dice: La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en un número cuando el número de repeticiones es suficientemente grande. • Ese número recibe el nombre de probabilidad de dicho suceso. • Y se denota por p(A) • En el ejemplo de la moneda: • p(Cara)=p(C )=0,5 = 1 / 2 • p(Cruz)=p(X )=0,5 = 1 / 2 • En otras palabras: Aunque no sepamos el resultado de una tirada concreta, si repetimos un número de veces muy elevado, el número de caras y el de cruces resultará prácticamente el mismo. • La probabilidad de un suceso, p(A), es siempre un número comprendido entre 0 y 1. • La probabilidad del suceso seguro es siempre 1. • La probabilidad del suceso imposible es siempre 0. Apuntes de Matemáticas 2º ESO

12. Frecuencias • Experimento 4: Lanzamos un dado al aire 100 veces. • La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite dicho suceso: • f(5)= 23 • f(6)= 12 • La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se repite el experimento: • h(5)= f(5)/N =23/100 = 0,23 • h(6)= f(6)/N = 12/100 =0,12 • Observar que las frecuencias del “5” son casi el doble que del “6”. Apuntes de Matemáticas 2º ESO

13. Frecuencias • Experimento 5: Seguimos lanzando el mismo dado hasta 1000 veces. • Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener un 5” y “Obtener un 6” resultan: • f(5)= 103 • f(6)= 120 • Las frecuencias relativas valdrán: • h(5)= f(5)/N = 103/1000 = 0,103 • h(6)= f(6)/N = 120/1000 = 0,120 • Observar que las frecuencias del “5” son ahora mayores que las del “6”. Apuntes de Matemáticas 2º ESO

14. Frecuencias • Experimento 6: Continuamos tirando un dado al aire hasta un millón de veces. • Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener 5” y “Obtener 6” resultan: • f(5) = 168 498 • f(6) = 165 679 • Las frecuencias relativas de ambos sucesos son: • h(5) = 0,168498 • h(6) = 0,165679 • Observar que las frecuencias relativas son casi iguales. Apuntes de Matemáticas 2º ESO

15. Ley del azar • La Ley de los grandes números o Ley del azar dice: La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en un número cuando el número de repeticiones es suficientemente grande. • Ese número recibe el nombre de probabilidad de dicho suceso. • Y se denota por p(A) • En el ejemplo del dado: • p(1) = 0,166666 = 1 / 6 • p(2) = 0,166666 = 1 / 6 • p(3) = 0,166666 = 1 / 6 • p(4) = 0,166666 = 1 / 6 • p(5) = 0,166666 = 1 / 6 • p(6) = 0,166666 = 1 / 6 • En otras palabras: Aunque no sepamos el resultado de una tirada concreta, si repetimos un número de veces muy elevado, el número de unos, doses, treses, cuatros, cincos y seises resultará prácticamente el mismo. Apuntes de Matemáticas 2º ESO