Escolha sob Incerteza

1. Escolha sob Incerteza Prof. João Manoel Pinho de Mello Depto. de Economia, PUC-Rio jmpm@econ.puc-rio.br Agosto, 2008

2. Referência: capítulo 12, Varian

3. Consumo contingente • O consumo não é certo • Dependendo do estado da natureza (da contingência), o consumo é diferente • O consumidor enfrenta uma distribuição de probabilidade • Teoria do consumidor normal: • Consumidores escolhem cestas de bens • Teoria do Escolha sob Incerteza: • Consumidores escolhem loterias, ou distribuições de probabilidade

4. Os conceitos • Loterias • Utilidade esperada • Atitude frente ao risco • Mensuração de aversão ao risco

5. Loterias

6. Exemplo • Você tem R$10.000 • Sai cara (com probabilidade ½) você perde R$ 5.000 • Sai coroa (com probabilidade ½) você não perde os R$5.000 • Se você pagar R$1.000, você diminui a chance de coroa para ⅛ • Loteria 1: (10.000 e ½ ;5.000 e ½) • Loteria 2: (8.000 e ⅞;3.000 e ⅛) • Qual você prefere?

7. Jargão • Loteria = distribuição de probabilidade • Estados da natureza • Cara • Coroa • Consumo contingente • Na loteria 1, o consumo é 10,000 contingente a sair cara • Na loteria 2, o consumo é 5,000 contingente a sair coroa

8. Outro exemplo • Você tem R$35.000 de patrimônio. 10.000estão na forma de um carro • Com probabilidade p  (0,1), o carro é roubado • Mas você pode fazer um seguro, pagando  reais por cada real segurado • Seja K a quantidade segurada (valor do carro menos a franquia) • Loteria 1 (comprando K de seguro) • (25.000 + K - K, p; 35.000 – K, 1 - p) • Loteria 2 (sem seguro) • (25.000, p; 35.000 , 1 - p)

9. Outro exemplo • Estados da natureza • Consumo contingentes

10. Seguro e transferência de consumo • Voltando ao exemplo anterior. • Você pode comprar unidades de consumo, por  por unidade de seguro comprado • O seguro permite transferir consumo do estado da natureza “não roubo” para o estado da natureza “roubo” • Seja CRo consumo quando há roubo e CNRo consumo quando não há roubo • Seja K a quantidade de seguro comprada

11. Seguro e transferência de consumo • Comprando seguro • (CR = 25.000 + K –K; CNR = 35.000 –K) • Sem comprar seguro (dotação inicial) • (CR = 25.000; CNR = 35.000) CNR Vender seguro Dotação inicial 35 Cesta de compra K de seguro 35 - K 35 – 10.000 Seguro completo, sem franquia Segurar mais do que o valor do carro 35 – 10.000 25 + (1 - )K 25 CR

12. Seguro e transferência de consumo • Seja θ a inclinação da linha • Pense em consumo no estado não roubo (CNR) e no estado roubo (CNR) como dois bens quaisquer. • Pense em como o preço relativo

13. Seguro e transferência de consumo • Aí temos uma restrição orçamentária igual ao que tínhamos na Teoria do Consumidor normal • Nos falta • Uma teoria razoável de preferência a respeito de diferentes teorias • Colocar as curvas de indiferença • Dizer algo sobre como este preço relativo aparece

14. Colocar as curvas de indiferença CNR CR

15. Teoria da Utilidade Esperada

16. Preferência a respeito de loterias • Missão: “colocar as curvas de indiferença” • Em Teoria do Consumidor normal, geralmente pensávamos que preferências razoáveis seriam: • Crescentes nas quantidades de cada bem • Mas à taxas decrescentes • Agora vamos impor mais estrutura • Quer dizer: exigir mais coisas de uma preferência razoável

17. Utilidade esperada: idéias gerais • A cesta de bens é o consumo contingente em cada estado da natureza: (C1, C2) • Probabilidades dos estados da natureza: π1 e π2, que somam 1 • Gostaríamos que nossa teoria (modelo) para escolha sob incerteza tivesse as seguintes características: • Eu valorizo mais consumo em estados mais prováveis • Eu gostaria de muito mais consumo em um estado improvável para abrir mão de um pouco de consumo em um estado provável • Minha atitude frente ao risco seja facilmente caracterizável a partir de minhas preferências

18. Preferências sobre loterias: o modelo geral • Dois estados da natureza, mutuamente exclusivos e exaustivos: 1 e 2 • Consumo contingente: (C1, C2) • Probabilidades: π1 e π2, π1 + π2 = 1 • Utilidade, formato geral: Consumo contingente, os bens probabilidades, os parâmetros

19. Exemplos de preferências

20. Utilidade esperada • Preferências sobre loterias estão na forma de utilidade esperada se são a soma ponderada (pelas probabilidades) da utilidade do consumo contingente, que é dada pela função u(•) • Também chamada de utilidade de von Neumann-Morgenstern • A função u(•) é chamada de utilidade de Bernoulli

21. Utilidade esperada: forma versus representação • Preferências representam preferências de utilidade esperada se podem ser transformadas para a forma de utilidade esperada através de transformações monótonas Mas representa preferências de utilidade esperada porque pode ser transformada na forma de utilidade esperada por transformações monótonas (em realidade só uma é necessária) está na forma de utilidade esperada não está na forma de utilidade esperada

22. Utilidade esperada: forma versus representação • Exemplos: Representa utilidade esperada? Representa utilidade esperada? Está na forma de utilidade esperada? Está na forma de utilidade esperada?

23. Utilidade esperada: bom modelo? • Para estar na forma de utilidade esperada é crucial que • Seja separável nos consumos nos estados da natureza • Utilidade do consumo se chove não depende da quantidade de consumo se faz sol • O que não ocorreu não importa • Chove, faz sol ou vai para SP no fim de semana • Café, açúcar e água • Chama-se isto de suposição de independência • Que a função useja a mesma • Suponha eventos equiprováveis • A utilidade de consumir se faz sol é igual à utilidade de consumir se chove • Utilidade dependente do estado

24. Independência • Três estados da natureza: 1, 2 e 3. A escolha entre o bem 1 (c1) e o bem 2 (c2) é dada pela Taxa Marginal de Substituição: • Considere:

25. Independência Não depende de c3

26. Atitude frente ao risco

27. Você gosta de risco? • Eu tenho uma moeda justa que: • Se sai cara, você ganha 20.000 • Se sai coroa: você não ganha nada • Quanto você estaria disposto a pagar pelo direito de jogar esta moeda? • O que você prefere? • Uma moeda que paga 0 com probabilidade ½, e 20.000 reais com probabilidade ½ • Uma moeda que paga 5.000 com probabilidade ½, e 15.000 reais com probabilidade ½ • Uma moeda que paga 8.000 com probabilidade ½, e 10.000 reais com probabilidade ½

28. Utilidade da média versus média das utilidades • Loteria: 0 com probabilidade ½, 10.000 com probabilidade ½ • Suponha que: Então o agente é dito avesso ao risco Utilidade da média, ou utilidade esperada de uma loteria que paga 5.000 com certeza Utilidade média (ou esperada)

29. Aversão ao risco Utils u(·) u(5.000) = utilidade da média Função de Bernoulli ½u(0) + ½u(10.000) Utilidade média $ 0 10.000 5.000

30. Amor ao risco Utils u(·) Utilidade média Função de Bernoulli ½u(0) + ½u(10.000) u(5.000) = utilidade da média $ 0 10.000 5.000

31. Neutralidade ao risco Utils u(·) Função de Bernoulli u(5.000) = ½u(0) + ½u(10.000) $ 0 10.000 5.000

32. Resumo • Se a utilidade de Bernoulli u(·) é côncava (u’’ < 0), então o agente é avesso ao risco • Exemplo u(c) = ln(c), u(c) = c½ • Se a utilidade de Bernoulli u(·) é convexa (u’’ > 0), então o agente é amante do risco • Exemplo u(c) = exp(c),u(c) = c2 • Se a utilidade de Bernoulli u(·) é linear (u’’ = 0), então o agente é neutro ao risco • Exemplo u(c) = c,u(c) = 10+34c

33. Exemplo: demanda por seguro • Exemplo anterior: • 35.000 patrimônio, 10.000 em um carro, que é roubado com probabilidade p • Pode comprar seguro por γ por unidade segurada • Problema: quanto segurar (K)

34. Exemplo: demanda por seguro • CPO • Suponha que o seguro seja “atuarialmente” justo, ou seja, p = γ. Isto implica que a CPO se reduz a

35. Exemplo: demanda por seguro • Suponha que u’’ < 0 (agente avesso ao risco) • Então u’ é decrescente • Para que é preciso que 25 + (1 – γ)K = 35 – γK • K = 10 • O que isto significa?

36. Exemplo: demanda por seguro • Checando a condição de 2ª ordem • O que ocorreria se u´´ > 0, ou seja, se o agente é amante do risco?

37. Mensuração da aversão ao risco

38. Aversão ao risco • Na maioria esmagadora das situações imaginamos que os agentes não gostam de risco • Geralmente os agentes “neutros” ao risco o são porque em realidade não enfrentam risco • Seguradoras e a Lei dos Grandes Números

39. Quanto? • u’’ nos diz que o agente é avesso ao risco • Mas quanto? • Curvatura de u • Os coeficientes de aversão relativa e absoluta ao risco • Equivalente em certeza • Prêmio de probabilidade

40. Equivalente em certeza • Suponha que você tem uma loteria que paga: • K1 com probabilidade p • K2com probabilidade 1 – p • K1 > K2 > 0 • O equivalente em certeza é

41. Equivalente em certeza • Se EC < pK1 + (1 – p)K2, então o agente é avesso ao risco • Se dois agentes i e j têm equivalentes em certeza tais que ECi < ECj diz-se que i é mais avesso ao risco que j • O equivalente em certeza é quanto você está disposto a abrir mão de média para evitar o risco • A idéia pode ser generalizada para qualquer loteria L

42. Equivalente em certeza Utils u(·) Função de Bernoulli ½u(0) + ½u(10.000) $ EC 0 10.000 5.000 Equivalente em certeza

43. Curvatura Utils u(·) u(·) ½u(0) + ½u(10.000) Equivalente em certeza $ EC EC 0 10.000 5.000 Equivalente em certeza

44. O coeficiente de aversão absoluta ao risco • Defina: • ρa é chamado de coeficiente de aversão absoluta ao risco • A primeira derivada no denominador serve para tornar o índice insensível a unidades

45. O coeficiente de aversão absoluta ao risco • Se u é tal que ρr(w)é constante em w então, diz-se que o agente tem aversão absoluta ao risco constante • Sua atitude frente ao risco de uma loteria que ele perde 100 da riqueza (w) com probabilidade e ganha 100 com probabilidade ½ não muda com w • Exemplo:u(w) = exp(-ηw)

46. O coeficiente de aversão relativa ao risco • Defina: • ρr é chamado de coeficiente de aversão relativa ao risco • Como no caso de ρa, a divisão pela primeira derivada faz com que o índice seja insensível à unidade de mensuração de w • Exemplo: u(w) = c1-σ/(1-σ)

47. O coeficiente de aversão relativa ao risco • Se u é tal que ρr(w)é constante em w então, diz-se que o agente tem aversão relativa ao risco constante • Sua atitude frente ao risco de uma loteria que ele perde 10% da riqueza (w) com probabilidade e ganha 10% com probabilidade ½ não muda com w