Analyse statistique des données expérimentales

1. Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor

2. Plan • Introduction : incertitudes sur les données • Probabilités • Distributions de probabilités • Incertitudes, propagation des incertitudes • Ajustement de courbes

3. Mesure et incertitude • Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie • La science de la mesure consiste à • mesurer à la meilleure précision possible • d’évaluer l’incertitude sur la mesure

4. Erreur vs incertitude • Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue) • Incertitude : écart probable • Les barres d’incertitude contiennent probablement la valeur vraie • Attention de ne pas sous-évaluer l’incertitude • Mieux vaut une mesure présentant une grande incertitude mais qui contienne la valeur vraie que l’inverse

5. Mesure et incertitude • Chiffres significatifs et mesure • Quelle est la signification de : • Albert a 22 ans • J’ai parcouru 100 kilomètres à vélo • Le LEP mesure 26,66 km de circonférence • Ce pointeur laser éclaire à 50 m • This laser pointer shines to 54,68 yards

6. Mesure et incertitude • Quelle est la signification de: • G = (6,67428 ± 0,00067) × 10-11 m3 kg-1s-2 • me= (9,10938215 × 10-31 kg) ± 50 ppb • www.physics.nist.gov/constants

7. Chiffres significatifs a = 7,35678 ± 0,345 (utilisation incorrecte) a = 7,3 ± 0,3 a = 7,356 ± 0,04 a = 7,3568 ± 0,005 a = 7,35678 ± 0,0007 On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif

8. Chiffres significatifs (exemple) • Soit a = 3 m et b = 7 m • a/b = 0,428571 ... ? • a/b = 0,4

9. Incertitude • Erreur de mesure • Erreur systématique • Incertitude aléatoire • Incertitude sur une quantité dérivée • Propagation des incertitudes • Distribution de probabilité

10. Erreur de mesure • Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres: • La précision ~ ½ mm • Mesure de tension avec un multimètre: • La précision dépend de l’appareil • L’appareil est très précis mais la tension varie

11. Erreur systématique • Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm • Mais la règle est fausse de 10% ! • Vous avez mesuré une tension à 0,01% • Mais l’appareil est décalibré de 5% • Vous avez fait une mesure avec grand soin • Mais un des appareils était débranché

12. Incertitude aléatoire (statistique) • Vous répétez une mesure 100 fois • Les résultats se ressemblent mais ...

13. Incertitude • L’ensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité • L’incertitude représente un intervalle à l’intérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement • L’incertitude = 1 déviation standard

14. Incertitude Quelle est la signification de: • G = (6,67428 ± 0,00067) × 10-11 m3 kg-1s-2 • me= (9,10938215 × 10-31 kg) ± 50 ppb • L’incertitude = une déviation standard • La probabilité que la vraie valeur soit dans cet intervalle est de 68%

15. Exemple de mesures • Fréquence d’un pendule (~ 1 s) • Chronomètre très précis (~ 1s par an) • À quelle précision puis-je mesurer la période ? • quelques dixièmes de seconde • L’histogramme présente une fluctuation • Je peux moyenner sur plusieurs périodes

16. Exemple de mesures • Fréquence de ma respiration • Même précision de mesure que précédemment • L’histogramme est plus large • Le phénomène présente plus de variabilité que la précision de la mesure • Je peux moyenner

17. Est-ce la meilleure façon de mesurer la période ?

18. Non • Je compte 100 périodes ~ 100 s ± 0,2 s • Plus facile et plus précis qu’avec plusieurs mesures • 100 mesures de ~2 s à ± 0,2 s donnent

19. Incertitude relative ou fractionnaire • G = (6,67428 ± 0,00067) × 10-11 m3 kg-1s-2 • G = 6,67428 × 10-11 m3 kg-1s-2 • dG = 0,00067 × 10-11 m3 kg-1s-2 • dG/G = 0,00067/ 6,67428 = 10-4 = 0,01 % • me= (9,10938215 × 10-31 kg) ± 50 ppb • d me/ me = 5 × 10-8 • d me= 4,6 × 10-38 kg

20. Propagation des incertitudesAdditions et soustractions • a = 9 ± 3 a entre 6 et 12 • b = 7 ± 2 b entre 5 et 9 • s = a + b = 16 ± 5 car s entre 11 et 21 • d = a - b = 2 ± 5 car d entre -3 et 7

21. Propagation des incertitudesProduits et quotients • a = 29 ± 3 a entre 26 et 32 • b = 37 ± 2 b entre 35 et 39 • ab = 1073 et est entre 910 et 1248

22. Propagation d’incertitudes pour une somme • Soit 2 mesures x ± dx et y ± dy • z = x + y dz = dx + dy (provisoire) • La règle est provisoire car on exagère un peu • x ± dx contient ~68% • y ± dy contient ~68% • z ± dz contient ~90%, ce qui surévalue dz

23. Propagation d’incertitudes pour un produit • a = 29 ± 3 • b = 37 ± 2 • z = ab = 1073 ± 169

24. Propagation d’incertitudes pour un quotient • z=a/b On trouve le même résultat : • (règle provisoire)

25. Ajouter ou soustraire un nombre exact ne change pas l’incertitude absolue • a = 7,3 ± 0,2 • b = 4 • a + b = 11,3 ± 0,2 • Multiplier ou diviser par un nombre exact ne change pas l’incertitude relative • 4 x (7,3 ± 0,2) = 29,2 ± 0,8

26. Puissance • et on additionne les incertitudes relatives • a une incertitude 4 fois celle de a • ça ressemble à une dérivée

27. Règle générale (ou presque)

28. Incertitudes indépendantes • z = x + y • dz = dx + dy surestime l’incertitude sur z si les dx et dy sont indépendants • l’erreur sur x a autant de chance d’être + ou - • l’erreur sur y a autant de chance d’être + ou -

29. Propagation d’incertitudes

30. Incertitudes indépendantes • x et y sont des variables indépendantes • Et dx et dy sont des erreurs indépendantes • Leurs effets s’additionnent quadratiquement

31. Incertitudes indépendantes pour des incertitudes indépendantes

32. Propagation d’erreurs (sans corrélations)

33. ProbabilitésetStatistiques

34. Probabilité • Probabilité qu’un événement X se produise Où N = nombre d’essais

35. Probabilité • On lance un dé • 6 résultats possibles • Chaque résultat a un pi = 1/6 Normalisation

36. Complément • p = la probabilité que X se produise • 1 - p = la probabilité que X ne se produise pas • q = 1 - p est le complément de p

37. Calcul de la probabilité • 1) Calculez le nombre total de combinaisons N,supposées équiprobables • 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S • 3) p = S/N

38. Calcul de probabilité • Probabilité de tirer 3 avec 1 dé • 1) N = 6 possibilités • 2) S = 1 seule bonne combinaison • 3) p = 1/6

39. Calcul de probabilité • Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés • 1) N = 6 x 6 = 36 possibilités • 2) S = 3 (1,3) (2,2) (3,1) • 3) p = 3/36 = 1/12

40. Calcul de probabilité • Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés • 1) N = 36 • 2) S = 6 (énumérez les) • 3) p = 6/36 = 1/6

41. Distribution de probabilité • Indique la probabilité de succès pour chaque type d’événement • Se présente sous forme graphique

42. Distribution pour 1 dé

43. Somme de 2 dés

44. Distributions • Propriétés des distributions • Moyenne, mode, médiane • Valeur attendue • Moments • Distributions de probabilité particulières • Binôme, Gauss, Poisson, ...

45. 2 types de distributions • Distributions discrètes • Distributions continues

46. Distributions discrètes (comme on a déjà vu) • P(xi) > 0 pour des xidiscrets • P(xi) = 0 partout ailleurs

47. Somme de 2 dés

48. Distributions continues • Le nombre de résultats permis est  • Chaque résultat a une probabilité = 0 • On définit la densité de probabilité f(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre x et x + dx Normalisation:

49. Distribution continue

50. Mode • Valeur la plus probable = 7 pour la somme de 2 dés Non défini pour un dé Non défini pour pile ou face