Classe II E a.s. 2012-2013 Liceo Scientifico L. da Vinci Pescara

1. Classe II E a.s. 2012-2013 Liceo Scientifico L. da Vinci Pescara TRIANGOLO AUREO PENTAGONO AUREO DECAGONO AUREO ELEONORA SANTORO PAOLO ROMANO ROBERTA PROFENNA

2. TRIANGOLO AUREO Per costruire un triangolo aureo su un segmento dato AB, si può procedere nel seguente modo: Tracciare una perpendicolare passante per uno dei due estremi, in questo caso B, e riportarvi il punto C a una distanza pari alla metà di AB; Con centro in C, si riporta la distanza da questo all'altro estremo del segmento, CA, individuando il punto D; Con centro in B si riporta la lunghezza totale trovata, BD, sulla mediana del segmento. La spiegazione è rapida; innanzitutto si tratta di trovare un lato che sia in rapporto aureo con la base data e si riporta una metà di questa ½, a cui si aggiunge l'ipotenusa del triangolo CAB, calcolabile per mezzo del teorema di Pitagora. Ovviamente il rettangolo ABEG è il rettangolo aureo.

4. PENTAGONO AUREO Costruzione del pentagono aureo: Circonferenza e costruzione del pentagono regolare; Costruzione dei triangoli all’interno del pentagono; Individuazione del punto c; L’ampiezza degli angoli interni di un pentagono regolare è 108°. FGH è un triangolo aureo e quindi HF è congruente alla sezione aurea di HG. IN UN PENTAGONO REGOLARE, IL LATO E’ CONGRUENTE ALLA SEZIONE AUREA DELLE DIAGONALI. Anche il triangolo CGI è aureo, da ciò si deduce che IC è congruente alla sezione di CG. Ma CH è congruente a IC, quindi possiamo anche dire che CH è congruente alla sezione aurea di CG. Con questo possiamo affermare che in un pentagono regolare, due diagonali si dividono in segmenti, tali che il minore è congruente alla sezione aurea del maggiore. Nel pentagono regolare è inscrivibile un triangolo aureo cui i lati obliqui corrispondono alle diagonali e la base al lato; il resto della figura viene completata da altri due triangoli, anch'essi isosceli e di proporzioni auree ma invertite nelle parti, detti gnomoni aurei proprio perché figure di completamento del pentagono.

6. DECAGONO Decagono è un poligono con dieci lati e dieci angoli.Decagono regolare è un decagono con tutti i lati e gli angoli uguali; ciascun angolo ha ampiezza di 144° e ogni lato è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta al decagono stesso. Sia AB il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza di centro O; dimostriamo che AB è la parte aurea del raggio OB.L’angolo AOB è di 36° essendo la decima parte di un angolo giro. Poiché il triangolo AOB è isoscele ed essendo il suo angolo al vertice di 36°, esso avrà gli angoli alla base di 72°.Tracciata la bisettrice AP dell’angolo OAB, si ottiene il triangolo ABP: in esso l’angolo B è di 72°, l’angolo BAP di 36° e quindi l’angolo APB è di 72°; allora il triangolo risulta essere isoscele e AB = AP.Anche il triangolo AOP è isoscele avendo gli angoli in A e in O di 36° per cui AP = OP . Si ha allora AB = AP = OP.I triangoli isosceli APB e AOB sono simili avendo tutti gli angoli rispettivamente uguali OB : AB = AB : BP

7. Poichè AB =OP concludiamo che OB : OP = OP : BP dalla quale si deduce che OP è la parte aurea del raggio OB e quindi che il lato AB del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del raggio. Detta l la misura del lato AB e quindi di OP ed r la misura del raggio OB la relazione trovata si può scrivere come r : l = l : (r - l). Applicando le proprietà delle proporzioni si ottiene da cui risulta che (non accettabile perché negativo) e e quindi che il lato del decagono regolare è Servendoci delle proprietà viste possiamo dividere una circonferenza in dieci parti uguali e costruire il decagono regolare procedendo nel seguente modo: si tracciano i due diametri perpendicolari AA’, CC’ e la circonferenza di diametro OC e centro M; unito A con M e indicato con D il punto di intersezione di questa circonferenza con il segmento AM, si ha che AD è la parte aurea di OA e quindi AD è il lato del decagono regolare. Se con apertura di compasso uguale ad AD partendo da A si interseca successivamente la circonferenza in B,E,F,G…. si divide questa in dieci parti uguali ottenendo il decagono.