Estructura de Sólidos Tema-1: Conceptos básicos de cristalografía

1. Estructura de Sólidos Tema-1: Conceptos básicos de cristalografía Conferencia 3. Grupos puntuales cristalográficos. Elementos y operaciones de simetría. Posiciones equivalentes. Proyección estereográfica.

3. Elementos de simetría. Operaciones de simetría. Elementos de simetría: Son entidades geométricas imaginarias (línea, punto, plano) respecto a los cuales se realizan las operaciones de simetría. Operaciones de simetría: Operaciones geométricas que ponen en mutua coincidencia los motivos del cristal, de forma tal que después de realizada la transformación, el cuerpo aparece indistinguible con respecto a su posición inicial.

4. OPERACIONES DE SIMETRIA OBJETO “OBJETO” Mediante las operaciones de simetría, podremos generar finitos números de objetos equivalentes • Inversión (punto) • Rotación (linea) 2/X • Reflexión (plano) • Rotación-inversión: consiste en la rotación de un ángulo 2/X (X=1,2,3,4,6), combinado con la inversión en un punto

6. Tipos de elementos de simetría

7. Elementos de simetría. Operaciones de simetría. Las operaciones de simetría (OS) pueden ser: propias o impropias. OS propias: Se ponen en coincidencia motivos homólogos mediante movimientos de rotación simple. El elemento de simetría correspondiente es: eje de rotación propio. OS impropias: Se ponen en coincidencia pares de motivos no congruentes o enantiamorfos, es decir, los que están relacionados entre sí como un objeto y su imagen en un espejo. Los elementos de simetría correspondientes son: plano-espejo, centro de inversión y ejes de rotación impropios.

8. Operaciones de simetría propias. OS : rotación, Elemento de simetría : Ejes de rotación propios La coincidencia entre puntos equivalentes se realiza mediante sucesivas rotaciones alrededor de un eje con intervalos angulares de repetición  = 2/n Los intervalos de giro permisibles para los ejes de rotación son : n = 1, 2, 3, 4 y 6 ; lo que es  = 0º ó 360º, 180º, 120º, 90º y 60º, respectivamente. n= 3 n= 6 n= 4

9. Ejes de rotación Eje de orden 1 Eje de rotación de orden 1  n= 1  = 360

10. Ejes de rotación Eje de rotación de orden 2  n= 2  = 180 Eje de orden 2

11. Ejes de rotación Eje de rotación de orden 3  n= 3  = 120 Eje de orden 3

12. Ejes de rotación Eje de rotación de orden 4  n= 4  = 90 Eje de orden 4

13. Ejes de rotación Eje de rotación de orden 6  n= 6  = 60 Eje de orden 6

14. Ejes de rotación n= 6 n= 5

15. Operaciones de simetría impropias. OS : Reflexión , Elemento de Simetría :plano-espejo m (plano de simetría) Un cristal posee plano de simetría cuando una o varias de sus caras se repiten de forma exacta en otra parte del espacio. Como si la repetición se realizara mediante una reflexión óptica en una superficie especular coincidente con el plano de simetría.

16. Operaciones de simetría impropias. OS : Inversión , Elemento de Simetría :centro de inversión (centro de simetría) Un cristal tiene centro de simetría cuando tiene caras iguales y opuestas que pueden relacionarse entre sí mediante líneas de unión que se interceptan en un punto equidistante donde está situado el centro de simetría. Operador mediante el cual cada motivo de coordenada (u, v, w) pasa a (-u, –v, –w). Relaciona cualquier par de puntos u objetos equidistantes entre sí y opuestos a un punto central: “centro de inversión”

17. Operaciones de simetría impropias. OS compuesta : Roto-inversión , Elemento de Simetría :ejes de roto-inversión Hay cristales en los que para verificar la relación de simetría entre algunas de sus caras es necesario combinar la operación de uno de los ejes propios con una inversión alrededor de un punto situado en el eje Operación:rotación de 360°/n seguidapor una inversión relacionada a un punto localizado en el mismo eje. Notación: En este caso se combinan dos o mas operaciones de simetría en una sola secuencia. Lo anterior resulta en una única operación de simetría.

18. Ejes de roto-inversión Eje de roto-inversión de orden 2: Eje de inversión de orden 2 ( ) es equivalente a un plano espejo (m)

19. Eje de roto-inversión de orden 3:

20. Eje de roto-inversión de orden 4:

21. Eje de roto-inversión de orden 6:

23. Posiciones Equivalentes Posiciones equivalentes: son aquellas que están relacionadas entre sí por acción de los elementos de simetría. Posiciones equivalentes de un eje de orden2 Posiciones equivalentes de un eje de orden 4

24. Grupos Puntuales de Cristalografía. Los grupos puntuales critalográficos son derivados de la combinación de un grupo de elementos de simetría que se aplican sobre una red 3-D infinita, la cual deja invariante a la red de puntos, se excluyen las operaciones de traslación: Dando lugar así a 32 grupos puntuales de cristalografía en 3D

27. Proyección estereográfica

28. Proyección estereográfica

29. Proyección estereográfica