Proporcionalidade directa - Uma ideia de Pré-Álgebra -

1. Proporcionalidade directa- Uma ideia de Pré-Álgebra - Sandra Marques Escola E. B. 2, 3 Piscinas - Lisboa Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

2. Proporcionalidade directa – Pré-Álgebra A proporcionalidade directa é um conceito fundamental da Matemática escolar… • Pedra angular da aprendizagem da Aritmética, Números e Medidas no ensino básico; • Importante na aquisição de conceitos algébricos (equivalência, variável, transformação e invariância); • Base essencial para a aprendizagem de todos os tópicos matemáticos subsequentes à Aritmética básica. • Lesh, Post e Behr (1988) Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

3. Estudar os manuais escolares, porquê? ▪ Constituem um dos recursos que os alunos e os professores dispõem no ensino-aprendizagem da Matemática, constituindo em muitos casos instrumento de trabalho de intensa utilização. ▪ No entanto: • não estão isentos de incorrecções, desactualizações, erros, e • seguem por vezes estratégias pouco adequadas a um ensino de qualidade Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

4. O raciocínio proporcional...  ... depende da aquisição de destrezas globais relacionadas com algumas estruturas cognitivas gerais (Psicologia do Desenvolvimento);  ... caracteriza-se por uma evolução crescente de competências locais (Educação Matemática). Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

5. Documentos portugueses Programa de Matemática Conteúdos • constante de proporcionalidade; • proporções; • percentagem e gráficos circulares; • escalas. Desenvolvimento do conceito de proporcionalidade directa Situações da vida real (problemas de percentagem e escalas) Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

6. Documentos portuguesesCurrículo Nacional Números e Cálculo(2.º ciclo)  o aluno deve desenvolver o reconhecimento de situações de proporcionalidade directa;  ... a aptidão para usar o raciocínio proporcional em problemas diversos. Álgebra e Funções (ao longo de todos os ciclos)  ... analisar as relações numéricas de uma situação e concretizar, em alguns casos, relações entre variáveis e fórmulas;  ... procurar soluções de equações simples. Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

7. Orientações espanholas 6.º curso da EP • Objectivos • Conhecer o significado de percentagem. • Conhecer a forma de calcular de percentagens. •  Utilizar o cálculo de percentagens nas situações mais vulgares. •  Reconhecer grandezas proporcionais. •  Dominar a relação numérica entre grandezas proporcionais. •  Dominar o significado de escala por aplicação da proporcionalidade. Conteúdos  Percentagem.  Aplicações de percentagens: aumentos e descontos.  Proporcionalidade.  Grandezas proporcionais.  Escala. Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

8. 1.º curso ESO Objectivos  Identificar relações de proporcionalidade, directa e inversa, em situações da vida quotidiana.  Expressar relações de proporcionalidade mediante fracções e percentagens.  Resolver problemas de proporcionalidade mediante a utilização de fracções, percentagens ou a regra de três simples. Conteúdos  Razão e proporção numérica.  Razão entre duas quantidades numa dada grandeza.  Grandezas directamente proporcionais.  Regra de três simples directa.  Percentagenss.  Grandezas inversamente proporcionais.  Regra de três simple inversa. Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

9. Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil) No 3º ciclo do Ensino Fundamental, a Matemática deve visar o desenvolvimento do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de aprendizagem, que levem o aluno a:  reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções; • traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificando os significados das letras; • utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico. Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

10. Principles and standards(NCTM, 2000) Grades 6-8  expandir capacidades de raciocínio, nomeadamente o proporcional;  aprofundar a competência crítica de conjecturas;  fazer uso dos raciocínios indutivo e dedutivo;  resolver problemas que envolvam razões, taxas, percentagens e operações. O currículo escolar de Matemática deve prever o ensino-aprendizagem da Proporcionalidade desde os primeiros anos de escolaridade, por tratar-se de um tópico central de inter-relacionamento com todos os outros tópicos da disciplina e com implicações numa aprendizagem bem-sucedida em níveis de escolaridade mais avançados. Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

11. Análise de tarefas Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

12. Qual a natureza das tarefas e as suas potencialidades? O que distingue um problema de um exercício e uma actividade de investigação de um projecto? Tarefas Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

13. Conexões O currículo de Matemática deve permitir que os alunos: reconheçam e usem conexões entre ideias matemáticas; compreendam como as ideias matemáticas estão interligadas e construam, a partir das partes, um todo coerente;  identifiquem e apliquem a Matemática em contextos fora da Matemática. (traduzido de NCTM, 2000) “… não deve ser tratado de uma só vez nem independentemente dos conteúdos dos outros temas. (…) A interligação entre os conhecimentos possibilita uma visão dinâmica e integrada da disciplina. (ME, 1991) Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

14. A não esquecer… Que (sub)conceitos surgem no estudo da proporcionalidade? Com que outros conceitos é relacionado o conceito de proporcionalidade? Que procedimentos são ensinados? Que tarefas são propostas para o desenvolvimento do conceito? Que tarefas são usadas para consolidação de conhecimentos? Que estratégias são usadas para ajudar os alunos a sistematizar os conhecimentos? Que representações são usadas no estudo da Proporcionalidade? Qual o papel e a importância relativa de cada uma? De que modo é introduzida a proporcionalidade? Que situações são apresentadas? Que trabalho prévio preparatório é realizado? Que tipo de experiências de aprendizagem são proporcionadas aos alunos? Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

15. Metodologia (I) A análise é o processo pelo qual se organizam os dados, enquadrando-os em padrões e categorias, para que, em simultâneo ou numa fase posterior, se passa à interpretação, adicionando sentido e significado à análise. Patton (1987) Análise de conteúdo Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

16. Met. (II) - Categorias de análise das tarefas • Actividades do quotidiano • Situações escolares • Vida em sociedade  Mat. (mesmo tópico) • Situações profissionais  Mat. (entre tópicos) • Outras áreas do saber • Imaginação • Contexto  Estrutura  Exigência cognitiva  Aberta  Fechada  Reprodução  Conexão  Reflexão Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

17. Manual português, 6.º ano (I) Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

18. Manual português, 6º ano (II) Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

19. Manual espanhol, 1.º ESO (I) Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

20. Manual espanhol, 1.º ESO (II) Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

21. Manual brasileiro, 6.ª série (I) Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

22. Manual brasileiro, 6.ª série (II) Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

23. Manual brasileiro, 6.ª série (III) Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

24. Análise comparativa – Exigência cognitiva Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

25. Análise comparativa – Estrutura Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

26. Análise comparativa – Contexto Legenda Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

27. Comparação Portugal – Espanha - Brasil (I) O manual português apresenta 200 tarefas ao longo da unidade;  O manual espanhol apresenta, no total das duas unidades, 135 tarefas;  Os manuais brasileiros, no total das 3 unidades, apresentam 193 tarefas;  De uma forma geral, apresentam maior quantidade de tarefas de conexão, sendo as de reflexão as menos representativas;  A estrutura das tarefas é maioritariamente fechada;  No Brasil, encontram-se tarefas de estrutura aberta e semiaberta; Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

28. Comparação Portugal – Espanha - Brasil (II)  Quanto ao contexto em que as tarefas se inserem, verifica-se maior predomínio das tarefas relacionadas com a vida em sociedade (natureza pública) e de tarefas de cunho matemático (entre tópicos);  Tarefas contextualizadas de outra forma ou relacionadas com o mesmo tópico matemático são menos expressivas que as anteriores. Didáctica da Álgebra - 01.03.2006

29. Legenda do quadro de análise comparativa- Contexto - A- Reprodução B- Conexão C- Reflexão D- Aberta E- Semiaberta F- Fechada G- Actividades do quotidiano H- Situações escolares I- Situações profissionais J- Vida em sociedade L- Outras áreas do saber M- Imaginação N- Matemática entre tópicos O- Matemática mesmo tópico Didáctica da Álgebra - 01.03.2006