1. Il moto vario su una retta

1. 1. Il moto vario su una retta • E' il moto su un percorso rettilineo in cui la velocità media non mantiene sempre lo stesso valore nel tempo. Grafico spazio-tempo del moto rettilineo vario di una palla da basket che rimbalza. Grafico spazio-tempo del moto rettilineo uniforme di un'automobile.

2. 2. La velocità istantanea • Quando la velocità media non è costante, il valore della velocità in un determinato istante si ottiene calcolando la velocità media in un intervallo di tempo sempre più piccolo.

3. La velocità istantanea • La velocità istantanea è il valore limite a cui tende la velocità media in un intervallo t sempre più piccolo. Graficamente rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico spazio-tempo in un determinato istante.

4. 3. L'accelerazione media • E' il rapporto tra la variazione di velocità v e l'intervallo di tempo t in cui avviene. Se v1 è la velocità al tempo t1 e v0 la velocità al tempo t0, l'accelerazione media è data da:

5. L'accelerazione media • L'unità di misura dell'accelerazione media è il metro al secondo quadrato, ossia la variazione di velocità di un metro al secondo in un intervallo di un secondo. Il segno dell'accelerazione è positivo se la velocità aumenta (v1>v0), negativo se il moto è rallentato (v1>v0).

6. L'accelerazione negativa • La tabella riassume i valori del segno per le grandezze distanza, velocità media ed accelerazione media.

7. 4. Il grafico velocità-tempo • Nel moto vario si rappresenta la variazione della velocità nel tempo con un diagramma cartesiano (v in ordinate, t in ascisse).

8. La lettura del grafico velocità-tempo • I tratti inclinati verso l'alto rappresentano un moto con accelerazione positiva, in cui la velocità aumenta; • I tratti più ripidi sono quelli percorsi con accelerazione maggiore; • Nei tratti orizzontali la velocità è costante, poiché l'accelerazione è nulla (moto uniforme); • Nei tratti inclinati verso il basso il moto ha accelerazione negativa, quindi la velocità diminuisce.

9. La pendenza del grafico velocità-tempo L'accelerazione media è uguale al coefficiente angolare della retta secantedel grafico v-t.

10. 5. Il moto rettilineo uniformemente accelerato • E' il moto di un punto materiale che si muove lungo una traiettoria rettilinea, con accelerazione costante nel tempo. Il grafico v-t è rappresentato da una retta, la cui pendenza è proprio l'accelerazione del moto, a= v/t

11. Il moto rettilineo uniformemente accelerato • Nel caso in figura: Nel moto rettilineo uniformemente accelerato le variazioni di velocità, v, sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo trascorsi, t

12. La caduta dei gravi • Nel 1638 Galileo Galilei affermò che tutti i corpi, se non ci fosse l'attrito dell'aria, cadrebbero verso il suolo con un'accelerazione uguale per tutti, che è detta accelerazione di gravitàe sulla Terra vale: • Sulla Luna g vale circa 1,6 m/s2, circa 1/6 del valore terrestre. • All'equatore è g = 9,78 m/s2, ai poli è g = 9,83 m/s2

13. 6. La velocità nel moto uniformemente accelerato • Data l'accelerazione a, possiamo calcolare ad ogni istante di tempo il valore della velocità istantanea e della posizione. • Consideriamo i seguenti due sottocasi di moto uniformemente accelerato: • partenza da fermo (v0 =0) • partenza da un valore qualsiasi di velocità, v0

14. La velocità istantanea con partenza da fermo • Nel caso di velocità iniziale nulla (v0 =0), la legge della velocità è data dalla formula: In questo caso il grafico velocità-tempo è dato da una retta passante per l'origine degli assi.

15. La legge generale della velocità istantanea • Nel caso in cui l'oggetto acceleri partendo da una velocità iniziale v0, la legge della velocità diventa: Il grafico velocità-tempo è dato da una retta non passante per l'origine degli assi.

16. Dimostrazione della legge della velocità • Dalla formula per calcolare l'accelerazione: Moltiplichiamo entrambi i membri per (t – t0): Da cui ricaviamo: Che è la formula più generale per la velocità istantanea.

17. Casi particolari della legge della velocità Dalla legge generale si ottiene: • nel caso t0 = 0, ossia se l'istante iniziale è quello in cui l'oggetto ha velocità v0: • nel caso in cui anche v0=0, otteniamo la formula già vista in precedenza.

18. 7. Esempi di grafici velocità-tempo • 1) Lancio verso l'alto di una palla.

19. Esempi di grafici velocità-tempo • 2) Partenza e arrivo di un'automobile.

20. Esempi di grafici velocità-tempo • 3) Frenata e successiva accelerata di un'auto.

21. Deduzione del grafico velocità-tempo dal grafico accelerazione-tempo • Le due auto “blu” e “rossa” hanno accelerazione nulla per 10 s; nei successivi 10 s l'accelerazione è costante e di segno opposto per le due. • Quindi le due auto hanno velocità costante per i primi 10 s, poi la velocità della “blu” aumenta e della “rossa” diminuisce proporzionalmente al tempo.

22. 8. La posizione nel moto uniformemente accelerato • Il grafico spazio-tempo in figura rappresenta il moto di un treno che ha un'accelerazione costante di 1,6 m/s2.

23. Legge della posizione con partenza da fermo • In questo caso al tempo t = 0 la velocità è v0 = 0. • La legge della posizione è data dall'espressione: • quindi la posizione è direttamente proporzionale al quadrato del tempoed il grafico spazio-tempo è una parabola con vertice nell'origine.

24. La legge generale della posizione • Se al tempo t = 0 la velocità è v = v0 e la posizione è s = s0, la legge della posizione è: Il grafico spazio-tempo è una parabola che passa per il punto (0; s0).

25. Dimostrazione della legge della posizione • z Quindi la distanza percorsa: s = v t è uguale all'area sotto al grafico velocità-tempo compresa tra l'origine e l'istante generico t.

26. Dimostrazione della legge della posizione • z Analogamente al caso precedente, la distanza percorsa s = s – s0è uguale all'area del trapezio indicato in figura:

27. 9. Calcolo del tempo • Nel caso di partenza da fermo, invertendo la legge della posizione • si ottiene: • ad esempio, il tempo impiegato da un tuffatore che si getta da un'altezza di 3,0 m è 0,78 s.