LA RETTA

1. LA RETTA

2. Sappiamo che esiste una corrispondenza biunivoca tra una coppia ordinata di numeri (ascissa e ordinata) e i punti del piano, ossia preso un qualunque punto P di coordinate P(x,y) a esso corrisponde un punto del piano cartesiano Ad esempio i punti A(-3;5) e B(-2;-1) corrispondono ai seguenti punti nel piano cartesiano:

3. Rappresentiamo nel piano cartesiano la funzione matematica: Attribuiamo alla x valori da noi scelti e calcoliamo i corrispondenti valori della y, compilando in questo modo una tabella e rappresentando i valori corrispondenti

4. Rappresentiamo nel piano cartesiano le seguenti rette: e consideriamo i loro grafici Osserviamo che il termine noto della prima (2), il termine noto della seconda (4) e il termine noto della terza (3)rappresentano rispettivamente l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse y

5. RETTE PARALLELE AGLI ASSI Se una retta è parallela all’asse x, tutti i suoi punti avranno uguale ordinata (corrisponde alla distanza dall’ascissa) y k k O x Quindi l’equazione sarà del tipo

6. Se una retta, invece è parallela all’asse y, tutti i suoi punti avranno uguale ascissa (ovvero la stessa distanza dall’asse dell’ordinata) y h O h x Quindi l’equazione sarà del tipo

7. y T α P α y3 Q α y1 y2 β O Q’ P’ T’ x x2 x1 x3 RETTE PER L'ORIGINE I triangoli OP’P e OQ’Q sono simili perché tutti gli angoli sono uguali in quanto corrispondenti, si ha pertanto la seguente proporzione Si potrebbe dimostrare che se considerassimo un ulteriore punto T(x3;y3) di r si avrebbe Dato che i punti P, Q e T sono generici, possiamo concludere che per tutti i punti della retta r, diversi dall’origine, il rapporto tra ordinata e ascissa è costante e lo indichiamo con m. Quindi una retta che passa per l’origine è tale che il rapporto tra ordinata e ascissa è costate ossia Equazione della retta per l’origine

8. Y y τ Q(0,q) X x O RETTA IN POSIZIONE GENERICA Consideriamo una retta r non passante per l’origine e non parallela a nessuno degli assi cartesiani. Sia Q(0;q) il punto in cui r interseca l’asse y. Effettuiamo la traslazioneτdel sistema di riferimento in modo che l’origine venga traslato in Q

9. Eq. r in XOY Eq. r in xOy Nel sistema XQY la retta r passa per l’origine Q quindi avrà equazione del tipo Y=mX; sostituendo in tale equazione x al posto di X e y-q al posto di Y si otterrà l’equazione della retta nel sistema xOy, in cui r non passa per l’origine; in formule

10. La funzione si dice equazione della retta in forma esplicita, il numero m si dice coefficiente angolare e ne caratterizza l’inclinazione rispetto all’asse x. Il termine noto q rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse y y=mx+q Termine noto Coefficiente angolare

11. Ponendo e Si ottiene Moltiplicando per b si ottiene E portando tutto al primo membro si ha Che è l’equazione della retta in forma implicita

12. L’equazione della retta può essere scritta quindi in forma: • IMPLICITA • ax+by+c=0 • ESPLICITA (viene esplicitato il coefficiente angolare) • y=mx+q

13. Passaggio dalla forma implicita a quella esplicita

14. Da cui segue q m Esempio numerico. Supponiamo di avere la retta di equazione 3x-2y+7=0 scritta in forma implicita e la vogliamo scrivere in forma esplicita Lasciando il termine in y al primo membro si ottiene Quindi trovo la y, cioé Che è l’equazione della retta in forma esplicita

15. Viceversa supponiamo di avere l’equazione della retta in forma esplicita e di volerla in forma implicita. Sia l’equazione della retta in forma esplicita. Trovo il m.c.m. dei denominatori, che in questo caso è 6, quindi Da cui portando tutto al primo membro si ottiene

16. 15 metri 100 metri 15% Concretizziamo il concetto di coefficiente angolare di una retta. Cosa significa che una strada ha una pendenza del 15%? Significa che la strada si alza di 15 metri ogni 100 metri percorsi orizzontalmente

17. y P 100 O H x 15 Il coefficiente angolare sarà il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa del punto P

18. Equazione della retta per due punti Dati due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) nel piano cartesiano per il teorema di Talete si ha y P1 x1 Ed anche Q1 x P Q P2 x2 Q2 y2 y y1 O H2 H H1 x N.B. Il teorema di Talete afferma che un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali determina su di esse due insiemi di segmenti proporzionali

19. Da cui si ottiene: Sostituendo si ottiene

20. Equazione della retta per due punti Dati due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) nel piano cartesiano l’equazione della retta passante per i due punti è data dall’equazione:

21. Ad esempio: dati i punti di coordinate P1(4;-9) e P2(-6;5) andando a sostituire al posto di x1, y1, x2, y2 i valori di P1 e P2 si ottiene Eseguendo il prodotto in croce si ottiene

22. Semplificando e moltiplicando per -1 si ottiene Portando tutto al primo membro si ottiene

23. RETTE PARALLELE Dal grafico possiamo notare che le tre rette formano con l’asse delle x lo stesso angolo, pertanto le loro equazioni avranno lo stesso coefficiente angolare Se ne deduce che date due rette esse sono parallele se e solo se le loro equazioni hanno lo stesso coefficiente angolare m=m’

24. RETTE PERPENDICOLARI Teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa Siano r e s due rette perpendicolari passanti per l’origine di equazione rispettivamente y=mx e y=m’x. Considero il punto B(1;m) sulla retta r e considero il seqmento perpendicolare all’asse x passante per B. Esso interseca l’asse x nel punto di coordinate A(1;0) mentre interseca la retta s nel punto C(1;m’). Per il teorema di Euclide avremo Poiché OA=1; BA=m e AC=-m’ poiché si trova nel semipiano negativo, sostituendo si ottiene Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a -1, ossia siano l’uno l’antireciproco dell’altro