La retta

1. La retta

2. La linea, insieme al punto e al piano, è uno dei tre Enti Geometrici Fondamentali . Viene definita da Euclide, nei suoi Elementi *,come un concetto primitivo intendendo così indicare che, essendo un concetto semplice ed intuitivo, può essere accettato senza spiegazioni né definizioni. Della linea, come degli altri enti, possiamo però costruirci un’immagine. Essa può essere rappresentata da un filo sottilissimo, o dal segno, pure sottilissimo, lasciato dalla punta di una matita su di un foglio. La linea si può considerare come un insieme infinito di punti e quindi, non ha peso né spessore, né inizio né fine. Ha un’unica dimensione: la lunghezza. Tra le infinite linee se ne distingue in modo particolare una: la linea retta o, semplicemente, retta. Per avere un’immagine della retta si può pensare ad un sottilissimo filo ben teso oppure ad un raggio di luce * Gli Elementi ( IV e V sec. a.C.) di Euclide sono la più importante opera matematica giuntaci dalla cultura greca antica. Essi rappresentano un quadro completo e definito dei principi della geometria noti al tempo; l’opera era composta di 13 libri: i primi sei riguardavano la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra le grandezze e gli ultimi tre la geometria solida.

3. Le rette possono giacere nel piano o nello spazio. Le rette nel piano possono essere: coincidenti: se tutti i punti di una sono sovrapposti ai punti dell’altra. Le due rette r e s sovrapposte non si distinguono l’una dall’altra. r s parallele: se le due rette r e s non hanno nessun punto in comune; in questo caso la distanza tra le due rette è sempre costante r// s P • incidenti: se le due rette r e shanno un unico punto P in comune. Particolari rette incidenti sono quelle perpendicolari: in questo caso le due rette r e s, nel punto P, formano 4 angoli retti. r s

4. Nel Piano cartesiano ortogonale, le rette possono essere: parallele all’asse delle ordinate parallele all’asse delle ascisse obliqua passante per l’origine obliqua NON passante per l’origine

5. Troviamo le equazioni che descrivono le rette, nelle varie posizioni, nel piano cartesiano (equazione del luogo geometrico). Per ottenere queste equazioni (una per ciascuna posizione della retta nel piano cartesiano), dobbiamo cercare di comprendere quale proprietà accomuna i punti che appartengono ad una determinata retta. Per questo scopo ci serviremo di applet animate create con il programma di Geometria dinamica GeoGebra.

6. Retta parallela agli assi cartesiani I punti che si trovano su una retta r parallela all’asse delle ordinate y hanno tutti la stessa ascissa: essi, e solo essi, appartengono al luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa ascissa. Pertanto l’equazione che descrive questa proprietà, e quindi, questo luogo, è r: x = a Clicca sull’immagine per aprire l’animazione GeoGebra I punti che si trovano su una retta s parallela all’asse delle ascisse x hanno tutti la stessa ordinata: essi, e solo essi, appartengono al luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa ordinata. Pertanto l’equazione che descrive questa proprietà, e quindi, questo luogo, è s: y = b

7. Retta obliqua passante per l’origine degli assi cartesiani Clicca sull’immagine per aprire l’animazione GeoGebra Una retta r passante per l’origine degli assi cartesiani è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno il rapporto tra la loro ordinata e la corrispondente ascissa costante. L’equazione di questo luogo è: r: y = k x La costante kprende il nome di coefficienteangolarein quanto dal suo valore dipende l’inclinazione della retta rispetto all’asse delle ascisse.

8. Come si disegnano le rette nel piano cartesiano Due punti del piano individuano una ed una sola retta. Questo significa che per disegnare una retta occorre conoscere le coordinate di due suoi punti qualsiasi. ESEMPIO Disegnare nel piano cartesiano la retta r di equazione y = 2x -1 Si tratta di una retta generica con coefficiente angolare k = 2 ed intercetta n = -1. per disegnare questa retta basta conoscere le coordinate di suoi due punti; per fare ciò assegniamo alla x due valori qualsiasi, sostituiamoli nell’equazione della retta e calcoliamo i corrispondenti valori dell’ordinata. Riportiamo i calcoli nello schema: Nel piano cartesiano prendiamo i punti A(0; -1) e B (1; 1) e disegniamo la retta passante per essi.

9. Retta generica Clicca sull’immagine per aprire l’animazione GeoGebra Una retta generica s è il luogo geometrico dei punti del piano le cui ordinate sono date dall’ordinata del punto corrispondente su una retta r, parallela ad s e passante per l’origine, incrementate di un numero n che è l’ordinata del punto B di s sull’asse delle ordinate. L’equazione di una retta generica è quindi: s: y = k x + n Il numero n viene detto intercetta perché è il punto in cui la retta s “intercetta” (incontra) l’asse delle ordinate.

10. s  Posizione di due rette e caratteristiche della loro equazione: rettecoincidenti Ricordiamo ciò che abbiamo imparato nella slide n. 3 sulla posizione di due rette nel piano e, ora che conosciamo le varie equazioni della retta nel piano, analizziamo la situazione anche da un altro punto di vista; apriamo, cioè, due finestre: quella grafica e quella analitica! Punto di vista geometrico La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k’ x + n’ sono coincidenti se: Punto di vista analitico hanno tutti gli infiniti punti che le compongono sovrapposti. nel piano cartesiano hanno la stessainclinazione, quindi lo stesso coefficiente angolare, e la stessaintercetta. Quindi: r r≡ s↔ k = k’ e n = n’ r e s hanno la stessa equazione

11. Posizione di due rette e caratteristiche della loro equazione: retteparallele La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k’ x + n’ sono parallele se: Punto di vista geometrico NON hanno nessun punto in comune e quindi la distanza tra di esse è costante. nel piano cartesiano hanno la stessainclinazione, quindi lo stesso coefficiente angolare, MA intercettadiversa – se anche le intercette fossero uguali le due rette sarebbero coincidenti! - Punto di vista analitico Quindi: r  s ↔ k = k’ e n n’

12. Posizione di due rette e caratteristiche della loro equazione: retteincidenti La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k’ x + n’ sono incidenti se: Punto di vista geometrico si incontrano in un punto P che quindi appartiene alle due rette nel piano cartesiano hanno diversa inclinazione, pertanto diverso coefficiente angolare; quindi r s ↔ kk’ Punto di vista analitico le intercette possono essere: diverse n n’ In questo caso le coordinate del punto di incontro P(punto di intersezione) si determinano risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due rette uguali n= n’ In questo caso le coordinate del punto di incontro P sono (0; n), cioè le rette si incontrano sull’asse delle ordinate

13. Posizione di due rette e caratteristiche della loro equazione: retteincidenti perpendicolarmente La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k’ x + n’ sono incidenti perpendicolarmente se: Punto di vista geometrico Punto di vista analitico si incontrano in un punto P formando 4 angoli retti analiticamente r s ↔ k= - 1/k’ cioè il coefficiente angolare di una è l’antireciproco (l’inverso cambiato di segno) dell’altra 13

14. ESEMPIO 1 Qual è la posizione delle rette r: y = 2x - 5 e s: y = 3x – 6 Osserviamo che queste due rette hanno i coefficienti angolari diversi (kr = 2 e ks= 3), quindi sono incidenti , cioè si incontrano in un punto P. Anche le loro intercette sono diverse (nr = -5 e ns= -6), quindi si incontrano in un punto qualsiasi del piano cartesiano. Per trovare le coordinate del punto di intersezione P, dobbiamo risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due rette: Pertanto le coordinate del punto di intersezione P sono ( 1; 3), come confermato dal disegno.

15. ESEMPIO 2 Qual è la posizione delle rette r: y = 5x - 4 e s: y = 5x – 6 Le rette r e s hanno lo stesso coefficiente angolare (kr = 5 e ks= 5), quindi sono parallele e non hanno punti in comune. La situazione è confermata anche al disegno. r  s

16. ESEMPIO 2 Qual è la posizione delle rette r: y = 2x + 3 e s: y = - 1/2x + 3 Queste due rette hanno i coefficienti angolari che sono l’uno l’antireciproco dell’altro (kr = 2 e ks= -1/2), questo significa che le due rette sono incidenti perpendicolarmente. Osserviamo che le due rette hanno il la stessa intercetta (nr = ns= 3) questo significa che si incontrano sull’asse delle ordinate nel punto P di coordinate (0; 3) Questa situazione è confermata dal disegno.

17. Appartenenza di un punto ad una retta Se un punto P(xP; yP) giace su una retta r: y = k x + n allora le coordinate di P soddisfano l’equazione della retta; accade quindi che, se si sostituiscono le coordinate di P nell’equazione di r, l’eguaglianza risulta verificata: yP = k xP + n. In tal caso si scrive P  r ESEMPIO Il punto P (3; 5) appartiene alla retta r di equazione y = 2x – 1? Basta sostituire le coordinate di P nell’equazione: yP = k xP + n → 5 = 2 * 3 – 1 Poiché questa eguaglianza è vera possiamo affermare che P  r

18. Fascio di rette Per fascio di rette si intende un insieme di rette accumunate da una stessa caratteristica. I fasci di rette possono essere impropri e propri Un fascio di rette si dice improprio se è formato da rette aventi tutte lo stesso coefficiente angolare (ed, evidentemente, diversa intercetta!) Un fascio di rette si dice proprio se è formato da rette passanti tutte per uno stesso punto P (aventi, quindi, coefficienti angolari diversi!). Il Punto P si chiama Centro del Fascio

19. Equazione del fascio di rette improprio Se il fascio di rette è improprio le rette avranno tutte un coefficiente angolare costante (che non cambia) k0mentre l’intercetta n sarà variabile in  (cioè le rette incontreranno l’asse delle ordinate in punti diversi!) L’equazione che descrive un tale fascio sarà: y = k0 x + n con k0 costante e n   ESEMPIO Scrivere l’equazione del fascio di rette parallele alla retta r: y = 4x – 2 Poiché k0 = 4, l’equazione del fascio improprio è: y = 4x + n con n variabile in  Questa equazione descrive TUTTE le infinite rette parallele, con la stessa inclinazione, con coefficiente angolare k = 4

20. Equazione del fascio di rette proprio Per dedurre l’equazione di un fascio di rette proprio di centro P, facciamo le seguenti considerazioni. y = k x + n yP = k xP + n y – yP = k x - k xP y – yP = k (x - xP) Scriviamo l’equazione di una retta generica del fascio Il punto P, essendo il centro del fascio, appartiene a tutte le rette del fascio e, quindi, le sue coordinate soddisfano alla generica retta del fascio. Sottraendo membro a membro i termini delle 2 equazioni si ottiene: Da cui Che è l’equazione che descrive TUTTE le infinite rette passanti per lo stesso punto P, centro del fascio. • ESEMPIO • Scrivere l’equazione del fascio proprio di centro P(1; 2). • Basta sostituire le coordinate di P nell’equazione del Fascio y – yP = k (x - xP); pertanto • Fascio P : y – 2 = k ( x – 1) → y = k (x – 1) + 2

21. Coefficiente angolare della retta passante per due punti A e B Uno dei postulati della retta dice che: “Per due punti distinti passa una ed una sola retta” Se A(xA; yA) e B(xB; yB) sono due punti del piano, per essi passerà, quindi, una ed una sola retta r; ci proponiamo di determinarne il coefficiente angolare, cioè il valore di k ad essa corrispondente. Ragioniamo così: Sia r: y = k x + n l’equazione di una retta generica r. Se il punto A ed il punto B appartengono alla stessa retta r, le loro coordinate verificano l’equazione: yA = k xA + n yB = k xB + n Sottraendo membro a membro, si ha yA - yB= k xA - k xB→ yA - yB= k (xA - xB) Ovviamente non è importante l’ordine degli indici! E’ buona norma scrivere (con i pedici!) per indicare il coefficiente angolare relativo ai punti A e B. Da cui ESEMPIO Qual è il coefficiente angolare della retta r passante per A(3; 6) e B (1; 4)? Basta sostituire le coordinate dei punti nella formula di k trovata: k = (yA - yB )/ (yA - yB ) = (6 – 4) / (3 – 1) = 2 / 2 = 1

22. Equazione della retta passante per due punti A e B • Ci proponiamo ora di determinare l’equazione della retta passante per due punti assegnati. • Ragioniamo così: • Consideriamo il fascio di rette avente centro A oppure B – nel disegno abbiamo considerato il fascio di centro A – • L’equazione del fascio sarà FA: y – yA = k (x - xA) • Al fascio per A appartengono infinite rette aventi diversi coefficienti angolari k - vedi disegno –. • Tra queste infinite rette c’è anche quella passante per il punto B, che avrà come • coefficiente angolare • Per determinare, allora, l’equazione della retta passante • per A e per B, basterà sostituire il valore nell’equazione • di FA. ESEMPIO Determinare l’equazione della retta passante per i punti A(2; 1) e B(6;3). Il fascio per A è FA: y – yA = k (x - xA) → y – 1 = k(x – 2) Il coefficiente angolare della retta per A e B è dato da Sostituendo questo valore nell’equazione del fascio FA si ottiene l’equazione della retta per A e B: rAB : y – 1 = k(x – 2) → y – 1 = ½ (x – 2) → y = ½ x -1 +1 → y = ½ x

23. Tutti i passaggi mostrati precedentemente per arrivare a determinare l’equazione della retta passante per due punti A(xA; yA) e B(xB; yB), possono essere sintetizzati ricorrendo al calcolo del semplice determinante Svolgiamo l’esercizio precedente risolvendo il determinante ESEMPIO Determinare l’equazione della retta passante per i punti A(2; 1) e B(6;3). Scriviamo il determinante sostituendo i valori delle coordinate di A e di B e risolviamolo con il metodo di Sarrus da cui 4y - 2x = 0 → y = ½ x Che è lo stesso risultato trovato prima!

24. Distanza di un punto A da una retta r • Per distanza di un punto da una retta si intende la lunghezza del segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. Per calcolare la distanza (lunghezza del segmento AH) si ragiona così: • se l’equazione della retta r è y = kx + n, il suo coefficiente angolare sarà k • la retta che passa per A e H, essendo perpendicolare a r, • avrà il coefficiente angolare che sarà l’antireciproco di k, • cioè • il fascio di rette di centro A è FA: y – yA = k (x - xA) • per scrivere l’equazione della retta passante per A e H • e perpendicolare alla retta r, basta sostituire al k nel fascio per A • ottenendo • a questo punto si possono trovare le coordinate di H • risolvendo il sistema • - trovate le coordinate di H, si calcola la distanza tra A e H. • al termine di tutti questi passaggi si arriva alla formula • che è quella che viene usata per calcolare la distanza.

25. ESEMPIO Calcola la distanza del punto A(3, 4) dalla retta r: y = 2x +6 Senza fare tutti i passaggi descritti nella slide precedente, basta applicare la formula tenendo conto che = 2 , = 3, = 4 e n = 6