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LA RETTA. Forma generale dell’equazione della retta: ax+by+c=0 Dove :. LA RETTA. Forma esplicita dell’equazione della retta: È possibile dividere entrambi i membri dell’equazione generale della retta per b se ovvero se ovvero se la retta non è verticale!
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LA RETTA • Forma generale dell’equazione della retta: • ax+by+c=0 • Dove :
LA RETTA • Forma esplicita dell’equazione della retta: • È possibile dividere entrambi i membri dell’equazione generale della retta per b se • ovvero se • ovvero se la retta non è verticale! • Il risultato che si ottiene è:
LA RETTA • Ponendo: • Si ottiene: y=mx+q • Chiamata equazione esplicita della retta.
LA RETTA • Il punto Q di intersezione della retta con l’asse delle ordinate (la sua esistenza è garantita dall’ipotesi che la retta non è verticale!) ha ascissa 0 e ordinata q. Infatti : se x=0 allora y=m 0 + q =q q prende il nome di intercetta sull’asse y. • Il coefficiente di x viene denominato coefficiente angolare e risulta uguale al valore della tangente trigonometrica dell’angolo che la retta forma con il verso positivo dell’asse x.
LA RETTA • Si consideri un’impresa che presenta costi fissi pari a • e costi variabili unitari costanti pari a . La funzione dei costi totali assume la forma: • y = m x + q • Avendo indicato i costi totali con y, i costi fissi con q e i costi variabili unitari con m.
LA RETTA • Se il prezzo unitario di vendita del prodotto è costante e pari a allora la funzione dei ricavi totali si scrive : y = m x Come si può notare l’intercetta sull’asse y è nulla. In effetti se non si vende nulla non si ricava nulla!
LA RETTA • La funzione dei guadagni totali è definita come la differenza tra i ricavi totali e i costi totali: • Il punto E, intersezione tra la retta dei costi e la retta dei ricavi, viene chiamato punto di pareggio o break even point (BEP)
LA RETTA • Esempio 3.1 – Si consideri un’impresa che produce casseforti da muro. I costi fissi ammontano a 20.000€, mentre i costi variabili unitari (materie prime, mano d’opera) per produrre una cassaforte sono pari a 50€. Il prezzo al quale una cassaforte è venduta è fissato in 160€.
LA RETTA • Le 3 proprietà del coefficiente angolare. • P1) Se il coefficiente angolare mrdella retta r è positivo la retta è crescente; se mrè negativo la retta è decrescente; se mrè zero la retta è orizzontale. • P2) Se il coefficiente angolare mrdella retta r è maggiore del coefficiente angolare ms della retta s, allora la retta r cresce più rapidamente della retta s. • P3) Il coefficiente angolare indica la variazione che subisce l’ordinata di un punto mobile sulla retta quando si aumenta di 1 unità l’ascissa.
LA RETTA P1) Se il coefficiente angolare mrdella retta r è positivo la retta è crescente; se mrè negativo la retta è decrescente; se mrè zero la retta è orizzontale.
LA RETTA • P2) Se il coefficiente angolare mrdella retta r è maggiore del coefficiente angolare ms della retta s, allora la retta r cresce più rapidamente della retta s.
LA RETTA P3) Il coefficiente angolare indica la variazione che subisce l’ordinata di un punto mobile sulla retta quando si aumenta di 1 unità l’ascissa. Infatti : Se si considera: allora :
LA RETTA • Le rette sono crescenti perché i coefficienti angolari (rispettivamente 50; 160; 110) sono >0. • Il coefficiente angolare della retta dei ricavi totali (=160) è maggiore del coefficiente angolare della retta dei costi totali (=50) per cui, anche se in corrispondenza di x=0 i costi sono maggiori dei ricavi, per la proprietà 2 i ricavi raggiungono i costi ( in x= 181,82) e poi li superano. • Se si considera una produzione di x= 200 unità • i costi totali sono pari a 30.000€ • I ricavi totali sono pari a 32.000€ • I guadagni totali sono pari a 2.000€
LA RETTA • Se si aumenta di 1 il numero delle unità prodotte ( ovvero da 200 si passa a 201) allora le funzioni di costo, ricavi e profitti assumono i valori: • Costi totali 30.050 • Ricavi totali 32.160 • Guadagni totali 2.110 • L’aumento in ogni funzione è pari al valore del rispettivo coefficiente angolare (=50; =160; =110).
LA RETTA • Rette parallele e perpendicolari • Parallele se • Perpendicolari se • In quest’ultimo caso si ha: • In corrispondenza si ha:
LA RETTA • Intersezione tra due rette • Sia: • Il punto di pareggio (che esiste per la proprietà 2 dei c.a.) si ottiene risolvendo il sistema • La soluzione è data dalla coppia (x=20, y=400)
