Laiko eilučių modeliai Laiko eilutės išskaidymas , glodinimas ir filtravimas

1. Laiko eilučių modeliaiLaiko eilutės išskaidymas, glodinimasirfiltravimas 2014-09-11

2. Turinys • Laiko eilutės samprata • Laiko eilutės klasikinis išskaidymas • Laiko eilutės eksponentinis glodinimas • Laikoeilutės filtrai • Prognozių tikslumo matai

3. 1.Laiko eilutės samprata • Laiko eilutė (laiko seka) – periodiškų reiškinio stebėjimų visuma, kurių duomenys taitam tikrais laiko momentais fiksuoti stebėjimų dydžiai, arba per periodą stebimų dydžių suma. • Laiko eilutės gali būti suformuotos iš įvairaus dažnumo, tačiau vienodo periodiškumo duomenų: valandinių, kasdienių, savaitinių, mėnesinių, metinių ir pan.

4. Laiko eilutės samprata Laiko eilučių tipai: • Momentinės • Intervalinės

5. Laiko eilučių duomenų tipai: • Absoliutūs (Yt) • Absoliutūs pokyčiai/prieaugiai (ΔYt= Yt-Yt-1) • Augimo tempas (T= Yt./Yt-1) • Pokyčių tempas (Tpokyčių= ΔYt/Yt-1~ ln(Yt)

6. 3.Laiko eilutės išskaidymas slenkančių vidurkiu metodu Laiko eilutės (Yt ) komponentai: • trendas (T) • cikliniai svyravimai (C) • sezoniniai svyravimai (S), • atsitiktiniai svyravimai (A). Yt= f(Tt; Ct; St; At)

7. Laiko eilutės išskaidymas Du laiko eilutės išskaidymo būdai: • Sumos : • Sandaugos Yt= Tt + Ct + St+ At Yt= Tt٠ Ct٠ St٠ At

8. Laiko eilutės išskaidymasIšskaidymo būdo pasirinkimas Yt= Tt + Ct + St+ At Yt= Tt٠ Ct٠ St٠ At

9. Laiko eilutės išskaidymas Slenkančių vidurkių metodu Slenkančių vidurkių rūšys • Paprastas • Svertinis • Centruotas

10. Slenkančių vidurkių rūšysPaprastas • Suteikia vienodą svorį visiems slenkantį vidurkį sudarantiems n stebėjimams MAt= 1/n yt-n+i =1/n (yt+yt-1 +…+yt-n+1)

11. Slenkančių vidurkių rūšysSvertinis WMAt= (i*yt-n+i)/i = [nyt+(n-1)yt-1+…+1yt-n+1]/ [n+(n-1)+…+1] • Stebėjimųsvoriai yra skirtingi.Svoriųpriskyrimoschemosgalibūtiįvairios. Pavyzdyjepateikiamasvariantas, kaivėlesniam stebėjimuipriskiriamasvismažesnissvoris.

12. Slenkančių vidurkių rūšysCentruotas • CMAt= 1/n yi = 1/n [yt+(n-1)/2 + yt+(n-1)/2-1+…+ yt-(n-1)/2 ] • Išlyginimas realizuojamas pakeičiant pirminės laiko eilutės reikšmes vidurkiu, suformuotu iš vienodo skaičiaus prieš stebėjimą ir po stebėjimo esančių stebėjimų. • Šio slenkančio vidurkio trūkumas - vėliausiems periodams slenkantys vidurkiai nėra apskaičiuojami. • Slenkančio vidurkio dėmenų skaičius (n) turi būti nelyginis.

13. Laiko eilutės išskaidymasSezoniškumo indeksų nustatymasslenkančių vidurkių metodu • Slenkančių vidurkių metodu išlyginami pirminiai stebėjimai (Yt). Išlygintoje eilutėje: • (Tt٠Ct) arba (Tt+Ct) lieka • (St٠ At) arba (St + At) eliminuojama • Slenkantį vidurkį reikia papildomai centruoti, kai slenkančio vidurkio dėmenų skaičius yra lyginist.y. iš slenkančio vidurkio reikšmių apskaičiuoti dviejų dėmenų (n=2) slenkančius vidurkius,

14. DU_priv pradiniai duomenys ir išlyginta eilutė slenk. vidurkiais

15. Laiko eilutės išskaidymasSezoniškumo indeksų nustatymas • Sezoniškumo komponentės išskyrimas • Iš faktinių Ytreikšmių eliminuojant trendo ir ciklinių svyravimų bendrą komponentą, nustatomas bendras sezoniškumo ir atsitiktinumo komponentų dydis: • St+At = Yt - ( Tt+ Ct.) • St٠At = Yt / Tt٠ Ct

16. Laiko eilutės išskaidymasSezoniškumo indeksų nustatymas • Sezoniškumo komponentę išskiriame apskaičiuodami atitinkamų periodų (visų laiko eilutės atitinkamų ketvirčių, pvz., I ketvirčio) (St+At) arba (St٠At) reikšmių virdurkį. • Apskaičiuotas vidurkis yra atitinkamo periodo sezoniškumo indeksas -St

17. Darbo užmokesčio sezoniškumo indeksai

18. Užimtumo sezoniškumo indeksai

19. Laiko eilutės išskaidymasDuomenų desezonizavimas • Nustačius sezoniškumo komponentę, iš laiko eilučių pirminių duomenų eliminuojama jo įtaka: • Tt+Ct+At = Yt – St • Tt٠ Ct٠ At = Yt / St

20. Laiko eilutės išskaidymasTrendo nustatymas 4. Eliminavus sezoniškumą, galima nustatyti esminę laiko eilutės kitimo tendenciją-trendą • Trendas dažniausiai nustatomas MKM

21. Laiko eilutės išskaidymasTrendo nustatymas Dažniausiai naudojamos trendo funkcijos

22. Cikliniai svyravimai 5. Cikliniai svyravimai nustatomi eliminavus trendo komponentę iš išlygintos eilutės • Ct = (Tt+Ct)- Tt • Ct = Tt٠ Ct/ Tt

23. Išskaidyta du_priv laiko eilutė

24. Laiko eilutės išskaidymo privalumai ir ribotumai: • Privalumai: • Suprasti laiko eilutės sandarą ir kitimo aspektus • Naudinga preliminari priemonė prognozavimo metodams parinkti • Ribotumai: • Retai kada naudojama prognozavimui dėl ciklo ir atsitiktiniės komponenčių neprognozuojamumo

25. 4. Laiko eilutės eksponentinis glodinimas (EG) • Tai dar vienas būdas analizuoti ir prognozuoti laiko eilutes • EG būdai: • Paprastas • Dvigubas • Trigubas

26. Eksponentinis glodinimasPaprastas • S1= Y1 • S2= αY2+(1- α) S1 • Bendruatveju • St= αYt+(1- α) St-1, • St= α[Yt+(1- α)Yt-1+(1- α)2Yt-2+…]+(1- α)t-1Y1

27. Eksponentinis glodinimasPaprastas • Faktoriaus α ypatumai • 0 <α <1 • Yt labai stipri atsitiktinių svyravimų įtaka: • Yt - labai inertiškas procesas t.y.stipriai priklauso nuo Yt-1 • . α 1 α 0 • Faktoriaus αnustatymo būdai: • analitikonuožiūraparenkamasαišlyginimofaktorius • MKM nustatomas α toks, kuris minimizuoja paklaidų kvadratų sumą.

28. Eksponentinis glodinimasDvigubas (Holt’o tiesinis) • Jeigu laiko eilutė turi trendą, taikomas dvigubas eksponentinio išlyginimo metodas.

29. Eksponentinis glodinimasDvigubas (Holt’o tiesinis) • St= αYt+(1- α)(St-1+bt-1) Suglodinta stebėjimo reikšmė • bt=β(St-St-1)+(1- β)bt-1 Suglodinta trendo reikšmė • Ft+m=St+btm Prognozės reikšmė • α ir β glodinimo koeficientai • St – suglodinta t stebėjimo reikšmė • bt –trendo suglodinta t reikšmė • Ft+mprognozės reikšmės m- periodų į priekį

30. Eksponentinis glodinimasDvigubas (Holt’o tiesinis) • b0 glodinimo koeficiento nustatymo būdai: • b0 prilyginti 0 (tinka, kai eilutė yra ilga) • MKM apskaičiuoti pirmų penkių laiko eilutės narių trendo lygtį Yt=a+btir b0=b

31. Eksponentinis glodinimasTrigubas (Holt’oWinterio) glodinimas • Trigubas arba Holt‘oWinterio sezoninis glodinimas taikomas tuomet, kai laiko eilutei būdingas trendas ir sezoniniai svyravimai. • Sezoniškumas gali būti adityvus arba multiplikatyvus

32. Eksponentinis glodinimasTrigubas (Holt’oWinterio) glodinimas • α ir βir γglodinimo koeficientai • St – suglodinta t stebėjimo reikšmė • bt –trendo suglodinta t reikšmė • ct –sezoniškumo įtakos faktorius • Ft+mprognozės reikšmės m- periodų į priekį • L-periodų skaičius metuose (pvz. ketvirtiniuose duom. L=4, mėnesiniams L=12)

33. Eksponentinis glodinimastrigubas (Holt’oWinterio sezoninis) • b0ir c 1-L glodinimo koeficiento nustatymo būdai: • β0 prilyginti 0, o sezoniškumo indeksus c1-L=1 • MKM apskaičiuoti pirmų penkių laiko eilutės narių trendo lygtį Yt=a+btir β0=b

34. Eksponentinis glodinimas DU

35. Eksponentinis glodinimas DU Paprastas EG Dvigubas EG Prognozė Prognozė Prognozė Trigubas EG

36. Eksponentinis glodinimas UŽ

37. Eksponentinis glodinimas UŽ Paprastas EG Prognozė Prognozė Tribubas EG Prognozė

38. Kada kokį metodą taikyti Eksponentinis išlyginimasApibendrinimas

39. Kada kokį metodą taikyti Eksponentinis išlyginimasApibendrinimas

40. 5 Laiko eilučių filtrai • Filtrų tipai: • Hodrick-Prescott filtras • Dažnių filtras (magisratūroje)

41. Hodrick-Prescott filtras • Pagrindinėidėja: • laikoeilutė išskaidoma į trendo ir ciklo komponentes LaikosekaTrendasCiklas

42. Hodrick-Prescotfiltras • Filtro nustatymoprocedūra • Nustatomas ilgalaikis trendas τ • Randama ciklo kreivė ζ, atimant trendo reikšmes τ iš laiko eilutės Y duomenų,

43. Hodrick-Prescottfiltras • Trendo nustatymometodas Minimizuojami trendo nuokrypiai = maksimizuojamastrendo atitikimasduom. sekai Y Minimizuojamitrendo šuoliai = maksimizuojamastrendo tolygumas

44. Hodrick-Prescottfiltras λ - filtro suglodinimo (išlyginimo parametras) • kuo λ didesnis tuo labiau suglodinama trendo kreivė. • kai λ • Hodrick-Prescot siūlomos λ reikšmės 100 - metiniaiduomenys λ= 1600 ketvirtiniaiduomenys 14400 mėnesiniaiduomenys

45. Hodrick-Prescottfiltras Trendo nustatymoformulė τ= I –vienetinėTxTmatavimųmatrica K tai stačiakampė(T-2)xTmatavimų matrica, kurios elementai [yra lygūs: 1 , i=j arbai=j+2 -2 , kaii=j+1 0kitaisatvejais

46. Hodrick-Prescottfiltras 1 -2 1 0 0 0 …0 0 0 0 1 -2 1 0 0… 0 0 0 K= … …. … 0 0 0 0 0 1 -2 1

47. Hodrick-PrescottfiltrasPvz. 1 -2 1 0 0 K= 0 1 -2 1 0 0 0 1 -2 1 1+λ-2λλ0 0 I+λK’K= -2λ1+5λ -4λλ 0 λ-4λ1+6λ-4λλ 0 λ-4λ1+5λ-2λ 0 0 λ -2λ1+ λ

48. Hodrick-PrescottfiltrasPvz. 1+λ-2λλ0 0 -2λ1+5λ -4λλ0 = λ-4λ1+6λ-4λλ 0 λ -4λ1+5λ-2λ 0 0 λ-2λ1+ λ Tarkime turime metinius duomenis λ=100 Y = (2,4, 4, 5,3,1 )

49. Hodrick-PrescottfiltrasPvz. 101-2001000 0 2 -200501 -400 100 0 4 = 100-400601-400 100 0 100 -400 501 -200 5 0 0 100-2001013 Tarkime turime metinius duomenis λ=100 Y = (2,4, 4, 5,3 )

50. Hodrick-PrescottfiltrasPvz. 2 4 4 5 3 =