Ekonomini ų skaičiavimų modeliai

1. Ekonominių skaičiavimų modeliai Liepa Bikulčienė

2. Palūkanos ir palūkanų skaičiavimo formulės Aprašant pinigų srautus realiame laike svarbiausi faktoriai yra laikas ir palūkanų norma. Palūkanų norma yra santykis tarp pasiskolintų pinigų ir už juos gautų palūkanų per periodą, dažniausiai metus, procentais. Pavyzdžiui, jei reikia sumokėti 100 litų už tai, kad naudojomės 1000 Lt vienus metus, tai palūkanų norma yra 10%. Procentų procentuose (sudėtinėse palūkanose), palūkanos priskaičiuojamos periodo pabaigoje ir kitą periodą skaičiuojamos nuo kitos sumos.

3. Formulių kintamųjų pažymėjimai i - nominali metinė palūkanų norma n - palūkanų periodų skaičius, dažniausiai metais P – pagrindinė (pradinė) suma, kurią skolinamės dabar A – viena suma iš serijos n vienodų (periodinių) mokėjimų kiekvieno palūkanų periodo pabaigoje F – suma, praėjus n periodų, gauta iš pradinės sumos arba iš vienodų periodinių mokėjimų sumos, esant palūkanų normaii (galutinė suma)

4. Vieno mokėjimo sudėtinės sumos formulė (Single-Payment Compound-Amount Formula) Palūkanos, gautos per palūkanų periodą, pridedamos prie pagrindinės sumos, prasidedant naujam palūkanų periodui.Daugiklis (1+i)n vadinamas vieno mokėjimo sudėtinės sumos daugikliu ir žymimas. Šio daugiklio reikšmės pateiktos Appendix D lentelėse. Jis naudojamas išreikšti ryšį tarp pradinės sumos P ir galutinės sumos F, esant palūkanų normai i ir metų skaičiui n. Tada galutinė suma F=P(1+i)n. F=1000(1+0,1)6=1772

5. Vieno mokėjimo pradinės sumos formulė (Single-Payment Present-Amount Formula) Formulė gaunama išreiškus iš sudėtinės sumos formulės pradinę sumą. Daugiklis 1/(1+i)n vadinamas vienomokė- jimo pradinės sumos daugikliu ir žymimas Jis naudojamas išreikšti ryšį tarp galutinės sumos F ir pradinės sumos P, esant palūkanų normai i ir metų skaičiui n. P=F/(1+i)n. P=1000(1/(1+0.08)4)=735 Lt.

6. Lygių mokėjimų eilutės galutinės sumos formulė (Equal-Payment Series Compound-Amound Formula) Tarkime, kad pajamų ar išlaidų sumos ateina tolygiai kiekvienų metų gale. Formulė Daugiklis vadinamas lygių mokėjimų eilutės galutinės sumos daugikliu ir žymimas Jis naudojamas išreikšti ryšį tarp lygių mokėjimų A eilutės ir galutinės sumos F , esant palūkanų normai i ir metų skaičiui n. F=500(((1+0,09)4-1)/0,09)=2286,50 Lt

7. Lygių mokėjimų eilutės sumos padengimo formulė (Equal-Payment Series Sinking-Fung Formula) Formulė gaunama išsprendus ankstesnę pagal A: Daugiklis vadinamas vadinamas lygių mokėjimų eilutės sumos padengimo daugikliu ir žymimas Jis naudojamas išreikšti ryšį tarp galutinės sumos F ir lygių mokėjimų A eilutės, esant palūkanų normai i ir metų skaičiui n. A=5000((0,08/(1+0,08)10-1))=345 Lt

8. Lygių mokėjimų eilutės kapitalo grąžinimo formulė (Equal-Payment Series Capital-Recovery formula) Formulė gaunama vietoj F įrašius P(1+i)n: Daugiklis vadinamas lygių mokėjimų eilutės kapitalo grąžinimo daugikliu ir žymimas Jis naudojamas išreikšti ryšį tarp būsimos lygių mokėjimų A eilutės ir esamos vertės P, esant palūkanų normai i ir metų skaičiui n.

9. Lygių mokėjimų eilutės pradinės sumos formulė (Equal-Payment Series Present-Amount Formula) Išsprendus ankstesnę formulę pagal A: Daugiklis vadinamas lygių mokėjimų eilutės pradinės sumos daugikliu ir žymimas Jis naudojamas išreikšti ryšį tarp esamos vertės P ir būsimos lygių mokėjimų A eilutės, esant palūkanų normai i ir metų skaičiui n.

10. Geometrinio nuolydžio eilučių formulė (Geometric-Gradient-Series Formula) Metiniai pinigų srautai auga arba mažėja tuo pačiu procentu. Jei g naudosime aprašyti procentiniam augimui, lyginant procentinį srauto dydžio pasikeitimą su sekančiu, o t- tojo srauto didumą pažymėsime Ft, tai Įvesime laisvo augimo rodiklį g’. Tada

11. Ekonominių ekvivalentumų apibrėžimas Norint palyginti dvi ar daugiau situacijų, reikia charakteristikas pervesti į ekvivalenčias bazes. Dvi pinigų sumos yra ekvivalenčios, jei jos turi tą pačią vertę. Čia įtakos turi trys faktoriai – sumos reikšmės, sumų skaičiavimo laikas ir palūkanų norma. Ekvivalentumo galima apskaičiuoti arba rasti ekvivalenčias vertes iš funkcijų grafikų.

12. Palūkanų formulės ekvivalentiškumo skaičiavimai (Interest Formula Equivalence Calculations) P=1 Lt po 8 metų su palūkanų norma 10% yra ekvivalentiF=2.144 Lt, nes F=1(F/P,10,8)=2.144. Tai reiškia, kad dabar investavę 1 Lt po 8 metų turėsime 2,114 Lt, jei palūkanų norma yra 10%. Jei palūkanų norma yra 12%, galutinė suma yra 1 Lt, tai ekvivalenti pradinė suma prieš 10 metų buvo 0,322 Lt, nes P=1(P/F,12,10)=0,322. Tai reiškia, kad norėdami po 10 metų turėti 1 Lt, dabar turime investuoti 0,322 Lt, jei palūkanų norma yra 12%.

13. Ekvivalentumo funkcijų grafikai (Equivalence Function Diagrams) (1) Ekvivalentumui apibrėžti braižomos sumos kaip funkcija nuo palūkanų normos. Gauname, kad palūkanų norma turi būti apie 13%.

14. Ekvivalentumo funkcijų grafikai (Equivalence Function Diagrams) (2) Pradinės reikšmės gali būti braižomos ir kaip metų skaičiaus n f-jos. Pvz., kokia n reikšmė atitinka 4000 Lt pradinę sumą, ekvivalenčią 8000 galutinei, jei palūkanų norma i=8 procentai. Tai įvyks tarp 9 ir 10 metų.

15. Vienos alternatyvos skaičiavimas pagal faktus Daugeliu atvejų sprendimą galima pasirinkti iš kelių galimų alternatyvų, bet kartais apsiribojama viena alternatyva, kurią priimame arba atmetame. Kai egzistuoja tik viena parodoma galimybė, ji turi būti vertinama pasirinktos struktūros ribose ir pageidautina ją sulyginti su kitomis galimybėmis, kurios gali egzistuoti, bet nėra apibrėžtos. Dažniausiai naudojamos tyrimo bazės yra dabartinio, kasmetinio bei būsimojo ekvivalentumo skaičiavimas, grąžinimo palūkanų normos ir grąžinimo periodo skaičiavimai.

16. Pavadinimas Data Išlaidos Santaupos Pradinės išlaidos 0 28000 - Santaupos 1m. 1 - 9500 Santaupos 2 m 2 - 9500 Revizijos išlaidos 2 2500 - Santaupos 3 m 3 - 9500 Santaupos 4 m 4 - 9500 Dovanota suma 4 - 8000 Vienos alternatyvos pavyzdys (1)

17. Vienos alternatyvos pavyzdys (2) Palūkanų norma šiam projektui yra 12%. Nuotoliai ir santaupos gali būti pavaizduotos pinigų srauto diagrama

18. Vienos alternatyvos pavyzdys (3) Ekvivalentumo skaičiavimas remiasi pradinės ekvivalenčios sumos, kuri reiškia skirtumą tarp pradinių ekvivalenčių santaupų ir išlaidų, PE radimu, kai duota palūkanų norma. Kadangi pradinė ekvivalenti suma yra toli nuo nulio, tai galime pasirinkti palūkanų normą, lygią 12%.

19. Kasmetinis ekvivalentumo skaičiavimas (Annual Equivalent Evaluation) Kasmetinis ekvivalentumo skaičiavimas yra panašus į prieš tai pateiktą, išskyrus tai, kad skirtumas tarp santaupų ir išlaidų išreiškiamas metine ekvivalentumo suma AE: Šie rezultatai reiškia, kad jei 28000$ yra investuoti pradžioje su 12% jie ekvivalentiški 1299$ sumai pirmais, antrais, trečiais ir ketvirtais metais.

20. Būsimo ekvivalentumo skaičiavimas (Future Equivalent Evaluation) Būsimo ekvivalentumo skaičiavimas pagrįstas ekvivalenčia sumaFE, kuri išreiškia skirtumą tarp būsimų ekvivalenčių santaupų ir būsimų išlaidų duotai palūkanų normai. Kadangi būsima ekvivalenti suma yra toli nuo 0, palūkanų norma, lygi 12%, yra tinkama.

21. Grąžinimo normos skaičiavimas (Rate-of-Return Evaluation) Randama tokia palūkanų norma, kad išlaidų ir santaupų srautai, įvertinus juos pagal įvairias vertes (būsimą, esamą arba kasmetinę) sutaptų. Ši palūkanų norma žymima i* ir matematiškai tenkina lygtį Ankstesnio pavyzdžio atveju, apskaičiavus būsimas ekvivalenčias sumas, pasirinkus palūkanų normas 15% ir 20%, ir interpoliavus, gauname i*=8,15%. Tai reiškia, kad išlaidas kompensuosime santaupomis per 4 metus, jei palūkanų norma bus 18,15%.

22. Išmokų skaičiavimas (Payout Evaluation) Išmokos periodas yra laikas, reikalingas išlyginti skirtumą tarp pajamų (santaupų) ir išlaidų. Taip pat pajamos ir išlaidos gali būti išlygintos ir kasmetiniame ekvivalentumo skaičiavime. Apskaičiavus būsimas ekvivalentines sumas, esant 3 ir 4 metų išmokos trukmei ir interpoliavus, išsimokėjimo laikas yra 3,3 metų Tai reiškia, kad išlaidas kompensuosime santaupomis(pajamomis) per 3,3 metus, jei palūkanų norma bus 12%.

23. Kasmetinė ekvivalenti turto vertė (Annual Equivalent Cost of an Asset) Kasmetinis ekvivalentumo skaičiavimas taikomas turto vertei skaičiuoti. Turto vertė susideda iš dviejų komponentų: nuvertėjimo kainos ir palūkanų kainos balanse be nuvertėjimo. Kasmetinė ekvivalentinė turto kaina gali būti randama turint pradinę kainą P, tyrimo laikotarpį n, palūkanų normą i ir tiriamą sprendimo reikšmę F. Pavyzdžiui, jei turime turtą, kurio pradinė kaina 5000, tiriamas laikotarpis 5 metai, palūkanų norma 10%, likutinė vertė 1000, tai kasmetinės ekvivalentinės kainos yra

24. Daugelio alternatyvų skaičiavimas pagal faktus Kai skirtingos alternatyvos duoda tas pačias reikšmes, reikia jas tiesiogiai lyginti vieną su kita. Kai skirtingos reiškinių reikšmės priklauso nuo daugelio alternatyvų, viena iš jų gali būti paskaičiuota kaip pagrindinė, remiantis prieš tai buvusiais skaičiavimais. Daugeliu atvejų galimų alternatyvų rezultatai yra identiški ar vienodi pagal reikšmes. Esant šiai sąlygai geriausia yra pasirinkti tą alternatyvą, kuri duoda norimą reiškinį už mažiausią kainą.

25. Uždavinio pavyzdys Tarkime, kad apsaugos rangovas įvertino pajamas iš naujų testavimo įrengimų. Pusiau automatinis įrenginys kainuoja 110000 Lt ir gali būti naudojamas daugiausiai 6 metus, su likutine verte 10000 Lt. Darbo kaina yra 28000 Lt per metus. Visiškai automatinis įrenginys kainuoja 160000 Lt, gali veikti 6 metus ir turi likutinę vertę 14000 Lt. Darbo kaina yra 12000 Lt per metus. Tarkime, kad aprūpinimas bus identiškas. Esant apibrėžtai palūkanų normai 14%, alternatyvos pasirinkimo kriterijus yra mažesnė kaina.

26. Dabartinio ekvivalentumo skaičiavimas (Present Equivalent Evaluation) Dabartinė ekvivalentinė pusiau automatinio įrenginio kaina, kai palūkanų norma yra 14%: Dabartinė ekvivalentinė visiškai automatinio įrenginio kaina, kai palūkanų norma yra 14%: Šis palyginimas rodo, kad visiškai automatinio įrenginio dabartinė ekvivalentinė kaina yra mažesnė nei pusiau automatinio 14042 Lt.

27. Kasmetinio ekvivalentumo skaičiavimas (Annual Equivalent Evaluation) Kasmetinė ekvivalentinė pusiau automatinio įrenginio kaina,kai palūkanų norma yra 14%: Kasmetinė ekvivalentinė visiškai automatinio įrenginio kaina,kai palūkanų norma yra 14%: Šis palyginimas rodo, kad visiškai automatinio įrenginio kasmetinė ekvivalentinė kaina yra mažesnė nei pusiau automatinio 3611 Lt.

28. Grąžinimo normos skaičiavimas (Rate-of-Return Evaluation) Rasime, kokiai palūkanų normai esant, abu įrenginiai kainuos vienodai. Palyginsime abiejų įrenginių sąlygas tam pačiam laikotarpiui. Pasirinkus palūkanų normas 20% ir 25%, apskaičiavus dabartines vertes ir interpoliavus palūkanų normos reikšmes, gauname 23,6%. Jei palūkanų norma bus mažiau 23,6%, labiau apsimokės visiškai automatinis įrenginys, jei daugiau - labiau apsimokės pusiau automatinis įrenginys.

29. Išmokos skaičiavimas (Payout Evaluation) Kai vartojimo laikas yra 6 metai, alternatyvos pasirinkimas priklauso tik nuo kainų. Jei vartojimo laiką galima sumažinti ar pratęsti, pasirinkti alternatyvą galima ir remiantis vartojimo laiku. Lyginsime abu įrenginius ir rasime, kokiam vartojimo laikuiabiejų kainos sutaps. Pasirinkus laikus 4 ir 5 metai, apskaičiavus dabartines vertes ir interpoliavus, gauname 4,12 metų. Vadinasi, jei vartojimo laikas bus mažesnis nei 4,12 metų, labiau apsimokės pusiau automatinis įrenginys, jei didesnis - visiškai automatinis įrenginys.

30. Gyvavimo ciklo ekonominis skaičiavimas (Life-Cycle Economic Evaluation) Ekvivalentiškumo matas yra apibrėžtas netradiciniu būdu. Dvi projekto idėjos vertinamos pagal kainas.

31. Gyvavimo ciklo ekonominis skaičiavimas (Life-Cycle Economic Evaluation) Įmanoma palyginti projekto idėjas pagal ekvivalentiškas kainas gaminimo fazėje (tai taškas, kai sistema įeina į operaciją). Projektui A: Projektui B, gyvavimo ciklo ekvivalentinė kaina Pagal šį palyginimą, A projektas yra geresnis nei B.

32. Sprendimai, apimantys daug kriterijų Sprendimai, apimantys daug kriterijų, naudojami, kai į sprendimo priėmimą įtraukiami ekonominiai ir neekonominiai faktoriai. Pagal ekonominius įvertinimus visiškai automatinis įrenginys yra geresnis. Tačiau, jei rangovas susiduria su biudžeto, reikalingo įrenginio paleidimui, apribojimu, arba yra kažkokių paleidimo problemų, gali būti pasirinkta ir kita alternatyva. Nors A projektas turi mažiausią dabartinę ekvivalentinę kainą, bet viršija biudžeto ribojimą. B projektas viršija kasmetinio aptarnavimo biudžetą.

33. Daugelio alternatyvų su daug ateičių skaičiavimas Technikos firma daro unikalios mašinos projektą. Kadangi firma turi per mažai finansų, kad pati pradėtų gaminti, reikia skolintis kapitalo iš finansinių šaltinių. Firma rado tris šaltinius A,B ir C, kurie gali paskolinti pinigų gamybai. Kiekvienas iš šių šaltinių siūlo pinigus, remdamasi būsimu gaminio pardavimu ir naudos skirtingą palūkanų normą, besiremiančią gaminio paklausa. Jei tikimasi, kad gaminio paklausa kelis metus bus maža, skolintojai reikalaus didelės palūkanų normos, ir atvirkščiai.

34. Paklausos lygis Šaltinis Finansavimo šaltinis Paklausos lygis Pradinės išlaidos Paklausos lygis Metinės pajamos Palūkanų norma Žemas Vidutinis Aukštas Žemas 500 400 A Žemas Vidutinis Aukštas 15 13 7 A 413 353 362 Vidutinis 1300 700 B 429 382 320 Aukštas 2000 900 B Žemas Vidutinis Aukštas 14 12 8 C 343 411 406 C Žemas Vidutinis Aukštas 15 11 6 Laukiamos mašinos gamybos išlaidos ir pajamos Laukiamos gamybos finansavimo palūkanos Trijų šaltinių dabartinės ekvivalentinės atsiskaitymo sumos

35. Tikimybinis alternatyvų pavyzdys Jei firma taiko tikimybes kiekvienai iš būsimų paklausos lygių, finansiniai sprendimai susiduria su rizika. Jei tikimybė, kad paklausos lygis bus žemas yra 0,3, kad vidutinis – 0,2 ir aukštas – 0,5, dabartinės ekvivalenčios mokėjimų sumos kiekvienam šaltiniui yra tokios: Šaltinis A: 413*0,3+353*0,2+362*0,5=376 Šaltinis B: 429*0,3+382*0,2+320*0,5=365 Šaltinis C: 343*0,3+411*0,2+406*0,5=388 Todėl C finansinis šaltinis pažymimas kaip perspektyviausias sprendimas.

36. Laplaso kriterijaus alternatyvų pavyzdys Tuo atveju, kai firma neturi ateities paklausų tikimybių, sprendimas priimamas tiesiogiai. Pagal Laplaso kriterijų, jei visos perspektyvos galimybės vienodai tikėtinos, ekvivalenti atsiskaitymo suma skaičiuojama taip: Šaltinis A: (413+353+362)/0,3=376 Šaltinis B: (429+382+3200)/3=377 Šaltinis C: (343+411+406)/3=386 Šiuo atveju C finansinis šaltinis taip pat pažymimas kaip perspektyviausias sprendimas.

37. Maximin alternatyvų pavyzdys Pagal Maximin taisyklę, firma skaičiuoja mažiausią dabartinę ekvivalentinę sumą kiekvienam finansiniam šaltiniui ir po to išrenka iš jų maksimumą. Šiuo atveju minimumai kiekvienam šaltinius bus tokie: Šaltinis A: 353 Šaltinis B: 320 Šaltinis C: 343 A Finansavimo šaltinis gal būti pasirinktas kaip perspektyviausias sprendimas, nes suma yra didžiausia iš minimalių dabartinių ekvivalentinių sumų.

38. Maximax alternatyvų pavyzdys Pagal Maximax taisyklę, firma skaičiuoja didžiausią dabartinę ekvivalentinę sumą kiekvienam finansiniam šaltiniui ir po to išrenka iš jų maksimumą. Šiuo atveju maksimumai kiekvienam šaltinius bus tokie: Šaltinis A: 413 Šaltinis B: 429 Šaltinis C: 411 B Finansavimo šaltinis gal būti pasirinktas kaip perspektyviausias sprendimas, nes suma yra didžiausia iš maksimalių dabartinių ekvivalentinių sumų.

39. Pelno ir nuostolių pusiausvyros ekonominiai skaičiavimai Nenuostolingumo (susibalansavimo, pusiausvyros) analizė gali būti atliekama grafiškai ar matematiškai. Kiekvienu atveju randamas pusiausvyros taškas, įvertinant palūkanų normą, kuriame pajamos ir išlaidos sutampa. Kada dviejų ar daugiau alternatyvų kainos yra to paties kintamojo funkcijos, paprastai naudinga rasti kintamojo, pagal kurį alternatyvos turi tą pačią kainą, vertę.

40. Gaminimo ar pirkimo skaičiavimas (Make-or-Buy Evaluation) Firma turi pasirinkimą pirkti arba pagaminti reikiamą produkto gamybai komponentą. Vienetų per metus skaičius, kuris sulygintų šias dvi alternatyvas, padėtų priimti tinkamą sprendimą. Bendra sudėtinė kaina yra suformuluota kaip funkcija nuo pagamintų vienetų. Jei poreikis bus didesnis nei 3000 vnt. per metus, gaminimo alternatyva ekonomiškesnė. Jei naudojimo norma yra mažesnė nei 3000 vnt. per metus, geresnė yra pirkimo alternatyva.

41. Gaminimo ar pirkimo skaičiavimas (grafikas)

42. Nuomos ar pirkimo skaičiavimas (Lease-or-Buy Evaluation Kitas pusiausvyros analizės pavyzdys yra sprendimas nuomotis ar pirkti įrangos dalį.

43. Įrengimų atrankos skaičiavimas (Equipment Selection Evaluation) Visiškai automatinis valdiklis gali būti pagamintas už 140000 ir turi 20000 likutinę vertę ketvirtų metų pabaigoje. Aptarnavimas kainuoja 12000 per metus, o operacijos kaina yra 85 per valandą. Pusiau automatinis valdiklis gali būti pagamintas už 55000. Jis neturi likutinės vertės. Operacijų ir aptarnavimo kaina yra 140/valandą. Kai palūkanų norma 10%, kasmetinė ekvivalenti bendra kaina yra funkcija nuo vartojimo valandų per metus. Palyginę abi sumas, gauname pusiausvyros reikšmę, kuri lygi 625 valandų per metus.

44. Pelningumo skaičiavimas (Profitability Evaluation) Tiesinė pusiausvyros analizė naudinga naujos produkcijos pelno efektyvumui tirti, kai ta produkcija dar negaminama ir apie ją neturima jokių duomenų. Ekonominė įmonės sėkmė priklauso nuo sugebėjimo tiekti ir jo aktyvumo, kuris išreiškiamas skirtumu tarp pajamų ir gamybos kainos. Gaminio pagaminimo kaina keisis priklausomai nuo pagaminto per metus kiekio. Taip pat galima pastovius ir kintamus kaštus bei pajamas apskaičiuoti kiekvienam produkcijos vienetui, priklausomai nuo jų kiekio per metus.

45. Paklausa vienetais 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Tikimybė 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,15 0,1 Gaminimo kaina, 18000 20000 22000 24000 26000 28000 30000 Pirkimo kaina 12000 16000 20000 24000 28000 32000 36000 Pusiausvyros analizė pagal riziką Prieš tai tyrėme gaminimo ar pirkimo alternatyvas, įvertindami įvairius paklausos lygius. Realiai sprendimų priėmėjas nežino, koks bus paklausos lygis.

46. Pusiausvyros analizė pagal riziką(pavyzdys) Paklausa gali būti apskaičiuota imant paklausos grupes su tikimybėmis:15000·0,05+2000·0,1+25000·0,15+ +3000·0,3+3500·0,25+4000·0,15+4500·0,1=3175. Čiapagaminimo kaina yra TCM=12000+4·3175=24700. Pirkimo alternatyvoje TCB=4·3175=25400. Vadinasi, labiau apsimoka gaminti. Kaip alternatyvą galima būtų skaičiuoti sprendimą, pagrįstą labiausiai tikėtina paklausos grupe, pagal lentelę, 3500 vnt. Tada pagaminimo kaina būtų 26000, o pirkimo 28000, ir sprendimas liktų toks pats – geriau gaminti nei pirkti.