GEOMETRINIAI MODELIAI

1. GEOMETRINIAI MODELIAI Matematika geografijoje II dalis

2. Geografinė informacija • Geometriniai aspektai yra ypač svarbūs dirbant su geografine informacija. Geografinė informacija tai taškai, linijos, paviršiai, kūnai, erdvės-laiko objektai. • Pagrindiniai klausimai, į kuriuos dažniausiai reikia atsakyti, tai: • Objektų padėties nustatymas • Informacijos vaizdavimas • Erdvinės savybės ir ryšiai • Transformacijos • Aprašomoji geometrija užsiima matavimais (kampų, atstumų ir kt.). • Topologinė geometrija tiria formas. • Fraktalų geometrija tiria matavimų skaičių, struktūros reguliarumą ir fragmentaciją – ji taikoma tiriant neapibrėžtus, netolydžius objektus.

3. Objektų erdvinės savybės (1) Jei laikysime geografinius objektus griežtai apibrėžtais ir lokalizuojamais, galima kalbėti apie jų savybes, susijusias su padėtimi erdvėje: ilgį, plotį, tūrį, formą, kontūro taisyklingumą, orientaciją, centrą ar centrinę liniją ir kt. Vienoje objektų klasėje gali būti apibrėžtos specifinės statistikos: minimumas, maksimumas, rangai, vidurkiai, nuokrypiai.

4. Objektų erdvinės savybės (2) Kai kuriomis erdvinėmis savybėmis pasižymi ne atskiri objektai, o jų aibės. Pagrindinės grupinės savybės yra: struktūra, išsidėstymas, atstumas, sąskaida, ryšiai, srautai, sekos. Tikslumo ir matavimo paklaidos klausimai šiuo atveju yra antraeiliai.

5. Objektų erdvinės savybės (3) Reikia skirti objektų savybes, kurios matuojamos naudojant koordinates nuo ne metrinės informacijos apie objekto kokybę – tai topologinės savybės: jungumas, kryptis, sąlytis, įdėtumas. Kai kurios savybės gali būti matuojamos abiem būdais, pavyzdžiui atstumas metrais arba autobuso stotelių skaičiumi. Ryšiams identifikuoti ir matuoti įvedama speciali objektų klasė – diada (pora). Tai nebūtinai yra fizinė esybė, bet ji svarbi daugeliui uždavinių ir gali būti išreikšta grafiškai. Kai kalbama apie skirtingas temas, turi prasmę erdvinės kovariacijos (kolokacijos) sąvoka: lyginamas dviejų reiškinių pasiskirstymas erdvėje ir jų tarpusavio santykis (persidengimas, sankirta ir pan.).

6. Erdviniai objektai (1) Erdviniai vienetai gali būti nagrinėjami pagal erdvės matavimų skaičių, erdvinių savybių tipą arba derinimo būdus. Įprasta klasifikuoti pagal matavimų skaičių (ne erdvės, nes praktiškai visi geografiniai objektai yra trimačiai, bet pagal objekto matavimo galimybę). Taško, linijos, arealo ir bloko sąvokas atitinka 0, 1, 2 ir 3 matavimai: nematuojamas, ilgis; ilgis ir plotis; ilgis, plotis ir gylis/aukštis. Praktiškai taškas turi dydį žemėlapyje, tiesiog į jį nekreipiama dėmesio. Rezoliucija rodo, kokio dydžio objektus galima pavaizduoti žemėlapyje. Matavimo tikslumas laikomas dvigubai mažesniu už rezoliuciją. Taškai apibrėžti duotam stebėjimo masteliui aprašomi bent dviem padėties charakteristikomis, identifikatoriumi ir papildomais atributais. Žemėlapyje taškas gali būti paprasta lokacija, arba reikšti kitus objektus – užrašą ar sutartiniu ženklu žymimą objektą.

7. Erdviniai objektai (2) Linijos (angl.: polyline, arc, edge) – tai keliai, upės, ryšių linijos. Jos gali egzistuoti kaip atskiros esybės arba būti sujungtos į tinklą. Būdingi linijos atributai – ilgis, orientacija, glodumas. Arealai (angl.: polygon, region, zone) – žemės paviršiaus esybės, kurių aukštis nenurodomas. Jie atitinka natūralius (dirvožemiai, ežerai, salos, pastato stogas) ar dirbtinius (statistinius) objektus, pavyzdžiui, rajonai. Tai taip pat gali būti tolydžios erdvės diskretizacijos, pavyzdžiui, klimato zonos. Jų ribos yra linijiniai objektai, kurie ne visada svarbūs arba gali nebūti tiesiogiai stebimi, kintantys. Būdingi arealo atributai – plotas, perimetro ilgis, izoliuotumas ar sąsajos, forma, pavyzdžiui, skylės, enklavo, eksklavo buvimas, kontūro tipas, persidengimas su kitais objektais ir pan. Blokai (angl.: solid, block, polyhedron) – tai trimačiai dariniai. Jie, kaip ir arealai, gali turėti aiškias arba neapibrėžtas ribas, o be to, ribojantį paviršių (angl.: shell). Būdingi bloko atributai – tūris, paviršiaus plotas, pjūvis ir pan.

8. Geometrija (1) Tašką sukuria linijų sankirta arba galai. Jis neturi dydžio. Linija yra vizualiai suvokiama kryptinga jungtis tarp dviejų taškų. Linijos kryptimi ji matuojama, taip atskiriant padėtį erdvėje nuo objekto matavimų skaičiaus. Uždara linija nurodo arealą. Pagrindinės geometrinės esybės. Viršūnė (mazgas). Tai taškas, kuriame linija baigiasi ar kertasi su kita linija. Ši esybė pasižymi jungumo su linijomis savybe. Briauna (atkarpa). Tai linija, kurios abu galai baigiasi viršūnėmis. Sritis. Tai plotinė figūra, apribota mažiausiai trijų briaunų Kūnas. Tai tūrinė figūra, turintį vidų ir išorę, apribota paviršiaus plokštumų, kurios turi bendras viršūnes ir briaunas. Kūnai gali būti taisyklingi ir netaisyklingi.

9. Geometrija (2) Klasifikuoti kiekvieno matavimo objektus galima įvairiai. 1988 JAV Nacionalinis skaitmeninių kartografinių duomenų standartų komitetas rekomendavo naudoti tokia kategorijas (0–2D objektams). 0D Taškas-esybė (vaizduoja realų objektą) Taškas-žymė (tekstinio objekto atramos taškas) Centroidas (arealo atributų nešėjas) Mazgas (topologinė jungtis ar galinis taškas tinkle) 1D Segmentas (tiesi linija, jungianti du taškus) Laužtė / grandinė (linija, sudaryta iš kelių segmentų) Orientuota briauna ar grandinė Pilna grandinė (jei dar nurodyta kairė ir dešinė pusės) Žiedas (uždara linija) 2D Vidinė sritis (be ribos) Poligonas (su išoriniu žiedu) Kompleksinis poligonas (su vidiniais žiedais)

10. Geometrija (3)

11. Geografinių uždavinių tipai (1) • Geografai bando su erdve susijusias problemas organizuoti semantiškai. Taip išskirtos uždavinių kategorijos yra: • judėjimas, srautai, pavyzdžiui, gyventojų ar oro masių; • tinklai (keliai, vamzdynai…); • mazgai (sankirtos taškai, pavyzdžiui, stotys); • hierarchijos (miestų pagal administracinę reikšmę); • laukai, paviršiai (reiškinio paplitimas erdvėje); • difuzija (temporalinė paplitimo analizė). • Toks požiūris natūralus ir atspindi gamtos bei visuomenės struktūrą. • Kai kurie geografiniai uždaviniai yra susiję su laiku. Laikas gali būti diados atributas (pavyzdžiui, kelionės laikas tarp dviejų stočių). Jis gali tapti kritiniu veiksniu, pavyzdžiui, tiriant infekcinės ligos plitimą. Erdvė ir laikas tam tikra prasme yra vieningi,

12. Geografinių uždavinių tipai (2)

13. GI sistemų tipai • Galima išskirti keletą geografinės informacinės sistemos orientavimo krypčių: • automatinis kartografavimas (replikavimas pervedant į rastrinį formatą); • teminis kartografavimas, taip pat kompozicinis kartografavimas perdengiant sluoksnius; • geografinių duomenų analizė ir charakteristikų (pavyzdžiui, kalvų formos) matavimas; • geografinių statistikų analizė, t.y., uždaviniai, kai specifinės savybės traktuojamos kaip atributai, pavyzdžiui, koreliacija tarp autostradų tinklo jungumo ir regiono ekonominio išsivystymo; • geografinė analizė naudojant imitaciją; • geografinių duomenų peržiūra; • paieška pagal nurodomas sąlygas; • uždavinių sprendimas atliekant ir geografinį, ir loginį dedukcinį pagrindimą.

14. GI sistemų uždaviniai

15. Erdvinėsužklausos

16. Padėtis erdvėje ir atstumas (1) • Padėtis. • Daugelyje pažinimo sričių labai svarbu nustatyti skirtingų objektų padėtį. Matematikai yra sukūrę daug sistemų ir priemonių aprašyti objektams erdvėje. • Objekto padėtis koordinačių sistemoje gali būti nusakyta įvairiai. • 2, 3, ar daugiau matavimų (padėtis plokštumoje, erdvėje ar erdvėje-laike) ir kitos geometrinės nuorodų sistemos savybės (Dekarto, polinė ir kt.) • Tolydžios ar diskrečios nuorodos • Izotropinės ar anizotropinės sąlygos • Formos ir atstumų kitimas laike ir keičiant mastelį • Kokybinių ir kiekybinių savybių erdvėje matavimas • Objektų kontūrai: aiškūs ar neapibrėžti; kintantys. • Tai yra, kalbant apie padėtį, reikia atsižvelgti į erdvės geometrines savybes, metriką ir paties objekto prigimtį.

17. Padėtis erdvėje ir atstumas (2) • Pirmosios koordinačių sistemos sukurtos daugiau kaip prieš 2000 metų. Kartografijoje naudojama Dekarto koordinačių sistema, kuri yra susieta su geografinių koordinačių sistema (ilguma, platuma). Euklido geometrija yra naudojama identifikuoti absoliutinei padėčiai ir matuoti atstumams. • Geografiniai objektai yra lokalizuoti koordinačių sistemoje. Tarus, kad jie turi griežtas ribas, t.y., kad juos galima atpažinti, turi būti ir galimybė juos pasiekti. • Tai yra lokatorius – metodas nustatyti absoliutinei ar santykinei objektų padėčiai. • Nuoroda į padėtį erdvėje gali būti: • - Dekarto ar polinės sistemos koordinatės; • - kaimynų nurodymas; • - linijinis lokatorius (pvz., kelio kilometras); • - apimantis stačiakampis; • - vardas ar skaitinis kodas; • - nuorodos į erdvės blokus (nebūtinai reguliarius, pvz., žemėlapį, lapą, valstybę).

18. Objektų padėtis

19. Padėtis erdvėje ir atstumas (3) Dažniausiai padėtis nusakoma dvimatės ar trimatės erdvės srityse koordinačių poromis ar tripletais. A (ρ,φ) ir A (x1, y1) ρ = √((x1- x0)2+(y1- y0)2) φ = arcsin (y/ ρ) = arccos (x/ ρ) arba x = ρ cos φ; y = ρ sin φ. A(x1, y1) O(x0, y0) Dekarto ir polinės koordinatės naudojamos skirtingais atvejais, pavyzdžiui, kraštovaizdžio architektui, planuojančiam parko teritoriją, nereikia žinoti geografinės ilgumos ir platumos, bet ji būtina kalbant apie globalią geoinformacinę sistemą.

20. Padėtis erdvėje ir atstumas (3a) Atskaitos taško parinkimas taip pat gali tapti problema. Dažniausiai koordinačių ašys yra statmenos, t.y., laikomos tarpusavyje nepriklausomomis. Tačiau gali būti situacijų, kai pasirenkamos pasvirusios ašys, parodant jų tarpusavio sąryšį, pavyzdžiui, naudojant kai kuriuos statistinius metodus. Padėties nustatymą komplikuoja tai, kad: Geografinių objektų kontūrai ne visada yra aiškiai apibrėžti Kontūrai kinta laike A(x1, y1) O(x0, y0) Miškas Kalva Ežeras Miestas

21. Padėtis erdvėje ir atstumas (4) Diskrečių objektų padėtis gali būti nurodyta adresu, aprašymu (topologinė charakteristika) arba apimančiu bloku. Pastatas parko pakraštyje, už tvenkinio, fasadu į gatvę Aptarnaujamas rajonas Varnų g. 6

22. Padėtis erdvėje ir atstumas (5) Atstumas Ilgio matmuo ypač svarbus. Matavimo metrika – tai atstumas tarp objektų erdvėje. Metrika – tai reali funkcija ρ, apibrėžta aibėje X ir kiekvienai porai (x,y) iš X priskirianti skaičių ρ(x,y), vadinamą atstumu. Metrika turi tenkinti sąlygas: ρ(x,y) >= 0; ρ(x,y) = 0 tada ir tik tada, kai x=y ρ(x,y) = ρ(y,x) ρ(x,z) <= ρ(x,y) + ρ(y,z) Jei funkcija netenkina 2 sąlygos, ji vadinama kvazimetrika. Pavyzdžiui, jei gatvė yra vienos krypties. Jei funkcija gali įgyti neigiamas reikšmes, ji vadinama pseudometrika. Kiekvienoje aibėje galima apibrėžti diskrečią metriką : ρ(x,y) = 1, jei x nelygu y ir 0, jei x=y.

23. Padėtis erdvėje ir atstumas (6) Viena aibė gali turėti kelias skirtingas metrikas, pavyzdžiui, Euklido plokštumoje tarp taškų x = (x1,x2); y = (y1,y2): ρ1(x,y) = ρ2(x,y) = max (|x1-y1|, |x2-y2|); ρ3(x,y) = |x1-y1|+|x2-y2|; y(y1, y2) y2 x2 x(x1, x2) x1 y1

24. Padėtis erdvėje ir atstumas (7) Atstumai priklauso nuo erdvės geometrijos tipo. Erdvės nereguliarumas iškreipia atstumų matavimus. Pasiekiamumas pagal savo prigimtį yra daugialypė sąvoka. Atstumai, išmatuoti žemėlapiuose, ar gauti kokiu nors kitu būdu, gali būti didesni arba mažesni, negu realūs. Kartais svarbiausias yra temporalinis atstumas. Nors vertindami atstumą dažniausiai remiamės Euklido geometrija, kitos geometrijos gali pasirodyti labiau tinkamos. Kartais apskritai geriau atstumą įvertinti ne pagal koordinates, o topologiškai. toli arti

25. Padėtis erdvėje ir atstumas (8) Plokštumoje Dekarto koordinačių sistemoje, kai erdvė tolydi, atstumai skaičiuojami naudojant koordinačių porų duomenis Manheteno atstumas yra ne trumpiausia linija, o atstumas taškus jungiančiomis gatvėmis. Taip išmatuotas atstumas visada būna ne mažesnis už tiesioginį. Jis gali būti matuojamas virš paviršiaus arba realiais judėjimo keliais.

26. Padėtis erdvėje ir atstumas (9) Atstumas erdvės tinkle. Pasirenkant tolydaus lauko modelį, dažniausiai neįvertinamos realios kliūtys ir judėjimo kanalai. Galima laikyti, kad judėjimas galimas tik tinkle, bet ne visoje plokštumoje. Neatitikimas tarp tiesinio ir realaus atstumo tinkle tuo didesnis, kuo netaisyklingesnis ar retesnis yra tinklas. Be to, galima įvertinti ne tik fizinį atstumą tinkle, bet ir judėjimo skirtingomis atkarpomis kainą.

27. Padėtis erdvėje ir atstumas (10) Neplanarinis atstumas. Norint dar tiksliau nustatyti fizinį atstumą, reikia žinoti reljefo aukščio gradientus ir į juos atsižvelgti. Be abejo, atstumai ant trimačio paviršiaus ne mažesni už planarinius. Atstumai gali būti įvertinti klaidingai, jei naudojamos netinkamos projekcijos, pavyzdžiui, stačiakampė projekcija, labai iškraipanti tikruosius atstumus ir dydžius – tokių dabar atsisakoma.

28. Padėtis erdvėje ir atstumas (11) Žmonės keliones žemės paviršiumi dažnai vertina pagal sąnaudas – kainą arba sugaištą laiką. Transporto planuotojai, miestų geografai ir kt. kuria metodus erdvinei varžai matuoti. O kartografai turi metodus pavaizduoti santykines padėtis skirtingose metrikose, nors tai ne visada yra lengva. Kai erdvė tolydi, atstumus galima vertinti pagal įvairiu būdu išskirtas artimumo zonas, dažniausiai apibrėžiamas azimutinėse sistemose Jos, pavyzdžiui, sukuriamos prekybos centrams, taip parodant santykines jų pasiekimo sąnaudas. Perdengiant zonas, lengva palyginti atstumus: pavyzdžiui, nuo A iki C atstumas yra 7, nuo A iki B – tik 5.

29. Padėtis erdvėje ir atstumas (12) Akumuliaciniai atstumai – nuo vieno taško iki daugelio kitų taškų – naudojami pasiekiamumo žemėlapiams sudaryti. Atstumai skaičiuojami statistiškai, įvertinant skirtingus kelius, skirtingu laiku, ir išvedant vidurkį. Izolinijos (izochronos) rodo, kurias vietas galima pasiekti per tiek pat laiko vienetų

30. Padėtis erdvėje ir atstumas (13) Anizotropinėmis sąlygomis reguliarias struktūras iškreipia barjerai (įveikiami arba ne). Jei barjeras yra neįveikiamas (siena, valstybės siena) – atstumas gali virsti begaliniu. Įveikiami barjerai didina laiko sąnaudas/kainą arba mažina pralaidumą. Atstumai skaičiuojami atskirai kiekvienam segmentui su skirtinga erdvės varža ir sudedami. Izolinijos (izochronos) rodo, kurias vietas galima pasiekti per tiek pat laiko vienetų

31. Padėtis erdvėje ir atstumas (14) Anizotropinėmis sąlygomis skaičiuojant atstumus reikia atsižvelgti į daug faktorių. Pavyzdžiui, didėjant skrydžio nuotoliui, kelionės lėktuvu kaina kinta logaritmiškai – mažėja kiekvienam 1000 km. Dažnai pavaizduoti tokiems atstumams naudojami kintantys masteliai. Dar sudėtingesnė yra situacija, kai reikia įvertinti atstumus nuo keleto taškų. Tam naudojami specialūs kartografavimo metodai, pavyzdžiui, izolinijų aibės. Jos naudojamos ir kognityviniams žemėlapiams sudaryti. Matematiškai galima įrodyti, kad kai kurių atstumų neįmanoma parodyti žemėlapyje – tenka naudoti diadų matricas.

32. Užduotys • Ar funkcija yra metrika? • Q(x,y) = |x2 - y2| realiųjų skaičių tiesėje • Q(x,y) = (x12 + y12)/2 Euklido plokštumoje • Q(x,y) = 1, jei x>y, 0 jei x=y, -1 jei x<y sveikųjų skaičių aibėje • Q(x,y) = 0, jei x ir y lytis sutampa, 1 jei priešinga pelių aibėje • Aukštų skaičiaus skirtumas pastatų aibėje • Q(x,y) = 5, jei x≠y, 0 jei x=y, sveikųjų skaičių aibėje

33. Linijų vaizdavimas (1) • Kalbant apie geografinius objektus, dažniausiai kyla du klausimai: • Kaip generalizuoti? • Kaip vaizduoti? • Paveiksle parodyti galimi kreivių vaizdavimo būdai. • Generalizavimas – tai sudėtingo kontūro aproksimavimas panašiu su mažesniu skaičiumi būdingų taškų.

34. Linijų vaizdavimas (2) Kartografijoje naudojami metodai, kurie eliminuoja taškus sistemingai iš visų turimų digituotų ar kitaip įrašytų duomenų. Idealiu atveju turi išlikti visi pagrindiniai formos elementai ir topologinės savybės. Tokie taškai vadinami topologiniais mazgais, tarp kurių yra leistinos formos variacijos, pagal tai, kiek ta forma svarbi (pavyzdžiui, generalizuojant Lietuvos kontūrą paliekama Kuršių nerija). Paveiksle matyti, kaip generalizuojant upės liniją pasikeičia topologija: viena gyvenvietė nebe ant upės, kita – nebe prie upės. Vadinasi, kai kurie taškai (pavyzdžiui, objektų sąlyčio ir sankirtos) turi išlikti savo vietose bet kuriuo atveju.

35. Linijų vaizdavimas (3) Paprasčiausia generalizavimo procedūra – išmesti kas kelintą tašką. Tačiau ji visai negarantuoja, kad bus išsaugota forma. Yra daug kitokių procedūrų, orientuotų į formos išlaikymą. Panagrinėsime tris iš jų. 1. Kampų ir atstumų cenzas Išmetami taškai, kurie yra arba per arti kaimynų, arba per mažu kampu nukrypę nuo jų. Užduodamas minimalus leistinas atstumas ir kampas. Tada 3 taškus apimantis langelis slenka linija ir jame taikoma ši procedūra: antrajam taškui įvertinamas atstumas nuo prieš tai buvusio ir kampas, sudaromas atkarpų 1-2 ir 2-3. Jei vienas iš šių dydžių (arba abu) yra per mažas, antrasis taškas išmetamas.

36. Linijų vaizdavimas (4) 2. Kito tipo (greitesnis) algoritmas, įvertinantis kampus ir atstumus Linijos galai sujungiami tiesia linija ir matuojami visų taškų atstumai statmeniu iki tos linijos. Jei atstumai yra mažesni už nurodytą tolerancijos atstumą, atitinkami taškai išmetami. Tolimiausias taškas imamas kaip nauja viršūnė ir procedūra kartojama abiems linijos dalims.

37. Linijų vaizdavimas (5) 3. Kodavimas kryptimis Galima kreivės atkarpas koduoti ir kryptimis, paskui išmetant pasikartojančias. Kuo daugiau numatyta krypčių, tuo tikslesnė bus aproksimacija. Bet apskritai, operuojant kodais generalizuoti yra sunkiau.

38. Linijų vaizdavimas (6) Aproksimavimas. Splainai Tuo pačiu tikslu – sumažinti informacijos kiekį – linijos gali būti vaizduojamos kreivėmis. Splainas – tai kreivė, priderinama prie digituotos laužtės, kuri prieš tai dar gali būti generalizuota. Kreivė gali kirsti arba liesti linijos segmentus. Saugoma kreivės lygtis tarp charakteringų taškų, o tarpiniai taškai gaunami iš lygties. Taip laužtė aproksimuojama kreive.

39. Linijų vaizdavimas (7) • Idealiu atveju aproksimuojanti kreivė turi tenkinti šias savybes: • Ji turi eiti per visus charakteringus taškus. • Kreivės liestine 1 taške gali būti tik vienas aproksimuojamos laužtės segmentas arba kreivė kerta vienintelį segmentą. • Kreivė turi būti tolydi, glodi ir gražiai išreiškiama matematiškai. • Splainas – tai dizainerių naudojamas lekalas. Jis pagal kreivumo spindulius priderinamas prie būdingų kontūro taškų. • Matematiškai tai yra funkcija y = f(x); Čia f dažniausiai yra polinominė funkcija, t.y., • f(x) =Σ aixi, čia i kinta nuo 0 iki n.

40. Linijų vaizdavimas (8) Kubinis splainas (n = 3) dažniausiai naudojamas ir geriausiai tinka 4 iš eilės einantiems taškams aproksimuoti. Jis lengvai apskaičiuojamas ir gali atitinkti pakankamai sudėtingą kontūrą. Polinomo koeficientai išskaičiuojami įvairiais metodais, dažniausiai statistiniais. Polinominės funkcijos gali būti naudojamos ne tik kreivėms, bet ir paviršiams modeliuoti.

41. Linijų vaizdavimas (9) Pavyzdys. Paprasčiausias aproksimavimo metodas. Turime keturis taškus Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje: A(-2,1), B(0,0), C(1,1), D(2,3). Aproksimuosime laužtę kubiniu polinomu y = ax3+bx2+cx+d. Pareikalausime, kad jis eitų per visus tris duotus taškus ir sudarysime 4 lygčių sistemą. -8a+4b-2c = 1; a+b+c = 1; 8a+4b+2c = 3; d = 0. Ats.: a = d = 0, b = c = 1/2, y = 1/2x2+1/2x. Pavyzdys. Dar kartą paprasčiausias aproksimavimo metodas. Turime 4 taškus Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje: A(-2,1), B(0,0), C(2,2), D(3,1). Aproksimuosime laužtę kubiniu polinomu y = ax3+bx2+cx+d. Pareikalausime, kad jis eitų per visus tris duotus taškus ir sudarysime 4 lygčių sistemą. Ats.: a = -1/24, b = 3/8, c = -5/16, d = 0. Ir ištirkime funkcijas: minimumo, maksimumo taškai, vingio taškai, išgaubtumas.

42. Linijų vaizdavimas (10) Pagrindinė aproksimavimo polinomais problema yra ta, kad kiekvieną x gali atitikti tik viena y koordinatė, todėl kai kurių kreivių pavaizduoti neįmanoma. Mažiausiai, gali prireikti papildomų procedūrų, pavyzdžiui, pasukti koordinačių ašis ar kitaip transformuoti. Dar patogesnė yra parametrinė išraiška, kai vietoje vienos lygties kreivei aprašyti sudaromos dvi lygtys, naudojant parametrą t. Pavyzdys. Parametrinė atkarpos lygtis Turime du taškus Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje: A(x1, y1), B(x2, y2). x = t*x2+(1-t)*x1 y = t*y2+(1-t)*y1 ; t iš intervalo [0,1] Tokiu būdu perbėgami visi atkarpos taškai. Sudėtingiau, kai reikia parametrine forma aprašyti kreivės lanką, pavyzdžiui, apskritimo. x = Rcosα + x0 y =Rsinα + y0 R = R√ (x0 - x1)2+(y0 - y1)2

43. Linijų vaizdavimas (11) Ne kiekviena kreivė turi paprastą algoritmą jai generuoti. Bet yra kreivių šeima (Bezjė kreivės, sukurtos Reno automobilių kompanijai, Hermito ir kt.), kurių bendra išraiška: x(t) = at3+bt2+ct+d. y(t) = et3+ft2+gt+h. jei kreivė trimatė, dar reikia atsižvelgti į z koordinatę: z(t) = pt3+qt2+rt+s ; t iš intervalo [0,1] Čia, kaip ir funkcinėje išraiškoje, geriausia pusiausvyra tarp skaičiavimų sudėtingumo ir aproksimacijos tikslumo pasiekiama kubiniais polinomais: x(t) = A(t)x1+ B(t)x2+ C(t)x3+ D(t)x4 ir t.t. A(t)… S(t) – specialios kubinių polinomų funkcijos.

44. Linijų vaizdavimas (12) Kreivės gali būti skirtingos, priklausomai nuo skirtingų galinių ir vidinių taškų įtakos ir kitų reikalavimų.

45. Linijų vaizdavimas (13) Svarbi kreivės glodumo sąvoka – tai yra, kiek kartų ji tolydžiai diferencijuojama. Kreivės glodumo reikalavimas išreiškiamas išvestinių lygybe sandūros taškuose. Viena lygtis ir kelių taškų koordinatės pakeičia ilgas digituotų koordinačių sekas. Tarpiniai taškai apskaičiuojami. Toks informacijos saugojimo metodas vadinamas intensyviu. Jis labai tikslingas kranto linijoms, upėms, mažiau – geležinkeliams, administracinėms riboms. Ekstensyvus saugojimas Intensyvus saugojimas Intensyvus saugojimas nėra geras sprendimas

46. Interpoliavimas ir ekstrapoliavimas (1) Interpoliavimas ir ekstrapoliavimas – tai dydžio nežinomų reikšmių nustatymas remiantis žinomomis reikšmėmis. Dažnai turime nepakankamai informacijos, tarkim keletą reljefo aukščio taškų, geologinių gręžinių, duomenų apie gyventojus ir pan. Jei reikia informacijos apie kokį nors parametrą nežinomuose taškuose, tenka “atspėti” (pav, b).

47. Interpoliavimas ir ekstrapoliavimas (2) Paprasčiausiu atveju turim 2 taškus (x0, y0) ir ( x1, y1). Bet kuris taškas tarp jų: y = (x-x0)(y1-y0)/(x1-x0) + y0 Tiesė, einanti per taškus (1,1) ir (3,2): y = (x+1)/2 A(x1, y1) O(x0, y0) ?

48. Interpoliavimas ir ekstrapoliavimas (3) Interpoliaciniai polinomai. Tarkime, kad keletui taškų (xi, yi) žinomos n kartų tolygiai diferencijuojamos funkcijos reikšmės y(xi), i = 0, 1…n. Reikia rasti y(x), kai x nesutampa nė su vienu xi. Sudaromas interpoliacinis polinomas, kurio reikšmės taškuose xi sutampa su funkcijos reikšmėmis yi, i = 0, 1…n. Lagranžo formulė: A(x1, y1) O(x0, y0) ? Pn(x) = ? * yk

49. Interpoliavimas ir ekstrapoliavimas (4) Pavyzdys Pritaikysime Lagranžo formulę 3 taškams: Turime 3 taškus Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje: A(1, 3), B(2,1), C(4,2). n = 2. P2(x) = (x-2)(x-4) * 3 + (x-1)(x-4) * 1 + (x-1)(x-2) * 2 (1-2)(1-4) (2-1)(2-4) (4-1)(4-2) Polinomai nėra vienintelis būdas rasti funkcijos reikšmei nežinomuose taškuose.

50. Interpoliavimas ir ekstrapoliavimas (5) Tarkime, kad turimi duomenys – taškai plokštumoje, o nežinoma informacija – funkcijos reikšmė tuose taškuose. Tai – paprasčiausias atvejis. Interpoliavimu vadinsime procesą, kurio metu randamos funkcijos reikšmės tarpiniuose taškuose; ekstrapoliavimu – kai randamos funkcijos reikšmės taškuose, esančiuose už turimos imties ribų. Abiems procesams naudojami panašūs metodai. - Artimiausios reikšmės - Vidutinės reikšmės - Tiesinės interpoliacijos - Interpoliacijos splainais - Tikimybinės (stochastinės) interpoliacijos - Interpoliavimas pagal modelį