1 / 118

Pertemuan ke 17

Pertemuan ke 17. BAB VII. ALJABAR BOOLEAN. George Boole (1815-1864). De Morgan (1806-1871). De Morgan dan George Boole adalah dua orang ahli matematika yang mengembangkan logika klasik menjadi logika modern atau logika simbolik. 1. Definisi Aljabar Boolean.

marci
Download Presentation

Pertemuan ke 17

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Pertemuan ke 17

  2. BAB VII ALJABAR BOOLEAN

  3. George Boole (1815-1864) De Morgan (1806-1871) De Morgan dan George Boole adalah dua orang ahli matematika yang mengembangkan logika klasik menjadi logika modern atau logika simbolik

  4. 1. Definisi Aljabar Boolean • Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan · , dan sebuah operator uner, ‘ ,. • Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka tupel (B,+, · ,’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c  B, berlaku aksioma-aksioma berikut :

  5. Postulat Huntington

  6. Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang ada di dalam B. • Elemen 0 disebut elemen zero. • Elemen 1 disebut elemen unit. • Operator + disebut operator penjumlahan. • Operator . disebut operator perkalian. • Operator ‘ disebut operator komplemen.

  7. Perbedaan Aljabar Boolean dengan Aljabar biasa untuk aritmetika bilangan riil: 1.Hukum distributif yang pertama, a.(b+c) = (a.b) + (a.c) Hukum distributif yang kedua, a+(b.c) = (a+b) . (a+c), benar untuk aljabar boolean tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.

  8. 2.Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian dan kebalikan penjumlahan, karena itu tidak ada operasi pembagian dan pengurangan. 3.Aksioma nomor 4 mendefinisikan operator komplemen yang tidak ada pada aljabar biasa.

  9. 4.Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang tidak berhingga banyaknya. Sedangkan Aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean 2 nilai, B didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya dua nilai, 0 dan 1.

  10. Contoh 7.1 Misalkan : B = { 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 } adalah pembagi dari 70 Pertanyaan : Tunjukkan cara membentuk B menjadi sebuah aljabar Boolean! Penyelesaian :

  11. Elemen-elemen himpunan B sudah didefinisikan. Sekarang kita tentukan kaidah operasi untuk operator +, · , dan ‘. Selanjutnya kita definisikan : a + b = KPK (a,b) a . b = PBB (a,b) a’ = 70/a Selanjutnya kita harus menunjukkan bahwa B memenuhi Postulat Huntington.

  12. 1. Identitas i) a + 1 = KPK (a,1) = a ii) a . 70 = PBB (a,70) = a 1 adalah elemen identitas (elemen zero) untuk operasi penjumlahan. Sedangkan 70 adalah elemen identitas untuk operasi perkalian (elemen unit) 2. Komutatif i) a + b = b + a = KPK ( a,b) ii) a . b = b . a = PBB ( a,b)

  13. 3. Distributif (gunakan contoh nilai) i) 10.(5+7) = PBB (10,KPK (5,7)= PBB(10,35) = 5 (10.5)+(10.7)= KPK(PBB(10,5),PBB(10,7)= KPK(5,1) = 5 ii) 10 +(5.7) = KPK(10,PBB(5,7) = KPK(10,1) = 10 (10+5).(10+7) =PBB(KPK(10,5),KPK(10,7)=PBB(10,70)= 10

  14. 4. Komplemen i) a + a’ = KPK (a,70/a) = 70 ii) a.a’ = PBB(a,70/a) = 1

  15. 2. Aljabar Boolean Dua Nilai • Pada aljabar Boolean terhingga, banyaknya anggota B terbatas, tetapi paling sedikit beranggotakan dua buah elemen karena di dalam B harus terdapat dua elemen yang berbeda. • Aljabar Boolean dua nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan 2 buah elemen 0 dan 1 (dinamakan bit – singkatan dari binary digit), yaitu B = {0,1}, operator biner, +, dan . , operator uner,’ .

  16. Tabel Operator

  17. Selain secara aljabar, fungsi Boolean juga dapat dinyatakan dengan tabel kebenaran dan dengan rangkaian logika. Untuk fungsi Boolean dengan n buah peubah, kombinasi dari nilai peubahnya adalah sebanyak 2n. Misalkan n = 2, maka akan terdapat 22 = 4 baris tabel. Misalkan n = 3, maka akan terdapat 23 = 8 baris tabel.

  18. Tabel 7.4

  19. 3. Ekspresi Boolean • Definisi : • Misalkan (B, +, .,’,0,1) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, .,’) adalah : 1. Setiap elemen di dalam B 2. Setiap peubah 3. Jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2;e1 ·e2 ; e1’ adalah ekspresi Boolean.

  20. Menurut definisi 7.2, 0 1 a b c a + b a .b a’. (b+c) a . b’+ a . b . c’+ b’ Adalah ekspresi Boolean.

  21. Peubah Boolean • Peubah (variabel) x disebut peubah Boolean atau peubah biner jika nilainya hanya dari B. • Ekspresi Boolean yang mengandung n peubah dinamakan ekspresi Boolean bagi n peubah. • Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.

  22. Contoh 7.2 Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b

  23. Perjanjian penulisan ekspresi Boolean • Selain menggunakan tanda kurung, operator ‘ mempunyai prioritas lebih tinggi daripada operator + dan . • Untuk menyederhanakan tulisan, notasi . boleh tidak dituliskan , jadi a.b ditulis ab saja.

  24. 4. Prinsip Dualitas • Definisi : • Misalkan S adalah kesamaan (identity) didalam Aljabar Boolean yang melibatkan operator + , . , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti ; . dengan + + dengan . 0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.

  25. Contoh 7.3 Tentukan dual dari (i) a + 0 = a a . 1 = a (ii) (a . 1)(0 + a’) = 0 (a + 0)+(1 . a’) = 1 (iii) a(a’+ b) = ab a + a’b = a + b (iv) (a + b)(b + c) = ac + b ab + bc = (a + c)b (v) (a + 1)(a + 0) = a (a . 0)+(a . 1) = a

  26. 5. Hukum-Hukum Aljabar Boolean

  27. Hukum-hukum aljabar Boolean dapat diperoleh dari hukum-hukum himpunan maupun logika dengan cara mempertukarkan tanda-tanda disamping.

  28. Hukum ke ii dari setiap hukum diatas merupakan dual dari hukum ke i

  29. (2i) a + a = (a + a)(1) (hukum Identitas) = (a + a)(a + a’) (hukum Komplemen) = a + aa’ (hukum Distributif) = a + 0 (hukum Komplemen) = a (hukum Identitas) (2ii) aa = aa + 0 (hukum Identitas) = aa + aa’ (hukum Komplemen) = a(a + a’) (hukum Distributif) = a . 1 (hukum Komplemen) = a (hukum Identitas) (2ii adalah dual dari 2i)

  30. Contoh 7.4 Buktikan bahwa untuk sembarang elemen a dan b dari aljabar Boolean maka kesamaan berikut a+a’b = a+b dan a(a’+b) = ab Adalah benar. (i) a + a’b = (a + ab)+ a’b (hukum Penyerapan) = a +(ab + a’b) (hukum Asosiatif) = a + (a + a’)b (hukum Distributif) = a + 1 . b (hukum Komplemen) = a + b (hukum Identitas) (ii) a(a’ + b) = aa’ + ab (hukum Distributif) = 0 + ab (hukum Komplemen) = ab (hukum Identitas)

  31. Pertemuan ke 18

  32. 6. Fungsi Boolean • Definisi : Fungsi Boolean disebut juga fungsi biner adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean. f : Bn B Yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

  33. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x,y,z) = xyz+x’y+y’z. Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x,y,z) ke himpunan {0,1}. Contoh pasangan terurut ganda-3 misalnya (1,0,1) yang berarti x = 1, y = 0, z = 1 sehingga f(1,0,1) = 1.0.1+1’.0+0’.1 = 0+0+1 = 1.

  34. Contoh-contoh Fungsi Boolean • f(x) = x • f(x,y) = x’y + xy’ + y’ • f(x,y) = x’y’ • f(x,y) = (x + y)’ • f(x,y,z) = xyz’

  35. Setiap peubah didalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya disebut literal. Fungsi h(x,y,z) = xyz’ pada contoh terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y dan z’. Fungsi tersebut berharga 1 jika x = 1, y = 1 dan z’ = 0, sebab h(1,1,0) = 1.1.0’ = (1.1).1 = 1

  36. Selain secara aljabar, fungsi Boolean juga dapat dinyatakan dengan tabel kebenaran dan dengan rangkaian logika. Untuk fungsi Boolean dengan n buah peubah, kombinasi dari nilai peubahnya adalah sebanyak 2n. Misalkan n = 3, maka akan terdapat 23 = 8 baris tabel.

  37. 4 peubah 3 peubah 2 peubah

  38. Contoh 7.5 Diketahui fungsi Boolean f(x,y,z) = xyz’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.

  39. 7. Penjumlahan dan Perkalian Dua Fungsi • Misalkan f dan g adalah dua buah fungsi Boolean dengan n peubah, maka penjumlahanf + g didefinisikan sebagai : (f+g)(x1+ x2+… +xn)= f(x1+ x2+… +xn) + g(x1+ x2+… +xn) Sedangkan perkalianf.g didefinisikan sebagai : (f.g)(x1+ x2+… +xn)= f(x1+ x2+… +xn) g(x1+ x2+… +xn)

  40. Contoh 7.6 Misalkan f(x,y) = xy’+y dan g(x,y) = x’+y’ maka h(x,y) = f+g = xy’+y + x’+y’ yang bila disederhanakan lebih lanjut menjadi h(x,y) = xy’+x’+(y+y’) = xy’+x’+1 = 1 (hukum dominansi ii  berapapun +1 =1) Dan i(x,y) = f.g = (xy’+y)(x’+y’)

  41. 8. Komplemen Fungsi • Bila sebuah fungsi dikomplemenkan, maka akan diperoleh fungsi komplemen. • Fungsi komplemen berguna pada saat melakukan penyederhanaan fungsi Boolean. • Fungsi komplemen dari suatu fungsi f dapat dicari dengan 2 cara, yaitu : • Menggunakan Hukum De Morgan. • Menggunakan prinsip Dualitas.

  42. Cara pertama : menggunakan hukum De Morgan • hukum De Morgan untuk dua peubahx1 dan x2 • (x1+x2)’ = x1’. x2’ dan dualnya (ii) (x1. x2)’ = x1’+x2’ • hukum De Morgan untuk tiga peubahx1, x2 dan x3 • (i)(x1+x2+x3)’ = (x1+y)’ yang dalam hal ini y = x2+x3 • = x1’. y’ • = x1’(x2+x3)’ • = x1’. x2’. x3’ Contoh 7.7 Misalkan f(x,y,z) = x(y’z’+yz), maka fungsi komplemennya adalah f(x,y,z) = (x(y’z’+yz))’ = x’+(y’z’+yz)’ = x’+(y’z’)’. (yz)’ = x’+(y+z)(y’+z’)

  43. Cara kedua : menggunakan prinsip dualitas. Contoh 7.8 Misalkan f(x,y,z) = x(y’z’+yz), maka dual dari ekspresi Booleannya adalah = x+(y’+z’)(y+z) komplemen tiap literal dari dual diatas menjadi = x’+(y+z)(y’+z’) Jadi f ‘(x,y,z) = x’+(y+z)(y’+z’)

  44. 9. Bentuk Kanonik • Ekspresi Boolean yang menspesifikasikan suatu fungsi dapat disajikan dalam dua bentuk berbeda, yaitu : 1. Penjumlahan dari hasil kali (sum- of-product atau SOP) f(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz 2. Perkalian dari hasil jumlah (product- of- sum atau POS) g(x,y,z) = (x+y+z) (x+y’+z) (x+y’+z’) (x’+y+z’) (x’+y’+z)

  45. Bentuk suku ( term) • Setiap suku di dalam ekspresi mengandung literal yang lengkap dalam peubah, x, y, z, baik peubahnya tanpa komplemen maupun dengan komplemen. • Ada 2 macam bentuk suku, yaitu minterm (hasil kali) dan maxterm ( hasil jumlah).

  46. Minterm dan Maxterm Suku-suku di dalam ekspresi Boolean dengan n peubah x1, x2,… ,xn , dikatakan minterm jika suku tersebut muncul dalam bentuk : dan dikatakan maxterm jika muncul dalam bentuk:

  47. Cara membentuk Minterm dan Maxterm • Untuk minterm setiap peubah yang bernilai 0 dinyatakan dalam bentuk komplemen. • Untuk maxterm setiap peubah yang bernilai 0 dinyatakan tanpa komplemen. • Minterm dilambangkan dengan huruf m berindeks. • Maxterm dilambangkan dengan huruf M berindeks.

  48. Tabel kebenaran minterm dan maxterm 2 peubah.

More Related