CURVAS CON HERRAMIENTAS CAD

1. CURVAS CON HERRAMIENTAS CAD Representación y Visualización Ing. Guillermo Verger Sistemas de Representación

2. Objetivo Presentar las curvas y superficies curvas más conocidas, obtener su representación gráfica para apreciar la forma del elemento geométrico, comprenderlo y trabajar con él. La discución de una ecuación y su representación gráfica constituyen, en conjunto, un problema de tan gran importancia en todas las ramas de la matemática y sus aplicaciones, que se le ha dado el nombre especia de 'Construcción de Curvas'

3. Introducción • Una capacidad interesante de la herramienta CAD que utilizamos es el manejo que tiene de todos los elementos geométricos; puntos, rectas, curvas, superficies planas y curvas, sólidos. A esto se agrega a la obvia aplicación de modelar y representar objetos en diferentes sistemas. • Se tiene entonces una herramienta que puede considerarse de propósito general. • En la cátedra nos hemos propuestos diferentes desafíos en relación con el aprovechamiento de la herramienta. Así es como se han desarrollado nuevos métodos para la resolución de problemas típicos de la geometría descriptiva. La experimentación también colaboró en el mejoramiento progresivo de las soluciones encontradas.

4. CLASIFICACIÓN • Pre-definidas por Autocad. Se trazan por comandos y asignación de parámetros. • Circunferencias y elipses. Sería ideal tener un comando similar al de estas curvas para todas las curvas que se quisieran trazar. • Espirales y hélices. No es posible utilizar puntos de las mismas que surjan por intersección. • No pre-definidas por Autocad. Se deben determinar los puntos de paso • por cálculo: Se determinan las coordenadas de una cantidad adecuada de puntos. • por método de trazado; similar al trazado con instrumentos tradicionales.

5. Ejemplos de Curvas Planas En lo que sigue se presentan ejemplos de trazado de diferentes tipos de curvas. • Cónicas. Parábola e Hipérbola • Cíclicas • Funciones Circulares • …

6. Elipse • Definición • Curva plana, cerrada, simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí que se intersecan en el punto medio de ambos y que resulta ser el centro de la elipse. Sobre el mayor de los ejes se ubican dos puntos fijos llamados focos. Los puntos de la elipse cumplen la condición que la suma de sus distancia a los focos es constante e igual a la longitud del eje mayor. • Se puede trazar una elipse especificando sus ejes.

7. Parábola • Definición • Curva plana, abierta, de una sola rama, simétrica respecto de un eje, sobre el que se ubica un punto fijo llamado foco. Los puntos de la parábola cumplen la condición de equidistar del foco y de una recta normal al eje llamada directriz. • Métodos de trazado • Construcción geométrica • A partir de una ecuación • Puntos de apoyo linea SPLINE • Se puede trazar una parábola especificando su eje, el vértice y un punto de paso. • Se determinan el simétrico del punto dado (respecto del eje de la parábola y el vértice de control de la línea spline (a una distancia del eje igual a la del punto dado). Línea spline por vértices de control.

8. Parábola • Definición • Curva plana, abierta, de una sola rama, simétrica respecto de un eje, sobre el que se ubica un punto fijo llamado foco. Los puntos de la parábola cumplen la condición de equidistar del foco y de una recta normal al eje llamada directriz. • Métodos de trazado • Construcción geométrica • A partir de una ecuación • Puntos de apoyo linea SPLINE • Se puede trazar una parábola especificando su eje, el vértice y un punto de paso. • Se determinan el simétrico del punto dado (respecto del eje de la parábola y el vértice de control de la línea spline (a una distancia del eje igual a la del punto dado). Línea spline por vértices de control.

9. Parábola JUSTIFICACIÓN DE SU CONSTRUCCIÓN Se genera la misma parábola anterior como sección plana de una superficie cónica. Ver SeccPlanaCono-Parabola-6.dwg Despues de construir una parábola especificada por un punto de paso y su vértice como resultante de una sección plana, llegamos a la conclusión que se puede construir perfectamente como spline por vértices de control. Grado: 3 Propiedades: Plana, Racional, No periódica Rango de parámetros: Inicio 13.7771 Fin 185.2414 Número de puntos de apoyo: 3 Puntos de apoyo: X = 1280.0000, Y = 50.0000 , Z = 0.0000 Peso 1.0000 X = 1400.0000, Y = 100.0000 , Z = 0.0000 Peso 1.0000 X = 1280.0000, Y = 150.0000 , Z = 0.0000 Peso 1.0000

10. PARABOLA CÚBICA X**3 en el intervalo 0-2

11. Hiperbola En splines cuadráticas de tres vértices, cuando el peso de los vértices extremos es 1, el peso del vértice intermedio determina el tipo de cónica resultante (arco elíptico, parábola o hipérbola) EDITSPLINE 000-CONICA-SPLINE.DWG

12. Funciones Trigonométricas o Circulares: Sinusoide • Circunferencia de radio adecuado. • Dividir la circunferencia en partes iguales. Comando DIVIDE. 16 partes. • Trazar línea de eje alineada con centro de la circunferencia • Dividir el eje en igual cantidad de partes como la circunferencia. Comando divide(16) • Trazar líneas auxiliares para determinar los puntos de paso de la curva. • 000-sinusoide.dwg

13. Espiral de Arquímedes. • Definición: Curva que se aleja del centro proporcionalmente al ángulo girado alrededor del mismo. • Datos: Paso 12 mm, 3 vueltas • Método 1: por puntos según cálculo. • Método 2: por construcción geométrica

14. Espiral de Arquímedes. • Método 2: comando HELICE y altura cero. • La espiral generada de esta forma no admite su utilización para determinar puntos de intersección.

15. Espiral logarítmica Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Su nombre proviene de la expresión de una de sus ecuaciones: También se puede escribir como

16. Espiral Aurea

17. TROCOIDES (CÍCLICAS - 1) Trocoide: del griego 'trocos' = ‘círculo, rueda’ y el sufijo 'oide' = ‘parecido a’ Dicen que la rueda es el invento más impactante del mundo. Es lógico entonces que existan varias curvas vinculadas a la rueda. Trocoide es la curva descripta por un punto ubicado a una distancia 'c' del centro de una circunferencia generatriz (ruleta) de radio 'r' que rueda, sin resbalamiento, sobre una línea directriz (curva o recta). Para pensar: Como es la forma de la curva que describe el extremo del pedal de una bicicleta?...

18. TROCOIDES (CÍCLICAS - 2) …Trocoide acortada

19. TROCOIDES (CÍCLICAS - 3) … o un punto en la parte externa de la llanta de una rueda de tren?

20. Cicloide • Cicloide es una trocoide en la que la distancia del punto generador al centro de la circunferencia generatriz es igual a su radio y la linea directriz es una recta. • Ecuación paramétrica de la cicloide: (t-sen t, 1-cos t)

21. Epicicloide es una trocoide en la que la distancia del punto generador al centro de la circunferencia generatriz es igual al radio de ésta última que gira en el exterior de una circunferencia directriz. Epicicloide

22. Hipocicloide (1) Hipocicloide es una trocoide en la que la distancia del punto generador al centro de la circunferencia generatriz es igual al radio de ésta última que gira en el interior de una circunferencia directriz.

23. Hipocicloide (2) • Ejercicios de trazado • Hipocicloide de tres puntas o deltoide (figura). • a = 60 • b = 20 • c = 20 • Hipocicloide de cuatro puntas o astroide • a = 80 • b = 20 • c = 20

24. Hipotrocoide • Hipotrocoide de tres puntas • a = 60 • b = 20 • c = 40 • Hipotrocoide de cinco puntas • a = 100 • b = 20 • c = 10

25. Hipotrocoide • Hipotrocoide de cinco puntas • a = 100 • b = 20 • c = 10

26. Peritrocoide (epitrocoide) • Curva generada por el punto extremo 'P', de un brazo rígido fijado en el centro del círculo giratorio 'B' de radio 'q', cuando este rueda sin deslizar, a lo largo de la periferia externa del círculo base 'A' de radio 'p‘.

27. Peritrocoide • La ecuación de la peritrocoide puede ser expresada por las coordenadas de punto P(x, y) en coordenadas rectangulares referenciadas al centro del círculo de base A, como punto inicial, así: Donde: • e - Distancia central entre el circulo base A y el circulo giratorio B • R - Longitud del brazo fijo en el circulo giratorio B • a - Angulo de rotación del giratorio B alrededor del circulo base A • ß - Angulo de rotación del circulo giratorio B sobre su eje

29. Peritrocoide

30. Evolvente de círculo ¿Cuál sería el resultado de aumentar el radio de la ruleta hasta que la circunferencia se transforme en una recta?

31. Catenaria Es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme. Ecuación cartesiana:

32. Tractriz Curva que describe un objeto (situado en P) que es arrastrado por otro (situado en A), que se mantiene a distancia constante d y que se desplaza en línea recta. Es la curva evolvente de la catenaria. Ecuación cartesiana:

33. Caracoles • Ecuación polar de la forma • r = a + b cos(theta) • Ejemplo:

34. Caracoles • Ejercicios de trazado • Caracol con lazo interior • Caracol concavo: • Caracol concavo: • Caracol convexo • ?

35. Cardioide • Curva plana que se genera cuando un punto P de una circunferencia rueda sin deslizarse sobre el exterior de una segunda circunferencia fija del mismo radio. • Ejemplo en coordenadas polares • Trazar

36. Lemniscata • Conjuntos de puntos que cumplen que el producto de las distancias a dos puntos dados, denominados focos, es constante. • Ecuación polar del tipo • Ecuación cartesiana • El parámetro a determina la forma de la curva. Los focos están a distancia 2a y ese producto de distancias constante es exactamente a^2.

37. Lemniscata- Construcción geométrica • Trazar dos rectas perpendiculares r y s. • Trazar una circunferencia tangente a las dos rectas. • Por O trazar rectas secantes a la circunferencia. Interceptan la circunferencia en puntos como M 1 y M 2. • Tomar la longitud de cada cuerda y situar en la recta a partir de O obteniendo puntos exactos de la curva como OM al tomar la cuerda M1-M 2, ON= N1 N2, OP= P1 P 2… • Al unir los diferentes puntos M, N, P… queda determinada la curva.

38. Lemniscata • Construcción geométrica

39. Nefroide • Coordenadas Polares

40. Nefroide de Freeth • Coordenadas Polares

41. Cisoide de Diocles • Coordenadas Polares • Ecuación implícita OA = OC - OB

42. Cisoide de Diocles – Duplicación del cubo Given a segment[C,B], we can construct a segment[C,M] such that distance[C,M]^3==2*distance[C,B]^3, with the help of cissoid of Diocles. This solves the famous doubling the cube problem. Step-by-step description: Given two points C and B. Construct a circle c1, centered on C and passing B. Construct points O and A on the circle such that line[O,A] is perpendicular to line[C,B] Construct a cissoid of Diocles using circle c1, tangent at A, and pole at O. Construct point D such that B is the midpoint of segment[C,D]. Construct line[A,D]. Let the intersection of cissoid and line[A,D] be Q. (the intersection cannot be found with Greek Ruler and Compass. We assume it is a given.) Let the intersection of line[C,D] and line[O,Q] be M. length[C,M]^3==2*distance[C,D]^3.

43. Evoluta de una curva dada es el lugar geométrico de los centros de curvatura de la curva. • (Envolvente de las normales del plano a la curva) • La curva original es la involuta de su evoluta.

44. Rosas • De 4 hojas: r = sen(2 t) • De 3 hojas: r = sen (3 t)

45. Preguntas • Construir una parábola por seccionamiento de una superficie cónica cuando se han especificado sus datos; vertice y punto de paso o bien eje y foco (simil lemniscata).

46. Curvas no planas: hélice.

47. Trazado de tangentes a curvas. • Desde un punto externo a la curva (resuelve Autocad) • Desde un punto perteneciente a la curva.

48. Desde punto externo a la curva • Resuelve Autocad

49. Desde punto perteneciente a la propia curva. • Tangente a sinusoide

50. Tangentes coplanares a dos curvas no coplanares.